Analytische Geometrie mit Ebenen - Abitur 2022

Alternativer Bildtext:

= 0 → n* 2 ein Punkt liegt in der Ebene, wenn sein Orlsvektor diese Gleichung erfüllt: Koordinatenform / Koordinaten gleichung: n* (ox-0₁) = 0 OX = OA = a Normalenvektor ʼn #3 ist orthogonal zur Ebene ist damit orthogonal zu allen Richtungsvektore der Ebene alle Normalen vektoren sind Vielfache voneinander Lineare Gleichung der Ebene E Beispiel Skalarprodukt zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor muss O sein, da rechter Winkel 2 x1 - 3 х2 + 4. X3 2х1-3х2+4х3 + somit kann man auch schreiben: =0 Gegeben ist Punkt A (-61517) und Normalenvektor n (OX-OA) = O 0-10-0 - 1 = 0 n* (x-a) = O ↓um formen ň* x П1 X1 + na ха 2.6 +35 4.7 = 0 OX bzw. hả * ha=d + n3 X3 18 d n₁ x ₁ + n₂ x₂ + n3 x3 = d 2x₁3x₂ + 4x3 = 1 15 OX-OA 58 2 3. VEKTORPRODUKT Für je zwei Vektaien å = berechnen Bezeichnet als a × b Sind ab und b + orthogonal zu å und B. Beispiel: a = 33883 – a₁ aa- 03 58858 ba 03 und b ba Vektor produkt von å und b (a Kreuz b) b = PQ und PR berechnen سی نوم 3 Parameter form 5 3² Parameter form E: x = p + r. + s.v Koordinatenform Punkte finden, die Gleichung erfüllen, also in der Ebene liegen α₁ 02 93 OA3OT Kreuzprodukt der Richtungsvektoren PQ und PR Normalen form keine Vielfachen voneinander, so ist Vektor à x b ·ba ZWISCHEN DEN DARSTELLUNGSFORMEN VON EBENEN WECHSELN Koordinatenform E n₁₁ X₁ + n₂ · X₂ + n₂ · X3 =d E: x - 2y +32 = -1 E = X = P(-11010) Q ( 0 1 1 1 0) R( 0 1 0 1 - 3) O 1 1/2 0 1 112 n * = PQ PR - (8) - (8) 113 5.3 -2.0 (-1)-(-2)) 3.3 3. (-1)-0.5 ((-2)) -1/2 * ОР O n * X₁ Ха X3 + r kann man den Vektor OÀ = Normalen form Eñ• OX = n • OA; ñ [(OX)-(0₂) En * 0-(-3) -1 0-1 á 0₁2 ܠܝܘܥ Oܝܙ + s. (-3) -0 = 15- -9 3 2 agb3-a3ba 93b1-a1b3 a₁b₂-aab₁ = n 3 5. LAGEBEZIEHUNG PUNKT- EBENE 5.1 Liegt Punkt P(21215) in der Ebene 1 + 1r + 2s 2r + 1s 3r + 1s Ebenengleichung anyschreiben als Punkt Punkt einsetzen alles auf eine Seite GTR OPTN MAT 5.2 Verbindungsvektor Ebene Punkt PY aufstellen PX + RV₁-0 * px + RV₂-0 * Gleichungssystem aufstellen GTR EQUA rés in PX einsetzen X>N Vektorlange mit Längen formel 2 ४०४५ ^ = = = = = Ar +2s 2r + 1s 3r + 1 s ABSTAND PUNKT EBENE 2 + 1 + 1r + 2s 2r + 1s 2 + 3r + 1s r = 1 5=60 1 ||||| 183 Punkt liegt in der Ebene r = S = = 3 1 + 1r + 2 s 0 + 2r + 1s 2 + 3r + 1s + 1 + 1r + 26 2 + 14r 35 (1 + 1r + 2s) 2 2 + 2r + 4s 2 + 7r+ 6s = 0 + 7s = 0 2 + 14r + 7s = 7r 2 14r + 7 s 7r + 6 s (1 + 1r+2s) 1 + (−1+ 2r+18) 2 + -2 4r + 2 s + = 0 + 6s 0 = (9) -2 2 1 + 1. 2/35 + 2. (215) (-1) + 2.2/35 + 1. (-2/5) + 3. 2/35 + 1. (-2/5) 1 Punkt liegt in Ebene • Punkt liegt nicht in der Ebene E: x = VERBINDUNGSVEKTOREN = 9 (35) ²+ ( 27 ) ² + ( 27 35 -1 00 1 100 un wahre Aussage Punkt liegt nicht in der ebene -2 = -2 O (-1+2r + 1s) 1 + ( 1 + 3r + 1 s) · 1 -1+2r + 1s + 1 + 3r + 1s = 0 1 + 15 + 26 −1+ 2r + 1s 1 + 3r + As + r. 9135 -917 27/35 = 2 + S 1,521 LE (3) (1 + 3r + 1s) 3 = 0 +3+ gr +3s = O = 2 0 4 5.3 ABSTAND PUNKT - EBENE E: 12 x₁ + 5×3 = 6; P (8 | 10 | -5) h: x = OP + r. Aufstellen der Para- metergleichung der Lot- fußgeraden g durch P Lotfußpunkt als Schnitt- punkt der Geraden g und Ebene E. 9 in E einsehen = r r in Geradengleichung einsehen, um Schnitt- punkt herauszu finden Länge PF berechnen d = = 10 + r. -5 1 + 96 + 144r 71 + 169r 169r r F= PF - + 2² 54 HESSESCHE NORMALEN FORM für E ax + bx₂ + CX3 = d mit n = Beispiel: P(31-11 2); E: X = 12・ (8+ 12r) + 0⋅ ( 10+ 0₁) + 5₁ (−5+5r) = 6 - 25 + 25r 6 1 Abstand (Pi E) = (₁ + ¯P-d) 121 8 10 -5 | 1-3 + 5 (-1)-2.2-31 б 12+ 52 = 1 + 2 = 3 13 = 44113 10 90/13 (62)² + (25) 2 13. LOTFUBPUNKT VERFAHREN 65 12 O 5 13 = 1-91 30 = 8 10 -5 = 8 + 12r X₂ = 10 + Or X3 = -5+5r = 5 LE ( * - (â)) * (- 44/13 10 -90/13 (8), P (P₁l p₂lpa) gilt ap₁ + bp₂ + cp3 - d. a²+ b²+ c² = 1,64 LE 60/13 0 -25/13 78 = 0 1-71 |: 169 P B Lotfu@gerade Op+rn 5 6. LAGEBEZIEHUNG GERADE - EBENE 6.1 EBENEN IN PARAMETER FORM Ap 00 201 E: X = 9 liegt in E 1 O 1 1 8 O год O E und dg. gleichsetzen um formen Rref Mat 9 → E + r Parameterform der Gerade umschreiben g liegt in E → wahre Aussage 4 = 4 1 TOO 1 + 1 r + OS O + 1r + 2s 2 + 1r + AS + S = 0 1r + Os 1t Ar +2s - 3 t 1r + 15 + 1² = 00 10 X₁1 X2 X3 in Koordinatenform der Ebene einsetzen umstellen Ergebnis interpretieren 9 ist parallel zu E O -30 1 0 1 0 0 1 - 116 1 1 O -716 413 t in g einsetzen Schnittpunkt = 6.2 EBENE IN KOORDINATENFORM EX = x + y - 22 3; 9 = ०४९ g = 7 -5 - 1 دوه O 2 1 1 0 + 1 t 2 + 3t 2-1 t 2 9+ y = ( 2 ) r = S= t = 9 + t 2 1 4 = 3 716 413 116 116 312 1316 1 2 + t 3 1 2 (2+ 3+) + (1+1t) 2 2+ 3+ +1+1t - 8-4t 9 1st parallel zu E → falsche Aussage 0 =4 + t 08 - 3t + At / = S es A& g ^t / -1 = schneidet E ^ O O 1 O O Gleichungs system (3) → falsche Aussage X₁ = = x₂ = x3 = 2 gibi schnittpunkt (4+2+) = 3 3 2+ 3+ 1+ 1t 4+2+ 9 schneidet E 1 und E sind parallel g → Went für r r = 4 1 6 63 ABSTAND GERADE - EBENE Punkt der Gerade auswählen (z. B. Stützvektor) dann nach Abstand Punkt - Ebene ausrechnen. 6.4 WINKEL ZWISCHEN GERADE UND EBENE sin (9) 4 n = 9 Beispiel E 7 X₁ + 11×₂ + 1x3 = 28, | sin 0 |(3) 101-101 * Winkel zwischen Normalenvelitor der Ebene ʼn und dem Richtungsvektor der Gerade g Pl cos(x) 13.121 1-81 Гло 1171 = um an den Winkel zwischen Gerade und Ebene zu kommen kann man 90°- & rechnen oder direkt mit sin (y) rechnen, da Cos + sin = 90° = 12° · = g 1-11+31 √10√171 1-2 + V 1 - 81 √10 √171 3 7 LAGE BEZIEHUNG EBENE - EBENE 7.1 BEIDE EBENEN IN PARAMETER FORM E₁ X= E₁ und ₂ schneiden sich (Gleichungssystem hat Losung umstellen Rret Mat 7.2 4 0 3 Gleichungssystem any stellen E₁: X = E2 G 4 2 + r. 0 tr. 0 -3 + S 3 4+ Or - 25 1r + Os Or + 3s гоо ܘܥܘ 3 2 +S 0 100 Ebene in Paramelerdarstellung in Koordinaten aufschreiben 20 Or - 26-Ot-20 = -Ar + OS-Ot + 10 = Or +36 + 1t - 30 = -2 E₁ und E2 sind echt parallel (Gleichungssystem ist falsch = = Ebene in Parameterform in Koordinalenform umschreiben Koordinaten von 5₁ in E2 einsetzen 1 -6 E₂: x= -1-3 1 -2 + Ot + 20 10 336 3 + Ot 0 - 1t + 3v の E₂ : 3 = E₁: X E₁ E₂7 E₂ x E₂ = = = EINE EBENE PARAMETERTORM & EINE NORMALENFORM 2 3 0 -6 3 ૩ r= −3+U S = 3-U t = 2 -3 -6 (1) ++. 4 tr + 6 + 6u 2 0 ✓ +S 2х1 - 3х2 - 6х3 2х1 - 3х2-6x3 = E₁ und E2 sind identisch Gleichungssystem hat unten eine Nullreihe + U - Ot/ - Qu - Ot / +10 + At / 30 / 4 (1)) E₁=E₂1 Gleichungs system erfüllt, es 0 (3) = 0 - 22 -4 +3 gibi schnittpunkt 8-12-18 X₁ = 1 + 3r x₂ = 4 + 2r - 2s x3 = 2 + 1s 2 (1+ 3r) -3 (4+ 2r-2s)-6 (2+ 1s) = == -22 Koordinaten von E₁ in E2 einsehen E₁ und ₂ schneiden sich → wahre Aussage 4 = 4 1.3 BEIDE EBENEN IN KOORDINATEN FORM E₁ X - X1 + 2х2 2х1 - 4 ха E₂ Z n/ Normalenvektoren kollinear ? Jua nein = = Ebenen echtparallel schneiden o identisch sich echt- parallel gemeinsamer Punk? hein/ Jua identisch - aus Werten Geradengleichung aufstellen + 3x3 → wahre Aussage → Elbenen liegen ineinander E₁ und 2 sind echt parallel → falsche Aussage 0=4 7.4 SCHNITTGERADE Parameterwert aus E₁ für entsprechenden Parameter aus E2 einsehen 4x3 n₁ 2 (1+ 3r) -3 (4+ 2r-2s) −6 (2+1s) = -22 2 + 6r - 12 - 6r + 6s 12 + 65 = 22 -22 + 125 = - 22 12s = O 5 = -10 = (4) 2 E₁₁ -1 + 23 E2: 2+ 1 - 4:3 + ·(-2) → sind kollinear zueinander → parallel o. identisch P ( 11 310) BERECHNEN Ex: = 9₁ x = i -20 + 20 3-0 -2 ૩ O ·2 + 20 10 3 6-30 n₂ Punkt liegt in beiden Ebenen 3.0 4.0 10 +660 + 30 = = 5 = - 6 + 60 - 10 -2 (2²) + (4) U. -3 E₁ und E2 sind identisch → Went für r r = 4 + U | +22 ودم 7.5 WINKEL ZWISCHEN ZWEI EBENEN n₁₂ E₂ 6 E Winkel der zwei Normalenvektoren: n₁ * cos (6) Beispiel: E₁ 7x₁ + 11×₂ + 1×3 = 28 Ег: -3 х1 + 4х2 1x3 = 2 | (²²) + ( 3³ ) | cos (6) = + √²/₂ Inil In₂1 = cos 1 ICHG 11 . 22 1171126 1-21+44-11 1171126 = 70,7 10