Abstandsberechnung und Vektorgeometrie im Raum
Die analytische Geometrie im Raum ermöglicht uns die präzise Berechnung von Abständen zwischen geometrischen Objekten. Ein fundamentales Konzept dabei ist die Bestimmung des Abstands zwischen einem Punkt und einer Geraden.
Definition: Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ist die kürzeste Strecke vom Punkt zur Geraden, die immer senkrecht zur Geraden verläuft.
Um den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g zu berechnen, folgen wir einem strukturierten Verfahren. Zunächst konstruieren wir eine Hilfsebene durch den Punkt P, die senkrecht zur Geraden g steht. Diese Hilfsebene ermöglicht uns, den Schnittpunkt S zwischen der Geraden und der Ebene zu bestimmen.
Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten: Zuerst stellen wir die Ebenengleichung auf, dann ermitteln wir den Schnittpunkt und schließlich berechnen wir den Abstand zwischen dem ursprünglichen Punkt P und dem gefundenen Schnittpunkt S. Dabei nutzen wir das Skalarprodukt zur Winkelbestimmung und die Vektorrechnung zur Abstandsberechnung.
Beispiel: Bei einem Punkt P2,1,3 und einer Geraden g: x⃗ = a⃗ + t·r⃗ berechnen wir zunächst die Normalenform der Hilfsebene, dann den Schnittpunkt und schließlich den Abstand |PS|.