Das dreidimensionale Koordinatensystem

Das 3D-Koordinatensystem ist das Fundament der analytischen Geometrie und besteht aus drei Achsen: x₁, x₂ und x₃. Diese Achsen stehen senkrecht zueinander und schneiden sich im Koordinatenursprung, dem Nullpunkt des Systems. Die x₁- und x₂-Achsen bilden die Grundfläche, während die x₃-Achse die Höhe repräsentiert.

Definition: Ein dreidimensionales Koordinatensystem ist ein Bezugssystem zur Beschreibung von Punkten und Objekten im dreidimensionalen Raum.

In diesem System können Punkte durch ihre Koordinaten (a₁, a₂, a₃) eindeutig bestimmt werden. Der Abstand zwischen zwei Punkten A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) lässt sich mithilfe der Formel AB = √((b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + (b₃-a₃)²) berechnen.

Vocabulary: Vektoren sind gerichtete Größen, die eine Wegbeschreibung von einem Punkt zu einem anderen darstellen.

Vektoren spielen eine zentrale Rolle in der analytischen Geometrie. Sie können zwischen zwei Punkten aufgestellt werden und ermöglichen verschiedene Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren.

Example: Um den Vektor AB zwischen den Punkten A(2, 1, -2) und B(0, -1, 5) zu bestimmen, berechnet man: AB = (0-2, -1-1, 5-(-2)) = (-2, -2, 7)

Die Kollinearität von Vektoren, das Skalarprodukt und die Orthogonalität sind wichtige Konzepte, die es ermöglichen, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen und rechtwinklige Beziehungen zu identifizieren.

Highlight: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander stehen.

Die Geradengleichung im Raum wird mithilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors aufgestellt. Dies ermöglicht die präzise Beschreibung von Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem.