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Ebenengleichungen verstehen: Parameterform, Normalenform und Spurpunkte einfach erklärt

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19.3.2021

Mathe

Analytische Geometrie - Ebenen

Ebenengleichungen verstehen: Parameterform, Normalenform und Spurpunkte einfach erklärt

Analytical Geometry of Planes provides comprehensive coverage of plane equations, their various forms, and methods for calculating intersection points and lines.

Key points:

  • Explores three main forms of plane equations: Parameterform in Koordinatenform, Ebenengleichung Normalenform, and coordinate form
  • Details methods for setting up plane equations using three points or point-line combinations
  • Covers conversion between different forms of plane equations
  • Explains calculation of trace points and trace lines
  • Demonstrates practical applications through worked examples
...

19.3.2021

7962

Parameterform: EX² =
mit rund sER
AC
Ebenen
SV + r Span V₁ + S. Span Vz
+ S. AC
C
E : X² = A +r AB
E: =
a +r·b² + 5.2²
Ebene E
Normalen form

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Umwandlung von Ebenengleichungen

Die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Ebenengleichungen ist ein wichtiger Aspekt der analytischen Geometrie. Hier werden die Schritte für einige häufige Umwandlungen erläutert.

Parameterform in Normalenform

Um eine Ebenengleichung in Parameterform in die Normalenform umzuwandeln, folgt man diesen Schritten:

  1. Bilde den Normalenvektor n durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
  2. Setze den Stützvektor und den Normalenvektor in die Normalenform ein.

Example: Für die Ebene E: x = 1,2,31, 2, 3 + r · 3,2,13, 2, 1 + s · 2,1,22, -1, 2 ergibt sich: n = 2,1,22, -1, 2 × 3,2,13, 2, 1 = 5,4,75, 4, -7 E: x(1,2,3)x - (1, 2, 3) · 5,4,75, 4, -7 = 0

Parameterform in Koordinatenform

Die Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform erfolgt so:

  1. Bilde den Normalenvektor n durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren.
  2. Stelle die Koordinatenform auf: ax + by + cz = d
  3. Setze den Stützvektor ein und berechne d.

Example: Für E: x = 1,2,31, -2, 3 + r · 2,1,12, 1, -1 + s · 1,3,21, 3, 2: n = 1,3,21, 3, 2 × 2,1,12, 1, -1 = 7,5,5-7, -5, -5 E: -7x - 5y - 5z = d Einsetzen des Stützvektors: -711 - 52-2 - 533 = d d = -28

Normalenform in Koordinatenform

Bei der Umwandlung von der Normalenform in Koordinatenform:

  1. Übernimm die Koordinaten des Normalenvektors als Parameter a, b und c.
  2. Setze den Stützvektor in die Gleichung ein und berechne d.

Example: Für E: x(2,3,5)x - (2, -3, 5) · 2,3,92, -3, 9 = 0: E: 2x - 3y + 9z = d 222 - 33-3 + 955 = d d = 58

Diese Umwandlungen sind essentiell für das Verständnis und die Arbeit mit Ebenen im Raum.

Parameterform: EX² =
mit rund sER
AC
Ebenen
SV + r Span V₁ + S. Span Vz
+ S. AC
C
E : X² = A +r AB
E: =
a +r·b² + 5.2²
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Spurpunkte und Spurgeraden

Die Berechnung von Spurpunkten und Spurgeraden ist ein wichtiger Aspekt bei der Analyse von Ebenen im Raum. Diese Konzepte helfen, die Lage einer Ebene im Koordinatensystem zu visualisieren.

Spurpunkte

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. Sie lassen sich wie folgt berechnen:

  1. Bringe die Ebenengleichung in die Koordinatenform: ax + by + cz = d
  2. Setze jeweils zwei Koordinaten auf Null und löse nach der dritten auf

Example: Für die Ebene E: 2x + 4y + 5z = 20 Sx 10,0,010, 0, 0: 2x = 20, x = 10 Sy 0,5,00, 5, 0: 4y = 20, y = 5 Sz 0,0,40, 0, 4: 5z = 20, z = 4

Highlight: Die Achsenabschnittsgleichung x/a + y/b + z/c = 1 kann als alternative Darstellung verwendet werden, wobei a, b und c die Koordinaten der Spurpunkte sind.

Spurgeraden

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen. Sie werden wie folgt bestimmt:

  1. Berechne die Koordinaten der Achsenabschnitte SpurpunkteSpurpunkte
  2. Stelle die Geradengleichung durch diese Punkte auf

Example: Für die Ebene E: 4x + 3y + 6z = 36 Spurpunkte: Sx 9,0,09, 0, 0, Sy 0,12,00, 12, 0, Sz 0,0,60, 0, 6 Schnittgerade mit Exy: g1: x = 9 - 3/4r, y = 12 + 3/4r, z = 0 Schnittgerade mit Exz: g2: x = 9 - 3/2r, y = 0, z = 6 + 1/2r Schnittgerade mit Eyz: g3: x = 0, y = 12 - 2r, z = 6 + r

Die Berechnung von Spurpunkten und Spurgeraden ist besonders nützlich für die grafische Darstellung von Ebenen und hilft bei der Lösung komplexerer Aufgaben in der analytischen Geometrie.

Parameterform: EX² =
mit rund sER
AC
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SV + r Span V₁ + S. Span Vz
+ S. AC
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E : X² = A +r AB
E: =
a +r·b² + 5.2²
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Zusammenfassung und Anwendungen

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Konzepte zur Darstellung und Analyse von Ebenen im Raum zusammengefasst und ihre praktischen Anwendungen hervorgehoben.

  1. Darstellungsformen von Ebenen: Parameterform: E: x = a + r · b + s · c Normalenform: E: xax - a · n = 0 Koordinatenform: E: ax + by + cz = d
  2. Umwandlung zwischen den Formen: Von Parameterform in Normalenform und Koordinatenform Von Normalenform in Koordinatenform Von Koordinatenform in Parameterform
  3. Spurpunkte und Spurgeraden: Spurpunkte als Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Spurgeraden als Schnittlinien mit Koordinatenebenen

Highlight: Die Fähigkeit, zwischen verschiedenen Darstellungsformen zu wechseln und Spurpunkte sowie Spurgeraden zu berechnen, ist entscheidend für die Analyse und Visualisierung von Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Diese Konzepte finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:

  • In der Computergrafik zur Darstellung von 3D-Objekten
  • In der Physik zur Beschreibung von Bewegungen und Kräften im Raum
  • In der Ingenieurwissenschaft für die Konstruktion und Analyse von Strukturen

Example: Ein Ingenieur könnte die Ebenengleichung nutzen, um die Neigung einer Dachfläche zu beschreiben oder die Schnittlinie zweier Wände zu berechnen.

Das Verständnis und die Anwendung dieser Konzepte bilden eine solide Grundlage für weiterführende Themen in der analytischen Geometrie und verwandten Gebieten der Mathematik.

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Page 5: Trace Lines and Intersections

The final page explores Spurgerade berechnen and the determination of intersection lines between planes and coordinate planes.

Definition: Trace lines are the intersections of a plane with coordinate planes Exy,Exz,EyzExy, Exz, Eyz.

Example: For the plane 4x + 3y + 6z = 36, trace lines are calculated using axis intercepts and establishing line equations through these points.

Highlight: The process involves first finding trace points and then using these to construct the equations of trace lines.

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Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

7.962

19. März 2021

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Ebenengleichungen verstehen: Parameterform, Normalenform und Spurpunkte einfach erklärt

Analytical Geometry of Planes provides comprehensive coverage of plane equations, their various forms, and methods for calculating intersection points and lines.

Key points:

  • Explores three main forms of plane equations: Parameterform in Koordinatenform, Ebenengleichung Normalenform, and coordinate form... Mehr anzeigen

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Umwandlung von Ebenengleichungen

Die Umwandlung zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Ebenengleichungen ist ein wichtiger Aspekt der analytischen Geometrie. Hier werden die Schritte für einige häufige Umwandlungen erläutert.

Parameterform in Normalenform

Um eine Ebenengleichung in Parameterform in die Normalenform umzuwandeln, folgt man diesen Schritten:

  1. Bilde den Normalenvektor n durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
  2. Setze den Stützvektor und den Normalenvektor in die Normalenform ein.

Example: Für die Ebene E: x = 1,2,31, 2, 3 + r · 3,2,13, 2, 1 + s · 2,1,22, -1, 2 ergibt sich: n = 2,1,22, -1, 2 × 3,2,13, 2, 1 = 5,4,75, 4, -7 E: x(1,2,3)x - (1, 2, 3) · 5,4,75, 4, -7 = 0

Parameterform in Koordinatenform

Die Umwandlung von der Parameterform in Koordinatenform erfolgt so:

  1. Bilde den Normalenvektor n durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren.
  2. Stelle die Koordinatenform auf: ax + by + cz = d
  3. Setze den Stützvektor ein und berechne d.

Example: Für E: x = 1,2,31, -2, 3 + r · 2,1,12, 1, -1 + s · 1,3,21, 3, 2: n = 1,3,21, 3, 2 × 2,1,12, 1, -1 = 7,5,5-7, -5, -5 E: -7x - 5y - 5z = d Einsetzen des Stützvektors: -711 - 52-2 - 533 = d d = -28

Normalenform in Koordinatenform

Bei der Umwandlung von der Normalenform in Koordinatenform:

  1. Übernimm die Koordinaten des Normalenvektors als Parameter a, b und c.
  2. Setze den Stützvektor in die Gleichung ein und berechne d.

Example: Für E: x(2,3,5)x - (2, -3, 5) · 2,3,92, -3, 9 = 0: E: 2x - 3y + 9z = d 222 - 33-3 + 955 = d d = 58

Diese Umwandlungen sind essentiell für das Verständnis und die Arbeit mit Ebenen im Raum.

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Spurpunkte und Spurgeraden

Die Berechnung von Spurpunkten und Spurgeraden ist ein wichtiger Aspekt bei der Analyse von Ebenen im Raum. Diese Konzepte helfen, die Lage einer Ebene im Koordinatensystem zu visualisieren.

Spurpunkte

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. Sie lassen sich wie folgt berechnen:

  1. Bringe die Ebenengleichung in die Koordinatenform: ax + by + cz = d
  2. Setze jeweils zwei Koordinaten auf Null und löse nach der dritten auf

Example: Für die Ebene E: 2x + 4y + 5z = 20 Sx 10,0,010, 0, 0: 2x = 20, x = 10 Sy 0,5,00, 5, 0: 4y = 20, y = 5 Sz 0,0,40, 0, 4: 5z = 20, z = 4

Highlight: Die Achsenabschnittsgleichung x/a + y/b + z/c = 1 kann als alternative Darstellung verwendet werden, wobei a, b und c die Koordinaten der Spurpunkte sind.

Spurgeraden

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen. Sie werden wie folgt bestimmt:

  1. Berechne die Koordinaten der Achsenabschnitte SpurpunkteSpurpunkte
  2. Stelle die Geradengleichung durch diese Punkte auf

Example: Für die Ebene E: 4x + 3y + 6z = 36 Spurpunkte: Sx 9,0,09, 0, 0, Sy 0,12,00, 12, 0, Sz 0,0,60, 0, 6 Schnittgerade mit Exy: g1: x = 9 - 3/4r, y = 12 + 3/4r, z = 0 Schnittgerade mit Exz: g2: x = 9 - 3/2r, y = 0, z = 6 + 1/2r Schnittgerade mit Eyz: g3: x = 0, y = 12 - 2r, z = 6 + r

Die Berechnung von Spurpunkten und Spurgeraden ist besonders nützlich für die grafische Darstellung von Ebenen und hilft bei der Lösung komplexerer Aufgaben in der analytischen Geometrie.

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Zusammenfassung und Anwendungen

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Konzepte zur Darstellung und Analyse von Ebenen im Raum zusammengefasst und ihre praktischen Anwendungen hervorgehoben.

  1. Darstellungsformen von Ebenen: Parameterform: E: x = a + r · b + s · c Normalenform: E: xax - a · n = 0 Koordinatenform: E: ax + by + cz = d
  2. Umwandlung zwischen den Formen: Von Parameterform in Normalenform und Koordinatenform Von Normalenform in Koordinatenform Von Koordinatenform in Parameterform
  3. Spurpunkte und Spurgeraden: Spurpunkte als Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Spurgeraden als Schnittlinien mit Koordinatenebenen

Highlight: Die Fähigkeit, zwischen verschiedenen Darstellungsformen zu wechseln und Spurpunkte sowie Spurgeraden zu berechnen, ist entscheidend für die Analyse und Visualisierung von Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Diese Konzepte finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:

  • In der Computergrafik zur Darstellung von 3D-Objekten
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Example: Ein Ingenieur könnte die Ebenengleichung nutzen, um die Neigung einer Dachfläche zu beschreiben oder die Schnittlinie zweier Wände zu berechnen.

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Page 5: Trace Lines and Intersections

The final page explores Spurgerade berechnen and the determination of intersection lines between planes and coordinate planes.

Definition: Trace lines are the intersections of a plane with coordinate planes Exy,Exz,EyzExy, Exz, Eyz.

Example: For the plane 4x + 3y + 6z = 36, trace lines are calculated using axis intercepts and establishing line equations through these points.

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Grundlagen der Ebenengleichungen

Die Ebenengleichung in Parameterform ist eine grundlegende Darstellungsform für Ebenen im dreidimensionalen Raum. Sie basiert auf einem Stützvektor und zwei Spannvektoren, die die Ebene aufspannen.

Definition: Die Parameterform einer Ebene lautet: E: x = a + r · b + s · c, wobei a der Stützvektor und b und c die Spannvektoren sind.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Spannvektoren nicht kollinear sein dürfen, d.h. die Punkte A, B und C, die zur Bestimmung der Vektoren verwendet werden, dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Die Normalenform einer Ebene verwendet den Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Definition: Die Normalenform einer Ebene wird ausgedrückt als: E: xax - a · n = 0, wobei n der Normalenvektor ist.

Die Koordinatenform stellt die Ebene als lineare Gleichung in x, y und z dar.

Definition: Die Koordinatenform einer Ebene lautet: E: ax + by + cz = d

Um eine Ebenengleichung aufzustellen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

  1. Aus drei gegebenen Punkten: Wähle einen Punkt als Stützvektor Bilde Spannvektoren zwischen dem Stützvektor und den anderen beiden Punkten
  2. Aus einem Punkt und einer Geraden: Der Stützvektor der Geraden wird zum Stützvektor der Ebene Der Richtungsvektor der Geraden wird zum ersten Spannvektor Bilde einen zweiten Spannvektor zwischen dem gegebenen Punkt und dem Stützvektor der Geraden

Highlight: Ebenen sind unbegrenzt und erstrecken sich in alle Richtungen!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

Android user

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Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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