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Analytische Geometrie - Ebenen

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 Parameterform: E: X² =
mit rund sER
A
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SV + r Span V₁ + S. Span √₂
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E : X² = ÕÀ· +r. AB
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- Parameterform, Koordinatenform, Normalenform - Ebenengleichung aufstellen - Ebenengleichungen in einander umformen - Darstellung von Ebenen - Spurpunkte - Spurgeraden

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Parameterform: E: X² = mit rund sER A OA AC chenen SV + r Span V₁ + S. Span √₂ + S. AC C E : X² = ÕÀ· +r. AB E : X² B = a² +r·b² + 5.2 Ebene E Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A,B und C. dürfen nicht auf einer Geraden liegen Normalen form: E: [ R²-SV] ·ñ³² = 0 n² = SpanV₁ × SpanV₂ Koordinatenform: E: ax+by+cz =d nº * = ( 2 ) b Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stüd Ziektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützuektors and zwei anderen Punkten SV Stützvektor SpanV₁ = Spannvektor 1. Spank₂ = Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! Punkt und Gerade 1. Sv der Geraden = 5V der Ebene 2. RV der Geraden = Span V₁ der Ebene: 3. Span₂ vektor zwischen dem Punkt und dem 5V² Her Gerade Kreuzprodukt/ Vektorprodukt Zwei Geraden, die parallel sind 1. SV einer der Geraden = 5V der Ebene 2. RV einer der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Span₂ vektor zwischen den beiden SV (als Punkte) Her beiden Geraden Zwei Geraden, die sich schneiden 1.5v einer der Geraden = 5V der Ebene 2. beide RV der Geraden = Spannvektoren der Ebene Ebenengleichungen umwandeln Parameterform in Normalenform : 1. n bilden durch box 2 E x² = a² +r·b² + 5.2²³. : :↓. E: [x²-SV]·²=0 Beispiel: E: X'= X* • ( 6 ) + ( ²2 ) + ₁ ( ² ) +S 3 ^² = ( ₂² ) × ( ²³ ) 1. 2 X. Beispiel: 2. E: n= =...

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( 2² ) [x² - ( 9 ) ] · ( 8 ) = 0 ↓ E: ax+by+cz =d Normalenform: Parameterform: E: ². Parameterform in Koordinatenform: 1. n bilden durch box 2 E: x² = a +r. 5² + 5.2²³ (kreuz produkt der beiden Spannvektoren) 2. SV bleibt gleich und wird eingesetzt h² = ; V, SEIR ~² = ( ²³ ) × ( ²² ) X 3 2 -1 3. 2₁ 3 = · ( 1 ) + ( ²³ ) + s ( ²²₁ ) (Kreuzprodukt der beiden Spännvektoren) 2. E in Koordinaten form aufstellen 3. Sv in koordinaten form einsetzen und a berechnen 2.(-1)-(-1):.0 = -2 (-1)-3-3-(-1) = 0 ·3·0.-.2.3 = -6₁ →E: 4x-10y-z = -8 Koordinatenform: E: 4x-10y-z = d. → Stützvektor linsetzen E: 4.1 -10.1-2= d. und d berechnen. -8 = d Nebenrechnung. -3 ; V, SEIR دید 2 .-^. 2 XXX 1.2 - (2:(-1)) 2.(-2)-3.2 = 4 = -10 3.(-1)-1-(-2) = 1 Normalen form in koordinaten form: 1. Koordinaten des Normalenvektors E: [X-SV]·²=0 für Parameter der Koordinaten form. einsetzen 2.5v in koordinaten form einsetzen und d berechnen ↓ E: ax+by+cz =d Beispiel: E: [** - (-2)] · (²3³) = =0. 1. n=3) 6 E: ax+by+cz =d E: 2x-3y+92 = d 2. SV in E: Sv² = (-12) → 2-1-3-(-2) +9.5 = d 2 +6+45 =d 53 a E: 2x-3y+92 = 53 koordinaten form in Parameterform E: ax+by+cz =d E: ? = ↓ E: x² = a² +r·b² + 5.2² Beispiel: 2x+4y=3² = 12 1-4y+32 2x = 12-4y +32 1:2 x = 6 - 2y + ³/2 x = 6 - 2y +32 = 6-2r + 2/2 ³ y = Z = S 1. Koordinatenform nach einer koordinate umformen 2. anderen Koordinaten mit r und s ersetzen 3. in die Parameterform einsetzen X, Y, Z in Parameterform 를 - ( ) -( * * * * ) - ( ) + ( ) + ( 3 ) E: +r S 2 S 0 (*)+(3) (6) + + √(3 VISEIR Vis EIR Darstellung von Ebenen E: ax +by+cz =d l:d ax+by+ z = 1 → Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinaten achsen (Spurpunkte) Sxy=0,2 =0 → Sx (1010) → Sy (01/10) : x=0,2 = 0 x=0, y = S₂ (0101ª) Sy ₂ Sz Achsenabschnittsgleichung: € + 1/2 + ²³/² = 1 A Beispiel: 2x+4y +52 =20 1:20 X6 + 1/2 + 1/ / → Sx (101010) Sy (01510) Sz (01014) Spurpunkte Schnittpunkt einer Ebene mit den Koordinatenachsen 1. Ebenenform in koordinaten form um formen 2. Jeweils 2 Parameter. O setzen =1 Schnittpunkt mit der x-Achse → y=0,2 =0 Schnittpunkt mit der y-Achse → x=0,² = Schnittpunkt mit der Z-Achse ⇒ x = 0₁ Y=0 3. nach der Variable umstellen → Sx (x1010). Sy (0/y10). S₂ (01012). Beispiel: E: 4x+3y+6z=36 y=0,2 = 0. 4x+3.0+60=36 4x = 36 1:4 = 9 Sx (91010) x=0,² = 0 4.0 + 3y+6.0 = 36 3y = 36 1:3 Y =12 →Sy (011210) x=0₁ Y=0 ·4·0+3.0 +62=36. man kann auch die Achsenabschnittsgleichung →S₂ (01016) nutzen 62=361:6 2=6 Spurgeraden Schnittgerade von E und Ex, Ex₂, Eye 1. koordinaten der Achsen abschnitte ermitteln 2. Geradengleichung durch diese aufstellen Beispiel: E: 4x + 3y +6z=36 1:36. + 2 + 2 =^ . → Sx (91010). → Sy (011210) → Sz (01016). Schnillgerade mit. Exy: g₁₁ Schnillgerade mit Exa: X = g ₁² (8) + + r. x² = OSx +rSx Sy x = ( ³² ) + + - ( 2³ ) x² = OSx +rSxS₂ Schnililgerade mit Eya: 9₁₁ P² = ( 2 ) + 5- (-:-) 8 93 S x² = OS¢ +r. Sy S₂ ; VER itER ; SER

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SV + r Span V₁ + S. Span √₂
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E
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X²
B
=
a² +r·b² + 5.2
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Parameterform: E: X² = mit rund sER A OA AC chenen SV + r Span V₁ + S. Span √₂ + S. AC C E : X² = ÕÀ· +r. AB E : X² B = a² +r·b² + 5.2 Ebene E Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein bzw. A,B und C. dürfen nicht auf einer Geraden liegen Normalen form: E: [ R²-SV] ·ñ³² = 0 n² = SpanV₁ × SpanV₂ Koordinatenform: E: ax+by+cz =d nº * = ( 2 ) b Ebenengleichungen aufstellen 3 Punkte gegeben 1. ein Punkt als Stüd Ziektor 2. Spannvektoren zwischen Punkt des Stützuektors and zwei anderen Punkten SV Stützvektor SpanV₁ = Spannvektor 1. Spank₂ = Spannvektor 2 Ebenen sind unbegrenzt! Punkt und Gerade 1. Sv der Geraden = 5V der Ebene 2. RV der Geraden = Span V₁ der Ebene: 3. Span₂ vektor zwischen dem Punkt und dem 5V² Her Gerade Kreuzprodukt/ Vektorprodukt Zwei Geraden, die parallel sind 1. SV einer der Geraden = 5V der Ebene 2. RV einer der Geraden = SpanV₁ der Ebene 3. Span₂ vektor zwischen den beiden SV (als Punkte) Her beiden Geraden Zwei Geraden, die sich schneiden 1.5v einer der Geraden = 5V der Ebene 2. beide RV der Geraden = Spannvektoren der Ebene Ebenengleichungen umwandeln Parameterform in Normalenform : 1. n bilden durch box 2 E x² = a² +r·b² + 5.2²³. : :↓. E: [x²-SV]·²=0 Beispiel: E: X'= X* • ( 6 ) + ( ²2 ) + ₁ ( ² ) +S 3 ^² = ( ₂² ) × ( ²³ ) 1. 2 X. Beispiel: 2. E: n= =...

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( 2² ) [x² - ( 9 ) ] · ( 8 ) = 0 ↓ E: ax+by+cz =d Normalenform: Parameterform: E: ². Parameterform in Koordinatenform: 1. n bilden durch box 2 E: x² = a +r. 5² + 5.2²³ (kreuz produkt der beiden Spannvektoren) 2. SV bleibt gleich und wird eingesetzt h² = ; V, SEIR ~² = ( ²³ ) × ( ²² ) X 3 2 -1 3. 2₁ 3 = · ( 1 ) + ( ²³ ) + s ( ²²₁ ) (Kreuzprodukt der beiden Spännvektoren) 2. E in Koordinaten form aufstellen 3. Sv in koordinaten form einsetzen und a berechnen 2.(-1)-(-1):.0 = -2 (-1)-3-3-(-1) = 0 ·3·0.-.2.3 = -6₁ →E: 4x-10y-z = -8 Koordinatenform: E: 4x-10y-z = d. → Stützvektor linsetzen E: 4.1 -10.1-2= d. und d berechnen. -8 = d Nebenrechnung. -3 ; V, SEIR دید 2 .-^. 2 XXX 1.2 - (2:(-1)) 2.(-2)-3.2 = 4 = -10 3.(-1)-1-(-2) = 1 Normalen form in koordinaten form: 1. Koordinaten des Normalenvektors E: [X-SV]·²=0 für Parameter der Koordinaten form. einsetzen 2.5v in koordinaten form einsetzen und d berechnen ↓ E: ax+by+cz =d Beispiel: E: [** - (-2)] · (²3³) = =0. 1. n=3) 6 E: ax+by+cz =d E: 2x-3y+92 = d 2. SV in E: Sv² = (-12) → 2-1-3-(-2) +9.5 = d 2 +6+45 =d 53 a E: 2x-3y+92 = 53 koordinaten form in Parameterform E: ax+by+cz =d E: ? = ↓ E: x² = a² +r·b² + 5.2² Beispiel: 2x+4y=3² = 12 1-4y+32 2x = 12-4y +32 1:2 x = 6 - 2y + ³/2 x = 6 - 2y +32 = 6-2r + 2/2 ³ y = Z = S 1. Koordinatenform nach einer koordinate umformen 2. anderen Koordinaten mit r und s ersetzen 3. in die Parameterform einsetzen X, Y, Z in Parameterform 를 - ( ) -( * * * * ) - ( ) + ( ) + ( 3 ) E: +r S 2 S 0 (*)+(3) (6) + + √(3 VISEIR Vis EIR Darstellung von Ebenen E: ax +by+cz =d l:d ax+by+ z = 1 → Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinaten achsen (Spurpunkte) Sxy=0,2 =0 → Sx (1010) → Sy (01/10) : x=0,2 = 0 x=0, y = S₂ (0101ª) Sy ₂ Sz Achsenabschnittsgleichung: € + 1/2 + ²³/² = 1 A Beispiel: 2x+4y +52 =20 1:20 X6 + 1/2 + 1/ / → Sx (101010) Sy (01510) Sz (01014) Spurpunkte Schnittpunkt einer Ebene mit den Koordinatenachsen 1. Ebenenform in koordinaten form um formen 2. Jeweils 2 Parameter. O setzen =1 Schnittpunkt mit der x-Achse → y=0,2 =0 Schnittpunkt mit der y-Achse → x=0,² = Schnittpunkt mit der Z-Achse ⇒ x = 0₁ Y=0 3. nach der Variable umstellen → Sx (x1010). Sy (0/y10). S₂ (01012). Beispiel: E: 4x+3y+6z=36 y=0,2 = 0. 4x+3.0+60=36 4x = 36 1:4 = 9 Sx (91010) x=0,² = 0 4.0 + 3y+6.0 = 36 3y = 36 1:3 Y =12 →Sy (011210) x=0₁ Y=0 ·4·0+3.0 +62=36. man kann auch die Achsenabschnittsgleichung →S₂ (01016) nutzen 62=361:6 2=6 Spurgeraden Schnittgerade von E und Ex, Ex₂, Eye 1. koordinaten der Achsen abschnitte ermitteln 2. Geradengleichung durch diese aufstellen Beispiel: E: 4x + 3y +6z=36 1:36. + 2 + 2 =^ . → Sx (91010). → Sy (011210) → Sz (01016). Schnillgerade mit. Exy: g₁₁ Schnillgerade mit Exa: X = g ₁² (8) + + r. x² = OSx +rSx Sy x = ( ³² ) + + - ( 2³ ) x² = OSx +rSxS₂ Schnililgerade mit Eya: 9₁₁ P² = ( 2 ) + 5- (-:-) 8 93 S x² = OS¢ +r. Sy S₂ ; VER itER ; SER