Geometrie (Zusammenfassung für das mündliche Abitur)

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schneiden sich 9 und E orthogonal 9 Seite 196 Nr. 13 @9.*-() + (²) +t Gegenseitige Lage von g und E E: 2x₁-x₂ + 3x3 = 0 +t einsetzen E 2 (1+t)-(-1+ 2t) + 3 (2+ 3t) =0 2+ 2t+1-2t +6+gt =0 9t +9 =0 t = -1 von Parameterform in Koordinatenform +t E. * − (1) • + (1) • s (3) -(E)-(4) Gegenseitige Lage von g und E X₁ = 2+3r 9 in E: x₂=-3-3r X3 = 2 + r 2(2+3)+(-3-3r)-3(2+r) = 6 4+6r-3-3r 6-3r=6 in E ( Koordinatenform) Stützvektor E 2x1+x2-3x3 = 6 E · X = ( 1 ) · + (1) · - (1) E. I nur möglich, wenn E in Koordinatenform ist -5 = 6 f.A 9 und E sind parallel Spurpunkte (Darstellung von E im Koordinatensystem) E 2x13x₂ + x3 = 6 Sa(31010) 52 (01-210) 53 (01016) .. Schreibe die Gleichung einer Ebene in koordinatenform" 1. Gegeben sind drei Punkte * = (-3) + √(-1) · ² ( ²³ ) + 5- ()-₁(1)-(1) Al-21113), B(-11212), C(11-114) -(1)-(8) G-(3-(3) E-X₁4x25x3 = - 17 E: 2X1 +4x2 = 4 5₁(21010) 5₂(01110) 2x1 + x₂-3x3 = d 2.1 +1 -3.(-1)=d = d 6 9· *-(3³) +r(3³) -X1-4X2-5x3=d -(-2)-4-1-5-3=d -17 =d D(01-31-1) EX3=3 53(01013) 2. Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt x=(-²3) + (²2²) A(1 111) 9. ¤· n = - (-3) · (2) · (2) 2- 2. -1. 2 2 )-()-(8) P *A -6x₁-4x₂ = d -6-2-4-1-1)=d -8=d Parameterform Bestimme die Koordinatengleichung von E durch A.B.C A(11 110), B(1101-2), C(31216), D(-21 113), F(-2111-6) Liegen die Punkte D und F in der Ebene E Zeichne E Schreibe die Gleichung einer Geraden g durch D. die orthogonal zu E is 7=√xv E. -6×1-4×z = -8 NF K.F Geometrie Abstände und winkel I Abstand eines Punktes von einer Ebene Berechne den Abstand von P(9141-3) 1. Normalenvektor = (2²) 2. Lotgerade h = (1) ++ (1) +t 4_d= |PF1 = in E 9+t+ 2(4+2t) + 2(-3 +2t) = -7 nach t duflösen t 2 3. t= -2 in die X-Werte einsetzen. Lotfußpunkt F( 7101-7) IPF1 = ( ² ) = √2²+4² +4²¹ = √36 = 6 LE I II.1 Punktspiegelung Wenn man einen Punkt P an einem Punkt z spiegelt, dann gilt für den Bildpunkt P': P² = 2² + PZ² P² = √² +2· PZ² Spiegelung und Symmetrie 3. p' = X3 ³-(1) PZ X PZ Z PZ √x₁ P(31310), 2(11-215), gesucht Pl 1. PZ ermitteln : 2. P²= P²+2-PZ PZ = (-³) >-(3) · ²(3³) D'= pi →P'(-11-7110) P13141-2), P (91-312), gesucht 2 1. P'P ermitteln : PP (0) 2 2² = P²³² + ( ² P²²) 7- (1) · ()-(³) X₂ bis E x₁ + 2x₂ + 2x3 = -7 und X₁ = 9+t X2 = 4+2t x3 = -3+2t P PF II.2 Spiegelung an einer Ebene Wenn man einen Punkt P an einer Ebene E spiegelt und F der lotfußpunkt des Lots von P auf E ist, dann gilt für den Bildpunkt P'. F+ PF bzw. p: +2-PF F *P¹ P(313 10), E: 3x₁ + 2×₂ + x3 = 8 1 Lotgerade aufstellen g.x= 2 Lotfußpunkt berechnen Z gesucht 2=(610,5 10) P' oder Mittelpunkt von PP¹.. · 2 (²³/2/20142/³1-²24²2) XP n FX . gesucht. P d=IPFI X₁ = 3+3t x₂ = 3+2t X3=t 3(3+3t) + 2(3+2t) + t = 8 * (1) ** (²) t = -0,5 3. t= -0,5 in g einsetzen F(1,5121-0,5) oder in x-Werte /1,5 ~ P²=²+FF - F - (2₂) -( :-) (²) P'(0111-1) -0,5 0,5 P(31115), P¹(2121-11, gesucht E 1 Mittelpunkt von P und P¹. 13블리를 15일) (2,511,512) PM -0,5 = 0,5 2 Normalenvektor von E: n= also E: -0,5x10,5x2-3x3 =d 3. Meinsetzen: -0,5-2,5 +0,5 1,5-3 2-d -6,5 = d 4. E: -0,5x₁ +0,5x2-3x3 = -6,5 ", Zeige, dass 9 II E Zeige, dass gut un 9-*- ()-(3) 1. glle weil 2. P(11811) Richtungsvektor (53₂) Skizze Lotgerade h: x= *** = (4) · ( ²³ ) +t und bestimme den Abstand von g bis E" E 2x₁ + x2-3x3 = 14 x III Winkel zwischen vektoren III 1 für den Winkel zwischen zwei vektoren und gilt: a∙b=1a1·161 · cos (α) bzw. ab 191.161 COS (α) = = -2·2+1·1+1-1)-(-3) = 0 Skalarprodukt 3. In die Formel einsetzen a 6-(³) der Geraden g und h: IV-VI I THE X₁ = 1 + 2t X₂ = 8 +5 X3 = 1-35 Beispiel · ā=(3) 1. Skalarprodukt berechnen von d und b 2. Beträge berechnen 101 = √√₁² +2²+3² 161 cos (α) = Sonderfälle 6 = 2² +3² +4² cos (α) = 6,980 in E: a Schnitt winkel - Cos(d) = = 4 + 9 + 16 = 1 √29¹ 20 रूप √29' II.2 Schnittwinkel Schnitt winkel zwischen zwei Geraden, zwei Ebenen oder einer Gerade und einer Ebene = winkel 90° Haben die Geraden g vnd h Richtungsvektoren und und die Ebenen & und F Normalenvektoren ₁ und ₂ so gilt für den 0≤x≤90⁰ mit 0° a 180° = 2+ 6+12= 20 = √√1 +4+9² = √14² α = 0⁰ d = 180⁰ - der Ebenen E und F: 10 0₁ 0₂1 Inal-Inal Taschenrechner muss auf degree sein α = COS - der Gerade g und Ebene F: Sin (2) = 10-01 lui-Ingl @ 9= 7² = ( 3 ) · ² ( ² ) 9: h.x = ·*- (1) · (-) cos (α) = = 17,60 1)-(3) JOHG)| 1+0+9 10 = √10 √11 √110 axb= Anwendungen des vektorprodukts Beispiel: 7² = ( ³ ) 6 - ( ²3 ) V.1 Für den Flacheninhalt A eines Parallelogramms, das von den vektoren gilt = A=1d²x 1 : Für den Flacheninhalt A eines Dreiecks, das von den vertoren und gilt: A = - 2²x61 x b Beispiel 2 2 3 -1 Vp = 5235 7 2 -1 Volumen Pyramide 1 196 = cos(d) = d = 14,70 98 3 VE E. 5x₁ + x3 =5 F 6x1+x2 = 15 = ²₁² (³²) √ ₁ - (8) [($)-(3) | (²³)|·|(6) |_ ~√26 ·-437 1301 √26-√37 b A= √26² +4² +8 C Aa 'h! b = 27,5 FE Spat 3 AD axb g: x = 9: * - () - ¹ (3) · E 3x₁ +5x₂-3x3 = 7 Das volumen einer Pyramide, die von drei vektoren aufgespannt wird, berechnet man so lc (axb) 1. Vp= axb Volumen Spat 78-0-02 v₁-1)-(3) Vs= Sın (d) = b 1.2 volumen von Spat+ Pyramide Ein Körper, der von drei vektoren aufgespannt wird, heißt Spat. Für das Volumen eines Spats gilt V₁= IC (dxb) 1. α= 46,8⁰ a und 6 () (¹) [(G)(4)| 13+ 10-21 √6√38 √228 aufgespannt wird, E √11 aufgespannt wird, A₁ = √26² +4² +8² = 13,75 FE -42 =114+0-2101 = 196 VE n= 5- (²³₂) 35 Anwendungsaufgaben Nadja 11 ‚ Bestimme den Abstand von A (11210) bis E⋅ 2x₁ + 2x₂ - x3 = -3 und Spiegele A an E" n²x = ( ² ) + ² (²1₁) h: t-1 in h: F(-11 011) A² = (-2²) Spiegelung an E- OA¹= OF + AF = 4 3 -4 3. X₁ = 1+2t 1 X2=2+2t x3 = -1t d=√√2² + 2² +1²¹ =√9² = 3 Zeige,dass die Gerade 9 parallel zur Ebene & ist Bestimme den Abstand zwischen & und g." -~-(G)·C)·() X = +5 i ⁹ · * = (3) · ^ ( ²³ ) g.x= -(1) +t Kreuzprodukt n Skalarprodukt (3)·()) 12 OA' ¤Ã³-(¯ ;) · ( ²³ ) F & M -4-8 12. A' -9 = 0 → Stardiprodukt = 0 g IlE E? in E: 2(1+2t) + 2 (2+2t) + 1+ = -3 gt = -9 t = -1 JA' = Der Punkt A(31-112) wird an E gespiegelt Der Bildpunkt ist A'l11-3141 Bestimme die Coordinatengleichung von E." berechne den Inhalt von ABC." ñª = E: -9x1-12x2 = -30 P(21113) in E-9-2-12-1=d →A'(-31-212) 3+1 MAA¹ = ( ³21¹ | -^+1-³) | 42²2 ) = (21-213) = AA'= - (²³²) -30 =d weiter wie in der Aufgabe davor A= 1(AC XAB11 = 2√3² +6² + 7 ²² = √84² FE Ein Dreieck ABC hat die Ecken Al 21311), B(31512) und ((-114 13). Bestimme den 11 AC = (₁) (:)) A А B E: -2x₁-2x₂ + 2x3 =d Min E-2-2-2-(-2) +2-3=d 6d E-2x1-2x2+2x3 = 6 Winkel bei A und AB - (3) (³)·(3) Cos(d) = TIKEL d 40,2⁰