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Lagebeziehungen von Geraden

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13. Dez. 2025

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Grundlagen der Ebenen im Raum: Erklärung und Beispiele

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Ebenen im dreidimensionalen Raum sind ein zentrales Thema der analytischen Geometrie. Du lernst hier drei verschiedene Darstellungsformen von... Mehr anzeigen

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Parameterform einer Ebene

Die Parameterform ist wahrscheinlich die intuitivste Art, eine Ebene zu beschreiben. Du brauchst einen Stützvektor (Aufpunkt) und zwei Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

Grundform E x⃗=OA⃗+su⃗+tv⃗\vec{x} = \vec{OA} + s\vec{u} + t\vec{v}

Wenn du drei Punkte A, B, C gegeben hast, nimmst du einen als Stützvektor und bildest die anderen beiden zu Spannvektoren um AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC}. Bei zwei sich schneidenden Geraden übernimmst du einen Stützvektor und beide Richtungsvektoren als Spannvektoren.

Wichtig Die Spannvektoren dürfen nicht parallel zueinander sein, sonst erhältst du keine Ebene!

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parameterform ein und löst das entstehende Gleichungssystem. Gibt es eindeutige Werte für s und t, liegt der Punkt auf der Ebene.

Koordinatenform entsteht aus dem Normalenvektor n⃗\vec{n} und hat die Form E n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d. Den Normalenvektor erhältst du durch das Vektorprodukt der Spannvektoren, d durch das Skalarprodukt mit dem Stützvektor.

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Normalenform und Umrechnung zwischen den Formen

Die Normalenform nutzt den Normalenvektor n⃗\vec{n}, der senkrecht zur Ebene steht E n⃗∘(x⃗−OA⃗)=0\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{OA}) = 0. Diese Form zeigt dir sofort die Orientierung der Ebene im Raum.

Von Parameterform zu Normalenform Berechne den Normalenvektor durch das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und übernimm den Stützvektor. Das Vektorprodukt u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} steht automatisch senkrecht auf beiden Spannvektoren.

Von Normalenform zu Koordinatenform Multipliziere das Skalarprodukt aus und bringe alles auf eine Seite. Aus n⃗∘x⃗=n⃗∘OA⃗\vec{n} \circ \vec{x} = \vec{n} \circ \vec{OA} wird direkt n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d.

Tipp Die Koordinatenform ist besonders praktisch für Berechnungen, während die Parameterform anschaulicher ist.

Von Koordinatenform zu Parameterform Stelle nach einer Variablen um meist $x_3$ und setze für die anderen beiden Parameter r und s ein. Der Stützvektor entsteht, wenn du r = s = 0 setzt.

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Spurpunkte berechnen

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Sie helfen dir, die Ebene im Koordinatensystem zu visualisieren und sind wichtig für technische Zeichnungen.

Du benötigst die Koordinatenform der Ebene. Für jeden Spurpunkt setzt du zwei Koordinaten auf null und löst nach der dritten auf.

Spurpunkt mit der x1x_1-Achse Setze x2=0x_2 = 0 und x3=0x_3 = 0, löse nach x1x_1 auf. Spurpunkt mit der x2x_2-Achse Setze x1=0x_1 = 0 und x3=0x_3 = 0, löse nach x2x_2 auf. Spurpunkt mit der x3x_3-Achse Setze x1=0x_1 = 0 und x2=0x_2 = 0, löse nach x3x_3 auf.

Achtung Nicht jede Ebene hat alle drei Spurpunkte! Wenn eine Koordinate in der Ebenengleichung fehlt, ist die Ebene parallel zu dieser Achse.

Im Beispiel E 3x1+4x2+3x3=123x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 12 erhältst du die Spurpunkte S1(4∣0∣0)S_1(4|0|0), S2(0∣3∣0)S_2(0|3|0) und S3(0∣0∣4)S_3(0|0|4). Diese drei Punkte reichen aus, um die Ebene komplett zu beschreiben!

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Lage zweier Ebenen

Zwei Ebenen können sich auf drei verschiedene Arten verhalten Sie schneiden sich in einer Geraden, sind parallel zueinander oder sind identisch (deckungsgleich).

Stelle beide Ebenen als Koordinatenform dar und löse das entstehende lineare Gleichungssystem. Das Ergebnis verrät dir sofort die Lagebeziehung.

Eindeutige Lösung Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. Setze für eine Variable einen Parameter t ein und drücke die anderen Variablen durch t aus. Widerspruch wie0=−31wie 0 = -31 Die Ebenen sind parallel zueinander. Untere Stufe wird zu 0 = 0 Die Ebenen sind identisch.

Praxis-Tipp Bei Aufgaben mit Parameter d kannst du durch Widerspruchsfreiheit bestimmen, für welche d-Werte die Ebenen identisch sind.

Die Schnittgerade gibst du in Parameterform an. Der Stützvektor entsteht, wenn du t = 0 setzt, der Richtungsvektor ist der Koeffizient von t. So verwandelst du ein abstraktes Gleichungssystem in eine anschauliche geometrische Lösung.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Parameterform einer Ebene

Die Parameterform ist wahrscheinlich die intuitivste Art, eine Ebene zu beschreiben. Du brauchst einen Stützvektor (Aufpunkt) und zwei Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

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4.9/5

App Store

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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