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Mathematik

Lagebeziehungen von Geraden

Koplanar

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14. Feb. 2026

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4 Seiten

Grundlagen der Ebenen im Raum: Erklärung und Beispiele

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Ebenen im dreidimensionalen Raum sind ein zentrales Thema der analytischen... Mehr anzeigen

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# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Parameterform einer Ebene

Die Parameterform ist wahrscheinlich die intuitivste Art, eine Ebene zu beschreiben. Du brauchst einen Stützvektor (Aufpunkt) und zwei Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

Grundform: E: x⃗=OA⃗+su⃗+tv⃗\vec{x} = \vec{OA} + s\vec{u} + t\vec{v}

Wenn du drei Punkte A, B, C gegeben hast, nimmst du einen als Stützvektor und bildest die anderen beiden zu Spannvektoren um: AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC}. Bei zwei sich schneidenden Geraden übernimmst du einen Stützvektor und beide Richtungsvektoren als Spannvektoren.

Wichtig: Die Spannvektoren dürfen nicht parallel zueinander sein, sonst erhältst du keine Ebene!

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parameterform ein und löst das entstehende Gleichungssystem. Gibt es eindeutige Werte für s und t, liegt der Punkt auf der Ebene.

Koordinatenform entsteht aus dem Normalenvektor n⃗\vec{n} und hat die Form: E: n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d. Den Normalenvektor erhältst du durch das Vektorprodukt der Spannvektoren, d durch das Skalarprodukt mit dem Stützvektor.

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Normalenform und Umrechnung zwischen den Formen

Die Normalenform nutzt den Normalenvektor n⃗\vec{n}, der senkrecht zur Ebene steht: E: n⃗∘(x⃗−OA⃗)=0\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{OA}) = 0. Diese Form zeigt dir sofort die Orientierung der Ebene im Raum.

Von Parameterform zu Normalenform: Berechne den Normalenvektor durch das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und übernimm den Stützvektor. Das Vektorprodukt u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} steht automatisch senkrecht auf beiden Spannvektoren.

Von Normalenform zu Koordinatenform: Multipliziere das Skalarprodukt aus und bringe alles auf eine Seite. Aus n⃗∘x⃗=n⃗∘OA⃗\vec{n} \circ \vec{x} = \vec{n} \circ \vec{OA} wird direkt n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d.

Tipp: Die Koordinatenform ist besonders praktisch für Berechnungen, während die Parameterform anschaulicher ist.

Von Koordinatenform zu Parameterform: Stelle nach einer Variablen um meist $x_3$ und setze für die anderen beiden Parameter r und s ein. Der Stützvektor entsteht, wenn du r = s = 0 setzt.

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Spurpunkte berechnen

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Sie helfen dir, die Ebene im Koordinatensystem zu visualisieren und sind wichtig für technische Zeichnungen.

Du benötigst die Koordinatenform der Ebene. Für jeden Spurpunkt setzt du zwei Koordinaten auf null und löst nach der dritten auf.

Spurpunkt mit der x1x_1-Achse: Setze x2=0x_2 = 0 und x3=0x_3 = 0, löse nach x1x_1 auf. Spurpunkt mit der x2x_2-Achse: Setze x1=0x_1 = 0 und x3=0x_3 = 0, löse nach x2x_2 auf. Spurpunkt mit der x3x_3-Achse: Setze x1=0x_1 = 0 und x2=0x_2 = 0, löse nach x3x_3 auf.

Achtung: Nicht jede Ebene hat alle drei Spurpunkte! Wenn eine Koordinate in der Ebenengleichung fehlt, ist die Ebene parallel zu dieser Achse.

Im Beispiel E: $3x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 12erha¨ltstdudieSpurpunkte erhältst du die Spurpunkte S_1(4|0|0),, S_2(0|3|0)und und S_3(0|0|4)$. Diese drei Punkte reichen aus, um die Ebene komplett zu beschreiben!

# Ebenen im Raum Parameter form E:X=DA+S+t ↓ Stütz- vektorl Aufpunkt Stützvektor Spannvek toren, die durch gehen Drei Punkte gegeb

Lage zweier Ebenen

Zwei Ebenen können sich auf drei verschiedene Arten verhalten: Sie schneiden sich in einer Geraden, sind parallel zueinander oder sind identisch (deckungsgleich).

Stelle beide Ebenen als Koordinatenform dar und löse das entstehende lineare Gleichungssystem. Das Ergebnis verrät dir sofort die Lagebeziehung.

Eindeutige Lösung: Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. Setze für eine Variable einen Parameter t ein und drücke die anderen Variablen durch t aus. Widerspruch wie0=−31wie 0 = -31: Die Ebenen sind parallel zueinander. Untere Stufe wird zu 0 = 0: Die Ebenen sind identisch.

Praxis-Tipp: Bei Aufgaben mit Parameter d kannst du durch Widerspruchsfreiheit bestimmen, für welche d-Werte die Ebenen identisch sind.

Die Schnittgerade gibst du in Parameterform an. Der Stützvektor entsteht, wenn du t = 0 setzt, der Richtungsvektor ist der Koeffizient von t. So verwandelst du ein abstraktes Gleichungssystem in eine anschauliche geometrische Lösung.



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Stefan S

iOS-Nutzer

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Thomas R

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Greenlight Bonnie

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Ebenen im dreidimensionalen Raum sind ein zentrales Thema der analytischen Geometrie. Du lernst hier drei verschiedene Darstellungsformen von Ebenen kennen und wie du zwischen ihnen umrechnest. Außerdem erfährst du, wie sich zwei Ebenen zueinander verhalten können.

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Parameterform einer Ebene

Die Parameterform ist wahrscheinlich die intuitivste Art, eine Ebene zu beschreiben. Du brauchst einen Stützvektor (Aufpunkt) und zwei Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

Grundform: E: x⃗=OA⃗+su⃗+tv⃗\vec{x} = \vec{OA} + s\vec{u} + t\vec{v}

Wenn du drei Punkte A, B, C gegeben hast, nimmst du einen als Stützvektor und bildest die anderen beiden zu Spannvektoren um: AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC}. Bei zwei sich schneidenden Geraden übernimmst du einen Stützvektor und beide Richtungsvektoren als Spannvektoren.

Wichtig: Die Spannvektoren dürfen nicht parallel zueinander sein, sonst erhältst du keine Ebene!

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parameterform ein und löst das entstehende Gleichungssystem. Gibt es eindeutige Werte für s und t, liegt der Punkt auf der Ebene.

Koordinatenform entsteht aus dem Normalenvektor n⃗\vec{n} und hat die Form: E: n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d. Den Normalenvektor erhältst du durch das Vektorprodukt der Spannvektoren, d durch das Skalarprodukt mit dem Stützvektor.

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Normalenform und Umrechnung zwischen den Formen

Die Normalenform nutzt den Normalenvektor n⃗\vec{n}, der senkrecht zur Ebene steht: E: n⃗∘(x⃗−OA⃗)=0\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{OA}) = 0. Diese Form zeigt dir sofort die Orientierung der Ebene im Raum.

Von Parameterform zu Normalenform: Berechne den Normalenvektor durch das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und übernimm den Stützvektor. Das Vektorprodukt u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} steht automatisch senkrecht auf beiden Spannvektoren.

Von Normalenform zu Koordinatenform: Multipliziere das Skalarprodukt aus und bringe alles auf eine Seite. Aus n⃗∘x⃗=n⃗∘OA⃗\vec{n} \circ \vec{x} = \vec{n} \circ \vec{OA} wird direkt n1x1+n2x2+n3x3=dn_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d.

Tipp: Die Koordinatenform ist besonders praktisch für Berechnungen, während die Parameterform anschaulicher ist.

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Spurpunkte berechnen

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen. Sie helfen dir, die Ebene im Koordinatensystem zu visualisieren und sind wichtig für technische Zeichnungen.

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Achtung: Nicht jede Ebene hat alle drei Spurpunkte! Wenn eine Koordinate in der Ebenengleichung fehlt, ist die Ebene parallel zu dieser Achse.

Im Beispiel E: $3x_1 + 4x_2 + 3x_3 = 12erha¨ltstdudieSpurpunkte erhältst du die Spurpunkte S_1(4|0|0),, S_2(0|3|0)und und S_3(0|0|4)$. Diese drei Punkte reichen aus, um die Ebene komplett zu beschreiben!

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Lage zweier Ebenen

Zwei Ebenen können sich auf drei verschiedene Arten verhalten: Sie schneiden sich in einer Geraden, sind parallel zueinander oder sind identisch (deckungsgleich).

Stelle beide Ebenen als Koordinatenform dar und löse das entstehende lineare Gleichungssystem. Das Ergebnis verrät dir sofort die Lagebeziehung.

Eindeutige Lösung: Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. Setze für eine Variable einen Parameter t ein und drücke die anderen Variablen durch t aus. Widerspruch wie0=−31wie 0 = -31: Die Ebenen sind parallel zueinander. Untere Stufe wird zu 0 = 0: Die Ebenen sind identisch.

Praxis-Tipp: Bei Aufgaben mit Parameter d kannst du durch Widerspruchsfreiheit bestimmen, für welche d-Werte die Ebenen identisch sind.

Die Schnittgerade gibst du in Parameterform an. Der Stützvektor entsteht, wenn du t = 0 setzt, der Richtungsvektor ist der Koeffizient von t. So verwandelst du ein abstraktes Gleichungssystem in eine anschauliche geometrische Lösung.

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Mathe LK Klausuren 2020/22

Entdecke alle Klausuren aus dem Mathematik Leistungskurs (LK) Baden-Württemberg 2020/22, inklusive Lösungen. Perfekt zur Vorbereitung auf Prüfungen! Bei Interesse an dem PDF-Dokument, kontaktiere mich unter [email protected]. Viel Erfolg beim Lernen! 😺🫶

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Punktprobe: Gerade & Ebene

Erfahren Sie, wie Sie die Lage eines Punktes in Bezug auf eine Gerade oder Ebene bestimmen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Verfahren zur Punktprobe in Parameter- und Koordinatenform, einschließlich praktischer Beispiele und Lösungsansätze. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Kollinearität & Komplanarität

Erfahren Sie alles über Kollinearität und Komplanarität von Vektoren. Diese Zusammenfassung bietet Definitionen, anschauliche Beispiele und mathematische Erklärungen zur linearen Abhängigkeit und den Bedingungen für kollineare und komplanare Vektoren. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Ebenen und Geraden: Klausur

Diese Klausur behandelt die Geometrie von Ebenen und Geraden, einschließlich Parametergleichungen, Normalen- und Koordinatengleichungen sowie Schnittpunkte. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen in der Mathematik. Themen: orthogonale und parallele Linien, Schnittgeraden, und die Hesse-Normalform.

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Kugel- und Ebenenbeziehungen

Erforschen Sie die Beziehungen zwischen Kugeln und Geraden sowie Kugeln und Ebenen. Diese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Abständen, die Bestimmung von Schnittpunkten, die Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten und spezielle Fälle in der Vektorrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Geometrie vertiefen möchten.

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Ebenen und ihre Beziehungen

Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Ebenen in der Geometrie, einschließlich der Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen, der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen sowie der Orthogonalität. Ideal für Schüler der gymnasialen Oberstufe (LK Q2).

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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Findest du nicht, was du suchst? Entdecke andere Fächer.

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

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Anna

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Thomas R

iOS-Nutzer

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Basil

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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