Vektoren und Punkte im Koordinatensystem
Die Analytische Geometrie beginnt mit der Darstellung von Punkten im kartesischen Koordinatensystem. Punkte werden als Tripel (x,y,z) angegeben, wobei die Achsen in einem bestimmten Winkel zueinander stehen, um Räumlichkeit zu erzeugen.
Ein zentrales Konzept ist die Abstandsberechnung zwischen Punkten. Die Abstandsformel im Raum lautet:
Definition: √(a1-b1)² + (a2-b2)² + (a3-b3)² für zwei Punkte A(a1,a2,a3) und B(b1,b2,b3)
Vektoren spielen eine wichtige Rolle und haben spezifische Eigenschaften:
- Sie repräsentieren Verschiebungen.
- Kollineare gegenüberliegende Vektoren bedeuten parallele Seiten.
- Gleiche Vektorbeträge implizieren gleich lange Seiten.
- Vektoren mit demselben Stützvektor ermöglichen Winkelbestimmungen.
Die Länge eines Vektors wird als Betrag bezeichnet und mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Die Orientierung und Richtung von Vektoren werden durch Skalarmultiplikation bestimmt.
Vocabulary:
- Normalenvektor: Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene oder Geraden steht.
- Richtungsvektor: Ein Vektor, der die Richtung einer Geraden oder Ebene angibt.
- Stützvektor: Ein Vektor, der einen Punkt auf einer Geraden oder Ebene festlegt.
- Skalarprodukt: Eine Operation, die zwei Vektoren eine Zahl zuordnet.
Geraden in der Analytischen Geometrie
Geraden werden in der Analytischen Geometrie durch vektorielle Parametergleichungen dargestellt. Diese Form nutzt einen Punkt als Stützvektor und die Differenz zweier Punkte als Richtungsvektor.
Example: Für zwei Punkte A(a1,a2,a3) und B(b1,b2,b3) lautet die Geradengleichung:
g: →x = A + m * (B-A), wobei m ein reeller Parameter ist.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, wird eine Punktprobe durchgeführt. Dabei wird der zu prüfende Punkt in die Geradengleichung eingesetzt und auf einen gemeinsamen Parameter überprüft.
Das Lageverhalten von zwei Geraden kann verschiedene Formen annehmen:
- Parallel (identisch oder echt parallel)
- Nicht parallel (schneidend oder windschief)
Diese Analyse ist entscheidend für die Abstandsberechnung zwischen Punkt und Gerade und andere geometrische Probleme.
