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Zusammenfassung für das Abitur | Analytische Geometrie | Vektoren, Geraden, Ebenen | Parameterdarstellung und Koordinatenform | Lagebeziehungen | Geradenscharen | Ebenenscharen | Abstände und Winkel

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VEKTORON GRUNDLAGEN ALGOBRO Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt mit einer lange und einer Richtung. Es bezeichnet eine ganze Menge gleichlanger und gleichgerichteter Pfeile. Kartesisches koordinatensystem: alle koordinaten achsen sind paarweise orthogonal zueinander xy-Ebene yz-Ebene xz-Ebene Lange Ein Ventory () hat den Betrag 1V1= √ a² + b²+ C² Nullvektor : heine Richtung, Länge = 0 Ⓒ Gegenvektor -V: gleiche länge, umgehelite Richtung 4 Verbindungsvektor: ABBA 4 Ortsvektor: verbindet Puritule mit hoordinatenursprung Sind zwei Vektoren Vielfache voneinander, so sind sie parallel, da sie die gleiche oder entgegengesetzte Richtung aufweisen. Linearkombination Ⓒ veletoren heißen voneinander linear abhängig, wenn sich mindestens einer der Vektoren als Linearhombination der übrigen darstellen lässt. Ⓒ 1st keiner der veltoren eine Linearkombination der übrigen, so heißen die veltoren linear unabhängig voneinander. Zwei Vektoren a und b sind parallel, falls a = k·b (linear abhängig) spannen ein Parallelogramm auf, falls a + 4.5 (linear unabhängig) Drei Vektoren a, b und c': liegen in einer Ebene, falls Sie linear abhängig sind spannen einen Spat auf, falls sie linear unabhängig sind Skalarprodukt U₁ V₁ ū.v 8.0 U₁ V₁ + U₂ V₂ + UzV3 Uz V 3 zwei Vektoren und sind dann zueinander orthogonal, wenn ihr Shalarprodukt gleich null ist. ₁ wenn • V-0 GTR = crossP() Vektorprodukt ()) U₂ X V₂ ū x v = U₂ V3-U3 V₂ из va - И, Vз U₁ V₂ - U₂ V₁/ Der Vektor xist orthogonal zu u und zu v. GTR= dot P() GeRgDeN PARAMETERDARSTELLUNG : x² = A + K · V 9: A... Stūtz vektor V... Richtungsvektor Setzt man...

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für k eine Zahl ein, so ergibt sich der Ortsvelfor ex eines Punktes Pauf der Geraden g Ⓒ Punktprobe: Für jeden Punkt P der Geradeng gibt es eine Zahl UER, welche die parametergleichung erfüllt. SPURPUNKTE Spurpunkte der Geraden sind die Schnittpunkte mit den Ebenen des koordinatensystems. Für den Spurpunkt s₂ muss h so gewählt werden, dass die z-koordinate der Geraden gleich O ist. Der bestimmte Parameter l wird in die Parameter darstellung von g einge- Setzt, um den Spurpunkt zu ermitteln. EBONON PARAMETERDARSTELLUNG E: x=A+Su++·ñ° X A... Stützveltor vu... Richtungsvektoren 1 Setzt man für s und + beliebige Zahlen ein, so erhält man den Ortsvektor eines Punktes P der Ebene E. Ⓒ Für jeden Punkt der Ebene E gibt es Werte für s und +, sodass die Parameter darstellung der Ebene erfüllt ist. KOORDINATENFORM n₁x + n₂y + n₂z =d n... Normalenvektor Ein Vektor n heißt Normalenvektor, wenn dieser orthogonal zur Ebene E verläuft. Die Länge und Orientierung des Normalenvektors spielen dabei keine Rolle. n= Veltorprodukt der Richtungsvektoren d= Shalarprodukt von Stützvehtor und Normalenvelitor SPURPUNKTE Spurpunkte der Ebene sind die Schnittpuntite mit den koordinatenachsen. Für den Spurpunkt Sy mit der y- Achse müssen in der hoordinatenform der Ebene die x und z-koordinate gleich O gesetzt werden und y bestimmt werden. GERADE-GERADE identisch % 2 parallel LaGeBeziеHUNGEN Vorgehensweise Geraden auf Parallelität untersuchen: Richtungs vehtoren und h müssen Vielfache voneinander sein ģ= k· ĥ Ⓒ 9² * k·ñ° Punktprobe: Prüfen, ob der Stützvektor von h in g liegt. Geradengleichungen gleichsetzen: Prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt besitzen. ja : : Geraden sind identisch 3 ja: Geraden schneiden sich Ⓒ nein: Geraden sind parallel nein: Geraden Sind windschief (3) Schneiden sich 39 schneidet E h ·X² GERADE-EBENE g liegt in E 9 Ⓒ g parallel zu E Ⓒ E₁ parallel E₂ 3 E, schneidet E₂ EBENE-EBENE E, identisch E₂ Parallelenschar mögliche Aufgaben: 4 windschief 7 h Gerade g bestimmen, auf welcher sich alle Stützveltoren befinden (2 Punkte bestimmen) den Abstand der parallelen Geraden bestimmen 9 ..... Vorgehensweise Gerade und Ebene auf Parallelität untersuchen: Richtungsvektor der Geraden und Normalen vektor der Ebene müssen orthogonal sein @·n=0 (shalarprodukt) 9.0 (Shalarprodukt) Punktprobe: Prüfen, ob Stützvektor 3 g schneidet E von g in E liegt. Schnittpunkt ermitteln: · a ja: gliegt in E 2 nein: 9 ist parallel zu E Vorgehensweise Ebenen auf Parallelität untersuchen: Normalenvektoren der Ebenen müssen @n₁²₁ = k·√₂ E₁ Schneidet E₂ Schnittgerade ermitteln: Punktprobe Prüfen ob ein Punkt von E₁ auf E₂ liegt ODER Prüfen, ob die koordinalengleichungen Vielfache sind. ja: E₁ und E₂ Sind identisch nein: E₁ und ₂ Sind parallel LGS mit Ebenengleichungen bilden, Lösung für x, y und z bestimmen (eine variable frei wählbar), Geradengleichung aufstellen GeRADEN- UND EBENENSCHAREN Parameter im Stützventor 2 Parameter im Richtungsvektor : Geradenbüschel mögliche Aufgaben : Schnittpunkt aller Geraden ermitteln die Schnittgerade ermitteln, die orthogonal zu einer anderen verläuft Geradengleichung mit Ebenengleichung gleichsetzen / einsetzen. Vielfache voneinander sein T √₁₂₁²₁ +4²²5²₂²₂ (3) Ebenenscharen parallele Ebenen mögliche Aufgaben: • den Abstand der parallelen Ebenen bestimmen Schnittgerade aller Ebenen bestimmen (gleiches Vorgehen wie sonst auch, Parameter wird ignoriert) zwei orthogonale Ebenen bestimmen Sich schneidende Ebenen WINKEL & ABSTAND ZWISCHEN VEKTOREN Sind a und b zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, so gilt für den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel: cos (a) = cos (a) = ZWISCHEN GERADEN Für den spitzen Winkel zwischen zwei Geraden gund h gilt: sin (a) = ö a Tal - 161 Cos (a): lä - 히 lal 161 ZWISCHEN GERADE-EBENE Für den Winkel zwischen der Geraden g und der Ebene E gilt: Inv n ● Spitzer Winkel a b>0 stumpfer Winkel ab <0 rechter Winkel a·b=0 a und b als Richtungsvektoren der Geraden g und h 9 ZWISCHEN EBENEN Für den Winkel zwischen zwei Ebenen E₁ und E₂ gilt: Inn₂1 151 15₂ 1 n Normalenvektor der Ebene Richtungsvektor der Gerade und n Normal envektoren ANWENDUNGEN Des VEKTORPRODUKTS SPIEGELN VON PUNKTEN 1 Aufstellen der Orthogonalen h zur Ebene E durch Punkt P 2 Schnittpunkt s von Gerade h und Ebene E bestimmen 3 Für den Spiegelpunkt P' gilt: OP¹ = OP + 2. PŠ FLÄCHENINHALTE UND VOLUMINA Spannen zwei veltoren a und to ein Parallelogramm auf, so gilt: Ap=1a²x51 Apr = 1·1²x51 2 Spannen drei Vektoren ab und einen Spat auf, so gilt: Ⓒ Ver= |(axb). | Vpyr = ·|(@xb)·² | 33 Veyr= 2 ·|(axb). Cl (vierseitige Pyramide) (Spał, Prisma) (dreiseitige Pyramide) PUNKT-EBENE 1 Lotfußpunktverfahren 2 Parameter darstellung der Lofgeraden g: x²= Lotfußpunkt bestimmen: Schnittpunkt S von 9 und E Abst (PE)= |PS| Hess 'Sche Normalen form Für eine Ebene E: ñ·x²=d mit nº. P(p₁|p₂|p3) gilt: 2 → Abst (P, E). = In• OP - di Ini op +r.n n₁ 112 13 und • Verfahren auch geeignet zur Bestimmung des Abslandes zweier paralleler Ebenen PUNKT-GERADE 2) Hilfsebenenverfahren Wenn Abst (P₁E) = 0, dann liegt Pin E. Hilfsebenenverfahren Gleichung der orthogonalen Hilfsebene aufstellen (mit n = Richtungsvektor der Geraden und op) 2 Schnittpunkt S von E und 9 bestimmen 33 Abst (9.P) = |PS| Alternative: Extremwert problem (Abstand aller Punkte) Verfahren auch geeignet zur Bestimmung des Abstands zweier paralleler Geraden GERADE-GERADE (windschief) 1 Lotfußpunktverfahren aus den Geraden g und ʼn werden die allgemeinen Punkte Pund Q bestimmt: 2 + 2r OP- 4 5r 2 PQ = oQ - OP (mit Parametern) Es muss PQ 1g.h sein 3 LGS mit I PQ ·9²=0 und I P&•ñ=0 4 m.H der Parameter können die lotfußpunkte Pund Q genau bestimmt werden: Abst (g₁h) = |PQ| Aufstellen einer Hilfsebene, die genthält und parallel zu h ist : E₁ X² = @P²+ s.9² ++h -> S. Gerade g Richtungsvehtor von h Hess'sche Normalenform zur Bestimmung des Abstands Abst (g.h) = Abst (E,Q) od Stützvehtor der Geraden h (nicht in Parameter- darstellung der Ebene enthalten)

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Die Länge und Orientierung des Normalenvektors spielen dabei keine Rolle. n= Veltorprodukt der Richtungsvektoren d= Shalarprodukt von Stützvehtor und Normalenvelitor SPURPUNKTE Spurpunkte der Ebene sind die Schnittpuntite mit den koordinatenachsen. Für den Spurpunkt Sy mit der y- Achse müssen in der hoordinatenform der Ebene die x und z-koordinate gleich O gesetzt werden und y bestimmt werden. GERADE-GERADE identisch % 2 parallel LaGeBeziеHUNGEN Vorgehensweise Geraden auf Parallelität untersuchen: Richtungs vehtoren und h müssen Vielfache voneinander sein ģ= k· ĥ Ⓒ 9² * k·ñ° Punktprobe: Prüfen, ob der Stützvektor von h in g liegt. Geradengleichungen gleichsetzen: Prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt besitzen. ja : : Geraden sind identisch 3 ja: Geraden schneiden sich Ⓒ nein: Geraden sind parallel nein: Geraden Sind windschief (3) Schneiden sich 39 schneidet E h ·X² GERADE-EBENE g liegt in E 9 Ⓒ g parallel zu E Ⓒ E₁ parallel E₂ 3 E, schneidet E₂ EBENE-EBENE E, identisch E₂ Parallelenschar mögliche Aufgaben: 4 windschief 7 h Gerade g bestimmen, auf welcher sich alle Stützveltoren befinden (2 Punkte bestimmen) den Abstand der parallelen Geraden bestimmen 9 ..... Vorgehensweise Gerade und Ebene auf Parallelität untersuchen: Richtungsvektor der Geraden und Normalen vektor der Ebene müssen orthogonal sein @·n=0 (shalarprodukt) 9.0 (Shalarprodukt) Punktprobe: Prüfen, ob Stützvektor 3 g schneidet E von g in E liegt. Schnittpunkt ermitteln: · a ja: gliegt in E 2 nein: 9 ist parallel zu E Vorgehensweise Ebenen auf Parallelität untersuchen: Normalenvektoren der Ebenen müssen @n₁²₁ = k·√₂ E₁ Schneidet E₂ Schnittgerade ermitteln: Punktprobe Prüfen ob ein Punkt von E₁ auf E₂ liegt ODER Prüfen, ob die koordinalengleichungen Vielfache sind. ja: E₁ und E₂ Sind identisch nein: E₁ und ₂ Sind parallel LGS mit Ebenengleichungen bilden, Lösung für x, y und z bestimmen (eine variable frei wählbar), Geradengleichung aufstellen GeRADEN- UND EBENENSCHAREN Parameter im Stützventor 2 Parameter im Richtungsvektor : Geradenbüschel mögliche Aufgaben : Schnittpunkt aller Geraden ermitteln die Schnittgerade ermitteln, die orthogonal zu einer anderen verläuft Geradengleichung mit Ebenengleichung gleichsetzen / einsetzen. Vielfache voneinander sein T √₁₂₁²₁ +4²²5²₂²₂ (3) Ebenenscharen parallele Ebenen mögliche Aufgaben: • den Abstand der parallelen Ebenen bestimmen Schnittgerade aller Ebenen bestimmen (gleiches Vorgehen wie sonst auch, Parameter wird ignoriert) zwei orthogonale Ebenen bestimmen Sich schneidende Ebenen WINKEL & ABSTAND ZWISCHEN VEKTOREN Sind a und b zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, so gilt für den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel: cos (a) = cos (a) = ZWISCHEN GERADEN Für den spitzen Winkel zwischen zwei Geraden gund h gilt: sin (a) = ö a Tal - 161 Cos (a): lä - 히 lal 161 ZWISCHEN GERADE-EBENE Für den Winkel zwischen der Geraden g und der Ebene E gilt: Inv n ● Spitzer Winkel a b>0 stumpfer Winkel ab <0 rechter Winkel a·b=0 a und b als Richtungsvektoren der Geraden g und h 9 ZWISCHEN EBENEN Für den Winkel zwischen zwei Ebenen E₁ und E₂ gilt: Inn₂1 151 15₂ 1 n Normalenvektor der Ebene Richtungsvektor der Gerade und n Normal envektoren ANWENDUNGEN Des VEKTORPRODUKTS SPIEGELN VON PUNKTEN 1 Aufstellen der Orthogonalen h zur Ebene E durch Punkt P 2 Schnittpunkt s von Gerade h und Ebene E bestimmen 3 Für den Spiegelpunkt P' gilt: OP¹ = OP + 2. PŠ FLÄCHENINHALTE UND VOLUMINA Spannen zwei veltoren a und to ein Parallelogramm auf, so gilt: Ap=1a²x51 Apr = 1·1²x51 2 Spannen drei Vektoren ab und einen Spat auf, so gilt: Ⓒ Ver= |(axb). | Vpyr = ·|(@xb)·² | 33 Veyr= 2 ·|(axb). Cl (vierseitige Pyramide) (Spał, Prisma) (dreiseitige Pyramide) PUNKT-EBENE 1 Lotfußpunktverfahren 2 Parameter darstellung der Lofgeraden g: x²= Lotfußpunkt bestimmen: Schnittpunkt S von 9 und E Abst (PE)= |PS| Hess 'Sche Normalen form Für eine Ebene E: ñ·x²=d mit nº. P(p₁|p₂|p3) gilt: 2 → Abst (P, E). = In• OP - di Ini op +r.n n₁ 112 13 und • Verfahren auch geeignet zur Bestimmung des Abslandes zweier paralleler Ebenen PUNKT-GERADE 2) Hilfsebenenverfahren Wenn Abst (P₁E) = 0, dann liegt Pin E. Hilfsebenenverfahren Gleichung der orthogonalen Hilfsebene aufstellen (mit n = Richtungsvektor der Geraden und op) 2 Schnittpunkt S von E und 9 bestimmen 33 Abst (9.P) = |PS| Alternative: Extremwert problem (Abstand aller Punkte) Verfahren auch geeignet zur Bestimmung des Abstands zweier paralleler Geraden GERADE-GERADE (windschief) 1 Lotfußpunktverfahren aus den Geraden g und ʼn werden die allgemeinen Punkte Pund Q bestimmt: 2 + 2r OP- 4 5r 2 PQ = oQ - OP (mit Parametern) Es muss PQ 1g.h sein 3 LGS mit I PQ ·9²=0 und I P&•ñ=0 4 m.H der Parameter können die lotfußpunkte Pund Q genau bestimmt werden: Abst (g₁h) = |PQ| Aufstellen einer Hilfsebene, die genthält und parallel zu h ist : E₁ X² = @P²+ s.9² ++h -> S. Gerade g Richtungsvehtor von h Hess'sche Normalenform zur Bestimmung des Abstands Abst (g.h) = Abst (E,Q) od Stützvehtor der Geraden h (nicht in Parameter- darstellung der Ebene enthalten)