Mathe (LK) Geometrie - Abitur Lernzettel

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Null setzen) Normalfom 1 Ortsvektor Parameter form übemenmen 2 2 mögliche Spannvektoren ermitteln 1 Normalvektor aus Spannvektoren best mmen 2 Ortsvektor übernehmen Lagebeziehungen und Abstände... lineare Abhängigkeit Zwei vektoren • linear abhängig, wenn a ein skalares vielfaches von b bzw. a und b paralul sind b=ra bzw. alb • linear unabhängig, wenn bra bzw. ab LAGEBEZIEHUNGEN zwei Geraden ist Schnittpunkt 1 Parameter for guichsetzen, umformen, normalisieren bilden und lösen 2 Matrix 3 Parameter einsetzen → genau eine Lösung des LGS parallel 1 Richtungsvektoren Linear Abhängig 2 kein gemeinsamer Punkt/Ortsvektor, schneiden sich nicht bzw. keine Lösung aus LGS (Kreuzprodukt * 0) zwei Ebenen Schnittgerade 1 Nomalvektoren linear unabhängig 2 unenduen viele Lösungen des LGS (bestimmen s. nächste Seile) Gerade und Ebene parallel 1 Normalvektoren unear abhängig 2 kein gemeinsamer Punkt/Ortsvektor, schneiden sich nicht bzw. keine Lösung des LGS 2 H parallel 2 9 gl|n Schnittpunkt ^ Richtungsvektor w beiden Spannvektoren unear unabhängig genau eine Lösung des LGS, bestimmen selbe Methode wie bei zwei Geraden E|H h ● drei vektoren ^ Richtungsvektor ist linear abhängig zu den Spannvektoren kein gemeinsame Punkt/Ortsvektor, schneiden sich nicht bzw. keine Lösung des LGS linear abhängig, wenn aue in einer Ebene wegen linear unabhängig, wenn sie den R³ aufspannen Ellg b=ra+k identisch 1 Richtungsvektoren Linear Abhängig g=h 2 Stützvektor ist ein Ortsvektor der jeweils anderen Gerade (einsetzen) bzw. unendlich viele Lösungen des LGS wind schief 1 sind nicht paralle kein gemeinsamer Punkt, schneiden sich nicht bzw. LGS keine Lösung 2 identisch 1 Normalen vektor wnear abhängig 2 Stützvektor ist ein Ortsvektor der jeweils anderen Ebene (einsetzen) bzw. unendlich viele Lösungen des LGS E=H 9 identisch bzw. g liegt in E ^ Richtungsvektor ist linear abhängig w den Spannvektoren 2 Stützvektor ist ein Ortsvektor des jeweils anderen Objektes (einsetzen) bzw. unendlich viele Lösungen des LGS E=9 9 AT X1 BV Ja Untersuchung der Lagebeziehung zweier Geraden g: X = A + A¹ ; A ER und h: X=B+μ• V; μ€ R Die Geraden g und h sind identisch. Die Geraden g und h verlaufen g=h echt parallel zueinander. g || h (Ggf. Abstand bestimmen.) Sind die Richtungsvektoren und ein Vielfaches voneinander? Prüfen, ob = k 7 mit k € R gilt. Liegt der Punkt A auf der Geraden h ? Prüfen, ob A = B + μgilt. g Ja Nein B AU TIM X1 V X3 h 9 Hat die Gleichung A + λ · π = B + µ • V eine eindeutige Lösung? AT Ja Die Geraden g und h schneiden sich. Die Geraden g und h sind windschief. (Ggf. Schnittpunkt und/oder Schnittwinkel bestimmen.) (Ggf. Abstand bestimmen.) a S Nein X3 B Nein g AU X1 B X3 V Punktprobe ergibt: A E F Die Ebenen E und F sind identisch. E = F A TE E = F te Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen E: TEO (X-A) = 0 und F: Fo (X-B) = 0 Ja, TE=k. Ti F n'F Sind die Normalenvektoren und ein Vielfaches voneinander? Prüfen, ob k. F mit k € R gilt. Ja Punktprobe ergibt: A & F Die Ebenen E und F sind echt parallel zueinander. E | F (Ggf. Abstand bestimmen.) TE B TE F E Nein Nein, TEK. TIF Die Ebenen E und F besitzen eine gemeinsame Schnittgerade. (Ggf. Schnittgerade und/oder Schnittwinkel bestimmen.) nF a E F Punktprobe ergibt: A € E Die Gerade g liegt in der Ebene E. gCh A 15 E Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene 9: X = A + A.; AER und E: TEO (X-B) = 0 9 Sind der Richtungsvektor und der Normalenvektor LE zueinander senkrecht? Prüfen mit: WOTE=0 ITE Ja, o=0 Ja Punktprobe ergibt: A & E Die Gerade g verläuft echt parallel zur Ebene E. g|| E (Ggf. Abstand bestimmen.) nE A U E 9 Nein Nein, TOTE #0 Die Gerade g schneidet die Ebene E. (Ggf. Schnittpunkt und/oder Schnittwinkel bestimmen.) TE 9 u E PROJEKTION ABSTÄNDE Punkt → Punkt Betrag des Verbindungsvektors |AB| Punkt → Gerade Punkt → Ebene P E Gerade → Ebene b a = E A *be) be B 1x1= [(6³*)] - BA 1x1 = (6P * ne). nel IxI= BA* ne) nel -Schnittgerade bestimmen in Koordinaten for! 1.) eine variable wegfallen lassen (+/-) → ein Term aus 2 Variabun + Nach einer variable um formen 2.) ↳ in eine Ebenenguichung einsetzen und nach anderen variable umformen 3.) 2.B.: x₁ = Term (x₂) x₂ = Term (x₂) - ( ) - ( ) - ( : ) + ~ (†) C = X₂ 0+1 X3 -Lotfußpunkt. Punkt senkrecht zum entsprechenden Objekt konstruiert Gerade Gerade windschiefe: Ebene Ebene parallel: A* ^ E₁ x3 = x3 BE₂ 1x1 = (BA* ne). nel parallel: wie Punkt und Gerade 1x1 = (BA* ₂) nel Skalarprodukt a₁ a₂ * 3, 3*b WINKEL pas Skalarprodukt der Einheitsvektoren wiefert den cos-wert des gesuchten winkels. a*b Tal-161 in cos^ einsetzen → x Wert = winkel COS (K) = Kreuzprodukt = 3 × 6 = (3₂) FLÄCHE a Paralelogramm a₁ b = a₁.b₁ + a, b, a, b, VOLUMEN Spat produkt x 3₂ * be cos (x) = x= = a*be reduziert aut Länge 1 durch Einheits vektor Normalvektor • Orthogonal wr aufgespannten Ebene Länge des Normalvektors = Größe des aufgespannten Paralelogramms b. V= n(b)| a, b, a,. b₂ a, b₁ a, b, a₁ b₂ ·3₂ b₁ Dreieck a V = |( 3 × b ) * 21 b n = Tetraeda a V== (6) a V = 1 × 6)* 21.3 -orthogonal b 90˚C. alb → cos (90) = 0 = ₂ * b₂ -Winkelbestimmung. zwei Geraden Richtungsvektoren zwei Ebenen → Nomalvektoren Gerade und Ebene Richtungsv. + Normalv (90-x) A== lab Paralelogramm ! Grundfläche ! Dreieckig viereckig. Pyramide V= (3xb)* 21.3 b