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3. Feb. 2026
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LernEngelchen 🎀
@lernengelchen
Vektoren begegnen dir überall – von GPS-Navigation bis hin zu... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er zu einem bestimmten Punkt kommt. Genau das machen Vektoren – sie beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem durch Richtung, Orientierung und Betrag.
Um zum Punkt P(6|7|4) zu gelangen, gehst du vom Nullpunkt 6 Einheiten in x-Richtung, 7 in y-Richtung und 4 in z-Richtung. Die Koordinatenebenen haben dabei immer eine Koordinate gleich null: x₁x₂-Ebene hat x₃ = 0.
Der Vektor von A nach B wird berechnet als . Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie parallel, gleich lang und gleich orientiert sind.
Merke dir: Der Gegenvektor entsteht durch Multiplikation mit -1 und dreht den ursprünglichen Vektor um 180°.
Ortsvektoren starten immer vom Ursprung (0|0|0) und zeigen direkt zum gewünschten Punkt. Der Nullvektor ist dabei der einzige Vektor ohne Pfeildarstellung.
Den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest du mit der Formel: . Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge: .
Beim Rechnen mit Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise. Bei der Skalarmultiplikation änderst du nur die Länge, nicht die Richtung. Eine Linearkombination wie kombiniert mehrere Vektoren mit Koeffizienten.
Tipp: Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander – erkennst du durch den gleichen Faktor in allen Komponenten!
Jede Gerade lässt sich beschreiben durch , wobei der Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden) und der Richtungsvektor ist.
Aus zwei Punkten A und B stellst du eine Geradengleichung auf: Nimm als Stützvektor und als Richtungsvektor. Eine Gerade kann durch mehrere Gleichungen beschrieben werden – du kannst jeden beliebigen Punkt als Stützvektor nehmen oder den Richtungsvektor mit einer Zahl multiplizieren.
Die Punktprobe zeigt dir, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt: Setze den Punkt in die Geradengleichung ein und löse das entstehende Gleichungssystem. Bei widersprüchlichen Werten für den Parameter liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
Wichtig: Beim Zeichnen einer Geraden gehst du vom Ursprung zum Stützvektor und trägst dann den Richtungsvektor ab!
Im dreidimensionalen Raum können sich Geraden auf drei Arten verhalten: Sie schneiden sich, sind parallel oder windschief (kreuzen sich, ohne sich zu treffen).
Das systematische Vorgehen ist einfach: Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel sind. Falls ja, teste mit der Punktprobe, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. Falls nein, löse die Gleichung .
Schneidende Geraden haben genau eine Lösung – der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen des Parameters. Windschiefe Geraden haben keine Lösung, obwohl ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind.
Clever: Windschiefe Geraden gibt es nur im 3D-Raum – in der Ebene sind Geraden entweder parallel oder schneiden sich!
Das Skalarprodukt liefert eine Zahl, keinen Vektor. Es ist dein Werkzeug für Orthogonalität: Wenn , stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
Den Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit . Bei Geraden bestimmen die Richtungsvektoren den Schnittwinkel – nimm immer den kleineren Winkel.
Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme durch Umformung zur Stufenform. Du arbeitest dich von unten nach oben durch: erst die letzte Variable, dann die vorletzte usw.
Praktisch: Orthogonale Geraden erkennst du sofort am Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren – es muss null sein!
Ebenen beschreibst du mit , wobei die beiden Spannvektoren und nicht parallel sein dürfen. Der Stützvektor zeigt zu einem beliebigen Punkt der Ebene.
Aus drei Punkten A, B, C erstellst du eine Ebenengleichung: Nimm als Stützvektor und , als Spannvektoren. Wie bei Geraden kannst du verschiedene Stützvektoren und Vielfache der Spannvektoren verwenden.
Das Gauß-Verfahren nutzt drei Äquivalenzumformungen: Gleichungen vertauschen, mit Zahlen multiplizieren oder durch Summen ersetzen. Die Matrixform vereinfacht die Darstellung großer Gleichungssysteme erheblich.
Merke: Unterbestimmte Gleichungssysteme (weniger Gleichungen als Variablen) haben keine oder unendlich viele Lösungen!
Gerade und Ebene können sich schneiden, parallel sein oder die Gerade liegt in der Ebene. Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein: Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen bedeutet die Gerade liegt in der Ebene.
Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Du findest ihn, indem du einen Vektor suchst, der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist: und .
Die Normalenform und die Koordinatenform sind alternative Darstellungen derselben Ebene.
Hilfreich: Der Normalenvektor zeigt dir sofort die Koordinatenform – seine Komponenten sind die Koeffizienten a, b, c!
Die Umformung zwischen den Ebenengleichungen folgt klaren Regeln. Von Parameterform zur Normalenform berechnest du den Normalenvektor durch Orthogonalitätsbedingungen. Zur Koordinatenform multiplizierst du das Skalarprodukt aus.
Rückwärts funktioniert es genauso systematisch: Aus der Koordinatenform erhältst du den Normalenvektor direkt. Für die Parameterform bestimmst du drei Punkte auf der Ebene.
Die Lagebeziehung Gerade-Ebene in Koordinatenform prüfst du durch Einsetzen der Geradengleichung. Je nach Anzahl der Lösungen erkennst du Schnittpunkt, Parallelität oder ob die Gerade in der Ebene liegt.
Zeitsparend: In der Koordinatenform liest du den Normalenvektor direkt ab – das spart Rechenzeit bei Orthogonalitätsprüfungen!
Zwei Ebenen können identisch, parallel oder in einer Schnittgeraden schneidend sein. Stelle ein lineares Gleichungssystem aus beiden Ebenengleichungen auf – unendlich viele Lösungen ergeben die Schnittgerade.
Den Abstand Punkt-Ebene berechnest du mit zwei Methoden: Das Lotfußpunktverfahren nutzt eine orthogonale Gerade durch den Punkt zur Ebene. Die Hesse'sche Normalenform verwendet den Einheitsvektor des Normalenvektors für direkte Berechnung.
Bei der Schnittgeraden zweier Ebenen löst du das Gleichungssystem nach zwei Variablen auf. Die dritte Variable wird zum Parameter, der die Gerade beschreibt.
Effizient: Die Hesse'sche Normalenform gibt dir sofort den Abstand – ohne Umweg über Lotfußpunkte!
Der Abstand Punkt-Gerade entspricht der kürzesten Verbindung. Mit der Hilfsebene erstellst du eine Ebene orthogonal zur Geraden durch den gegebenen Punkt. Der Schnittpunkt mit der Geraden ist der Lotfußpunkt.
Die Orthogonalitätsmethode nutzt einen allgemeinen Geradenpunkt und die Bedingung . Nach Auflösen nach dem Parameter erhältst du den Lotfußpunkt direkt.
Windschiefe Geraden haben den kleinsten Abstand über eine Hilfsebene, die eine Gerade enthält und zur anderen parallel ist. Der Normalenvektor entsteht durch Orthogonalitätsbedingungen zu beiden Richtungsvektoren.
Strategisch: Bei Abstandsproblemen führt der Weg über Lotfußpunkte immer zum Ziel – egal welche Methode du wählst!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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LernEngelchen 🎀
@lernengelchen
Vektoren begegnen dir überall – von GPS-Navigation bis hin zu Computergrafiken. Die lineare Algebra mit Vektoren ist ein mächtiges Werkzeug, das dir hilft, Bewegungen im dreidimensionalen Raum zu verstehen und zu berechnen.
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Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wie er zu einem bestimmten Punkt kommt. Genau das machen Vektoren – sie beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem durch Richtung, Orientierung und Betrag.
Um zum Punkt P(6|7|4) zu gelangen, gehst du vom Nullpunkt 6 Einheiten in x-Richtung, 7 in y-Richtung und 4 in z-Richtung. Die Koordinatenebenen haben dabei immer eine Koordinate gleich null: x₁x₂-Ebene hat x₃ = 0.
Der Vektor von A nach B wird berechnet als . Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie parallel, gleich lang und gleich orientiert sind.
Merke dir: Der Gegenvektor entsteht durch Multiplikation mit -1 und dreht den ursprünglichen Vektor um 180°.
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Ortsvektoren starten immer vom Ursprung (0|0|0) und zeigen direkt zum gewünschten Punkt. Der Nullvektor ist dabei der einzige Vektor ohne Pfeildarstellung.
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Jede Gerade lässt sich beschreiben durch , wobei der Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden) und der Richtungsvektor ist.
Aus zwei Punkten A und B stellst du eine Geradengleichung auf: Nimm als Stützvektor und als Richtungsvektor. Eine Gerade kann durch mehrere Gleichungen beschrieben werden – du kannst jeden beliebigen Punkt als Stützvektor nehmen oder den Richtungsvektor mit einer Zahl multiplizieren.
Die Punktprobe zeigt dir, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt: Setze den Punkt in die Geradengleichung ein und löse das entstehende Gleichungssystem. Bei widersprüchlichen Werten für den Parameter liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
Wichtig: Beim Zeichnen einer Geraden gehst du vom Ursprung zum Stützvektor und trägst dann den Richtungsvektor ab!
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Im dreidimensionalen Raum können sich Geraden auf drei Arten verhalten: Sie schneiden sich, sind parallel oder windschief (kreuzen sich, ohne sich zu treffen).
Das systematische Vorgehen ist einfach: Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel sind. Falls ja, teste mit der Punktprobe, ob die Geraden identisch oder echt parallel sind. Falls nein, löse die Gleichung .
Schneidende Geraden haben genau eine Lösung – der Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen des Parameters. Windschiefe Geraden haben keine Lösung, obwohl ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind.
Clever: Windschiefe Geraden gibt es nur im 3D-Raum – in der Ebene sind Geraden entweder parallel oder schneiden sich!
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Das Skalarprodukt liefert eine Zahl, keinen Vektor. Es ist dein Werkzeug für Orthogonalität: Wenn , stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.
Den Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit . Bei Geraden bestimmen die Richtungsvektoren den Schnittwinkel – nimm immer den kleineren Winkel.
Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme durch Umformung zur Stufenform. Du arbeitest dich von unten nach oben durch: erst die letzte Variable, dann die vorletzte usw.
Praktisch: Orthogonale Geraden erkennst du sofort am Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren – es muss null sein!
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Ebenen beschreibst du mit , wobei die beiden Spannvektoren und nicht parallel sein dürfen. Der Stützvektor zeigt zu einem beliebigen Punkt der Ebene.
Aus drei Punkten A, B, C erstellst du eine Ebenengleichung: Nimm als Stützvektor und , als Spannvektoren. Wie bei Geraden kannst du verschiedene Stützvektoren und Vielfache der Spannvektoren verwenden.
Das Gauß-Verfahren nutzt drei Äquivalenzumformungen: Gleichungen vertauschen, mit Zahlen multiplizieren oder durch Summen ersetzen. Die Matrixform vereinfacht die Darstellung großer Gleichungssysteme erheblich.
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Gerade und Ebene können sich schneiden, parallel sein oder die Gerade liegt in der Ebene. Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein: Eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen bedeutet die Gerade liegt in der Ebene.
Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Du findest ihn, indem du einen Vektor suchst, der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist: und .
Die Normalenform und die Koordinatenform sind alternative Darstellungen derselben Ebene.
Hilfreich: Der Normalenvektor zeigt dir sofort die Koordinatenform – seine Komponenten sind die Koeffizienten a, b, c!
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Die Umformung zwischen den Ebenengleichungen folgt klaren Regeln. Von Parameterform zur Normalenform berechnest du den Normalenvektor durch Orthogonalitätsbedingungen. Zur Koordinatenform multiplizierst du das Skalarprodukt aus.
Rückwärts funktioniert es genauso systematisch: Aus der Koordinatenform erhältst du den Normalenvektor direkt. Für die Parameterform bestimmst du drei Punkte auf der Ebene.
Die Lagebeziehung Gerade-Ebene in Koordinatenform prüfst du durch Einsetzen der Geradengleichung. Je nach Anzahl der Lösungen erkennst du Schnittpunkt, Parallelität oder ob die Gerade in der Ebene liegt.
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Zwei Ebenen können identisch, parallel oder in einer Schnittgeraden schneidend sein. Stelle ein lineares Gleichungssystem aus beiden Ebenengleichungen auf – unendlich viele Lösungen ergeben die Schnittgerade.
Den Abstand Punkt-Ebene berechnest du mit zwei Methoden: Das Lotfußpunktverfahren nutzt eine orthogonale Gerade durch den Punkt zur Ebene. Die Hesse'sche Normalenform verwendet den Einheitsvektor des Normalenvektors für direkte Berechnung.
Bei der Schnittgeraden zweier Ebenen löst du das Gleichungssystem nach zwei Variablen auf. Die dritte Variable wird zum Parameter, der die Gerade beschreibt.
Effizient: Die Hesse'sche Normalenform gibt dir sofort den Abstand – ohne Umweg über Lotfußpunkte!
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Der Abstand Punkt-Gerade entspricht der kürzesten Verbindung. Mit der Hilfsebene erstellst du eine Ebene orthogonal zur Geraden durch den gegebenen Punkt. Der Schnittpunkt mit der Geraden ist der Lotfußpunkt.
Die Orthogonalitätsmethode nutzt einen allgemeinen Geradenpunkt und die Bedingung . Nach Auflösen nach dem Parameter erhältst du den Lotfußpunkt direkt.
Windschiefe Geraden haben den kleinsten Abstand über eine Hilfsebene, die eine Gerade enthält und zur anderen parallel ist. Der Normalenvektor entsteht durch Orthogonalitätsbedingungen zu beiden Richtungsvektoren.
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Deutsch