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27. Jan. 2026
•
Giulia
@giulia.psa
Das dreidimensionale Koordinatensystembildet die Grundlage der analytischen Geometrie. Es... Mehr anzeigen
In der analytischen Geometrie spielen Geraden eine zentrale Rolle. Sie werden durch Parametergleichungen beschrieben, die einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beinhalten.
Definition: Die Parametergleichung einer Geraden lautet: x = a + t · r, wobei a der Stützvektor, r der Richtungsvektor und t der Parameter ist.
Die Lagebeziehungen zwischen Geraden sind von besonderer Bedeutung. Geraden können parallel, identisch, sich schneidend oder windschief zueinander sein. Diese Beziehungen werden durch die Analyse ihrer Richtungsvektoren und Stützvektoren bestimmt.
Example: Zwei Geraden g₁ und g₂ sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind, aber der Stützvektor von g₁ nicht auf g₂ liegt.
Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Parametergleichung ein und löst nach dem Parameter t auf. Existiert eine Lösung, liegt der Punkt auf der Geraden.
Highlight: Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden kann mithilfe des Skalarprodukts ihrer Richtungsvektoren berechnet werden.
Die Bestimmung von Schnittpunkten zwischen Geraden erfolgt durch das Gleichsetzen ihrer Parametergleichungen. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem, dessen Lösung den Schnittpunkt liefert, falls er existiert.
Vocabulary: Windschief sind zwei Geraden, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.
Die Berechnung von Abständen und Winkeln zwischen Geraden ist ein wichtiger Aspekt der analytischen Geometrie und ermöglicht die genaue Analyse räumlicher Beziehungen im 3D-Koordinatensystem.
Ebenen sind zweidimensionale Flächen im dreidimensionalen Koordinatensystem und bilden einen wesentlichen Bestandteil der analytischen Geometrie. Sie werden durch Ebenengleichungen beschrieben, die auf Vektoren basieren.
Definition: Die allgemeine Form einer Ebenengleichung lautet: E: x = v + r · u + s · w, wobei v der Stützvektor und u und w die Spannungsvektoren sind.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dabei setzt man die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und prüft, ob die Gleichung erfüllt ist.
Example: Für die Ebene E: x = (3, 2, 1) + r · (1, 0, 2) + s · (2, 1, 0) und den Punkt A(8, 3, 14) setzt man die Koordinaten ein und löst nach r und s auf.
Die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden sind vielfältig. Eine Gerade kann parallel zu einer Ebene verlaufen, sie schneiden oder vollständig in der Ebene liegen.
Highlight: Wenn der Richtungsvektor einer Geraden orthogonal zum Normalenvektor einer Ebene ist, verläuft die Gerade in der Ebene.
Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Parametergleichung der Geraden in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter t auf. Der resultierende Wert von t liefert den Schnittpunkt.
Vocabulary: Spannungsvektoren sind die Vektoren, die eine Ebene aufspannen und in ihrer Ebenengleichung verwendet werden.
Die Analyse von Lagebeziehungen zwischen Ebenen und die Bestimmung von Schnittgeraden sind fortgeschrittene Themen der analytischen Geometrie, die ein tiefes Verständnis des dreidimensionalen Koordinatensystems erfordern.
Das 3D-Koordinatensystem ist das Fundament der analytischen Geometrie und besteht aus drei Achsen: x₁, x₂ und x₃. Diese Achsen stehen senkrecht zueinander und schneiden sich im Koordinatenursprung, dem Nullpunkt des Systems. Die x₁- und x₂-Achsen bilden die Grundfläche, während die x₃-Achse die Höhe repräsentiert.
Definition: Ein dreidimensionales Koordinatensystem ist ein Bezugssystem zur Beschreibung von Punkten und Objekten im dreidimensionalen Raum.
In diesem System können Punkte durch ihre Koordinaten (a₁, a₂, a₃) eindeutig bestimmt werden. Der Abstand zwischen zwei Punkten A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) lässt sich mithilfe der Formel AB = √ berechnen.
Vocabulary: Vektoren sind gerichtete Größen, die eine Wegbeschreibung von einem Punkt zu einem anderen darstellen.
Vektoren spielen eine zentrale Rolle in der analytischen Geometrie. Sie können zwischen zwei Punkten aufgestellt werden und ermöglichen verschiedene Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren.
Example: Um den Vektor AB zwischen den Punkten A(2, 1, -2) und B(0, -1, 5) zu bestimmen, berechnet man: AB = (0-2, -1-1, 5-(-2)) = (-2, -2, 7)
Die Kollinearität von Vektoren, das Skalarprodukt und die Orthogonalität sind wichtige Konzepte, die es ermöglichen, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen und rechtwinklige Beziehungen zu identifizieren.
Highlight: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander stehen.
Die Geradengleichung im Raum wird mithilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors aufgestellt. Dies ermöglicht die präzise Beschreibung von Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
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Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Giulia
@giulia.psa
Das dreidimensionale Koordinatensystem bildet die Grundlage der analytischen Geometrie. Es ermöglicht die präzise Darstellung von Punkten, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum. Dieses Konzept ist entscheidend für das Verständnis komplexer räumlicher Beziehungen und mathematischer Strukturen.
• Das 3D-Koordinatensystembesteht aus... Mehr anzeigen
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In der analytischen Geometrie spielen Geraden eine zentrale Rolle. Sie werden durch Parametergleichungen beschrieben, die einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beinhalten.
Definition: Die Parametergleichung einer Geraden lautet: x = a + t · r, wobei a der Stützvektor, r der Richtungsvektor und t der Parameter ist.
Die Lagebeziehungen zwischen Geraden sind von besonderer Bedeutung. Geraden können parallel, identisch, sich schneidend oder windschief zueinander sein. Diese Beziehungen werden durch die Analyse ihrer Richtungsvektoren und Stützvektoren bestimmt.
Example: Zwei Geraden g₁ und g₂ sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear sind, aber der Stützvektor von g₁ nicht auf g₂ liegt.
Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man die Koordinaten des Punktes in die Parametergleichung ein und löst nach dem Parameter t auf. Existiert eine Lösung, liegt der Punkt auf der Geraden.
Highlight: Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden kann mithilfe des Skalarprodukts ihrer Richtungsvektoren berechnet werden.
Die Bestimmung von Schnittpunkten zwischen Geraden erfolgt durch das Gleichsetzen ihrer Parametergleichungen. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem, dessen Lösung den Schnittpunkt liefert, falls er existiert.
Vocabulary: Windschief sind zwei Geraden, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.
Die Berechnung von Abständen und Winkeln zwischen Geraden ist ein wichtiger Aspekt der analytischen Geometrie und ermöglicht die genaue Analyse räumlicher Beziehungen im 3D-Koordinatensystem.
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Ebenen sind zweidimensionale Flächen im dreidimensionalen Koordinatensystem und bilden einen wesentlichen Bestandteil der analytischen Geometrie. Sie werden durch Ebenengleichungen beschrieben, die auf Vektoren basieren.
Definition: Die allgemeine Form einer Ebenengleichung lautet: E: x = v + r · u + s · w, wobei v der Stützvektor und u und w die Spannungsvektoren sind.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dabei setzt man die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und prüft, ob die Gleichung erfüllt ist.
Example: Für die Ebene E: x = (3, 2, 1) + r · (1, 0, 2) + s · (2, 1, 0) und den Punkt A(8, 3, 14) setzt man die Koordinaten ein und löst nach r und s auf.
Die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden sind vielfältig. Eine Gerade kann parallel zu einer Ebene verlaufen, sie schneiden oder vollständig in der Ebene liegen.
Highlight: Wenn der Richtungsvektor einer Geraden orthogonal zum Normalenvektor einer Ebene ist, verläuft die Gerade in der Ebene.
Um den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene zu bestimmen, setzt man die Parametergleichung der Geraden in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter t auf. Der resultierende Wert von t liefert den Schnittpunkt.
Vocabulary: Spannungsvektoren sind die Vektoren, die eine Ebene aufspannen und in ihrer Ebenengleichung verwendet werden.
Die Analyse von Lagebeziehungen zwischen Ebenen und die Bestimmung von Schnittgeraden sind fortgeschrittene Themen der analytischen Geometrie, die ein tiefes Verständnis des dreidimensionalen Koordinatensystems erfordern.
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Das 3D-Koordinatensystem ist das Fundament der analytischen Geometrie und besteht aus drei Achsen: x₁, x₂ und x₃. Diese Achsen stehen senkrecht zueinander und schneiden sich im Koordinatenursprung, dem Nullpunkt des Systems. Die x₁- und x₂-Achsen bilden die Grundfläche, während die x₃-Achse die Höhe repräsentiert.
Definition: Ein dreidimensionales Koordinatensystem ist ein Bezugssystem zur Beschreibung von Punkten und Objekten im dreidimensionalen Raum.
In diesem System können Punkte durch ihre Koordinaten (a₁, a₂, a₃) eindeutig bestimmt werden. Der Abstand zwischen zwei Punkten A(a₁, a₂, a₃) und B(b₁, b₂, b₃) lässt sich mithilfe der Formel AB = √ berechnen.
Vocabulary: Vektoren sind gerichtete Größen, die eine Wegbeschreibung von einem Punkt zu einem anderen darstellen.
Vektoren spielen eine zentrale Rolle in der analytischen Geometrie. Sie können zwischen zwei Punkten aufgestellt werden und ermöglichen verschiedene Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren.
Example: Um den Vektor AB zwischen den Punkten A(2, 1, -2) und B(0, -1, 5) zu bestimmen, berechnet man: AB = (0-2, -1-1, 5-(-2)) = (-2, -2, 7)
Die Kollinearität von Vektoren, das Skalarprodukt und die Orthogonalität sind wichtige Konzepte, die es ermöglichen, Winkel zwischen Vektoren zu berechnen und rechtwinklige Beziehungen zu identifizieren.
Highlight: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander stehen.
Die Geradengleichung im Raum wird mithilfe eines Stützvektors und eines Richtungsvektors aufgestellt. Dies ermöglicht die präzise Beschreibung von Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem.
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Entdecken Sie die Grundlagen der analytischen Geometrie mit Ebenen: 1) Parameterdarstellung, 2) Normalen- und Koordinatenform, 3) Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen, 4) Abstand zwischen Punkt und Ebene, 5) Schnittgeraden und Winkelberechnung. Ideal für Abiturvorbereitung.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
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Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
iOS-Nutzer
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Paul T
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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Xander S
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Elisha
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