Anslytische Geometrie Abi Lernzettel 2022

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b₁-a₁b3 a₁b₂-a₂b₁ lässt sich mit dem Kreuzprodukt berechnen GRUNDEBENEN (Koordinatenebene) Fußbodenebene (x₁-x₂-Ebene) * x1 S. + t E:-(8) + (8) + (8) ×1 x2 Tafelebene (x₂-x3-Ebene) 8. +2 x1 t x1 x3=0 ñ-(8) x2 E: R² = ( 8 ) + ₁ - ( 8 ) + + ( 8 ) S 1 X1 X₂ x3 Fensterebene (x₁-x3-Ebene) O R² = (1) E: R²- (8) + S- ( 8 ) + +- (8) x= +S. хл x2 x2=0 R²= (8) GERADEN 9:x= P + (r € IR) : Stützvektor (gibt Punkt an) T: Richtungsvektor (gibt Richtung bew. Abstand an) + r. u OR AB Punktprobe → Prüft, ob ein Punkt auf der Gerade liegt 1. Punkt mit Parametergleichung der Gerade gleichsetzen 2. Zeilenweise nach dem Parameter auflösen 3. Verschiedene Werte für den Parameter → falsche Aussage. der Punkt liegt nicht auf der Geraden Gleiche Werte für den Parameter wahre Aussage der Punkt liegt auf der Geraden Spurpunkte der Gerade mit Koordinatenebene unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Gerade mit einer Koordinatenebene S₁ Schnittpunkt mit x₂-x3-Ebene S₂ → Schnittpunkt mit x₁-x3-Ebene Schnittpunkt mit x₁-x2-Ebene S3 1. Jeweilige Zeile der Geradengleichung gleich O setzen 1, →> 2. Parameter berechnen. 3. Parameter in die Geradengleichung einsetzen um Spurpunkt tu berechnen Projektion auf Grundebene H 1 1 I x3 g A Beispiel: g: x² = ( ₁ ) 9: 2 - (울) - (국) x λ Projektion auf x₁-x₂-Ebene: $2 9²= x² = ( 9 ) + x - (₁^²) gi Projektion auf x₁-x3-Ebene. x= g: (2) + > · (~^~^) Projektion auf x₂-x3-Ebene: g: x² = ( ₁ ) + x ( ₁ ) EBENEN PARAMETERGLEICHUNG E: OÅ + S⋅ AB + t⋅ AC ū OA: Ortsvektor /Stützvektor AB und AC: Richtungsvektoren/Spannvektoren KOORDINATENFORM E: ox₂+bx₂+ CX₂= d a, b,c: Normalenvektor d: Stützvektor • Normalenvektor NORMALENFORM E: (x²-1 = 0 R P: Punkt (Stützvektor) 5: Normalenvektor gesplittet R = поо Umwandeln von Ebenengleichungen Parameterform → Normalenform 1. Normalenvektor berechnen (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren) und für ñ einsetzen 2. Ortsvektor für Peinsetzen Normalenform > Parameterform. 1. Ortsvektor p als Stützvektor übernehmen 2. Nach Richtungsvektoren suchen, die senkrecht zum Normalenvektor stehen, also gilt: ₁ · ² = 0 n² · V² = O 3. Puund einsetzen Normalenform → Koordinatenform 1. ✓ als a, b und c einsetzen 2. d ausrechnen, indem POR Koordinatenform →> Normalenform 1. Normalenvektor ablesen und für ☎ einsetzen 2. 2 Variablen frei wählen ( X₂ = x3 = 0) um x₁ zu berechnen und errechneten Punkt (x₂1010) für P einsetzen Parameterform → Koordinaten form 1. Normalenvektor aus Richtungsvektoren berechnen und als a, b und c einsetzen. 2. Skalarprodukt aus Stützvektor und Normalen vektor berechnen und für d einsetzen Koordinatenform → Parameterform 1. Zwei Koordinaten durch Parameter ersetzen (x₁=₁ x₂=8) 2. Gleichung nach x₂ umstellen - ( 2³ ) = ( ₂ = ) - ( 2 ) + · (8.5 хг O r. X3² •r Zahl r=0 S=O S=O 3. E: S ) - ¹ ( r = 0 Punktprobe Wenn die Ebene in Parameter form vorliegt: 1. Punkt mit Parametergleichung gleichsetzen. 2. Gleichungssystem aufstellen und auflösen 3. 4= 34 → falsche Aussage 3=3 wahre Aussage Wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt: 1. Punkt für X1, X2 x3 2. 4 = 3 ½> falsche Aussage 3=3 wahre Aussage und einsetzen Spurpunkte berechnen Wenn die Ebene in Parameterform vorliegt: 1. (x₁/x₂(x3) mit Ebenengleichung gleichsetzen 2. KGS aufstellen 3. Um Spurpunkt für x₁ zu berechnen, X₂ und x3 = 0, für x₂, xj und x3 = 0, für x3, x₁ und x₂ = = O 4. Nach r unds auflösen 5. r und s einsetzen um x₁, x₂ oder x3 zu berechnen 6. Spurpunkt angeben: S₁ (x₁10/0), S₂ (0/x₂10), S3(070/x3) Wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt: 1. Punkt für X₁, X2 und x3 einsetzen 2. Um Spurpunkt für x₁ zu berechnen, X₂ und x3 = 0₁ für x₂, x₂ und x3 = 0, für x3, x₁ und x₂= 3. Auflösen und Spurpunkt angeben: S₁ (x₁10/0), со LAGEBEZIEHUNGEN Besondere Lagen von Geraden Ursprungsgerade: Stützvektor (0/0/0) Parallel zur x₂-x3-Ebene: Richtungsvektor (0/uz/uz) Parallel zur Winkelhalbierenden zwischen x₁-Achse und x₂-Achse Richtungsvektor (1/1/0) Gerade, die zu jeder Achse 45° Winkel hat: Richtungsvektor (1/1/1) Parallele zur Xx-Achse: Richtungsvektor (u₁ 1010) Besondere dagen von Ebenen Geht durch den Ursprung: Stützvektor (0/0/0) Parallel zur x₁-x₂-Ebene: beide Richtungsvektoren (x₁1x₂10) Parallet zur X3-Achse: erster Richtungsvektor (0/0/u3) i, so ist die Ebene parallel zu dessen Achse? Fehlt ein Gegenseitige Lage zweier Geraden 1. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig? V₂ = ₁·a 2. Linear abhängig →Punktprobe 3. Lösung IDENTISCH PARALLEL nicht linear abhängig Gleichsetzen. keine Lösung SCHNITTPUNKT WINDSCHIEF keine Lösung Lösung Lage Gerade - Ebene 1 gne Ebene in Parameterform: Gleichsetzen Ebene in Koordinatenform: X1, X₂, X3 aus Gerade x₁ = erste zeile x2=zweite Zeile = dritte Zeile \x3= in Koordinatenform der Ebene einsetzen 2. Ergebnis interpretieren 1.) Schnittpunkt kommt raus →schneiden sich Lage Ebene - Ebene 1. Ел пег 2.) wahre Aussage (1=1) g liegt in E` 3.1 falsche Aussage (0 =2) 9 und E sind parallel →>>> Parameterform: Gleichsetzen Koordinatenform: Gleichsetzen Parameter- & Koordinatenform: X₁, X₂, X3 aus Parametergleichung in Koordinatengleichung einsetzen 2. Ergebnis interpretieren 1.) Schnittgerade kommt raus -> schneiden sich 2.) wahre Aussage (1=1) →identisch 3.) falsche Aussage (1=2) →parallel SCHNITTWINKEL Winkel zwischen zwei Vektoren 2.b 121.161 COS X= Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden cosa unou? 10²1-102|| Winkel zwischen Gerade und Ebene sin a =(cosx (90- a)) = a U₁₁ U₂ → Richtungsvektoren der Geraden cos x = us one Winkel zwischen zwei Ebenen non₂² |ñil·|ñ²₂²) Tugl·linell MITTELPUNKT EINER STRECKE m² = 1₁/1² · (2 + b ) SCHWERPUNKT EINES DREIECKS 3²³ = ½⁄3³ · ( 2²³ + b³ + 2²³) ABSTÄNDE Abstand Punkt-Punkt d= |AB| Abstand Punkt-Gerade d (P, g) = \PAxul 4 Verbindungsvektor aus Punkt P PgA: .: und Stützvektor von g oder Lotfußpunktverfahren: 1.) Hilfsebene aufstellen E; U₁X₁+U₂X₂ +UzX3 = ū• OB 2.) Durchstoßpunkt F von g und En bestimmen gn E= {F} 3.) Abstand P zu F berechnen d(P₁ g) = |PF| Abstand parallele Geraden PÅ xul Tul d (g₁, 9₂)= oder Stützvektor der zweiten Gerade als Punkt P wählen! Lotfußpunktverfahren: 1.) Hilfsebene auystellen E; сха+ uzx2 +13x3 = По браг 2.) Durchstoßpunkt F von g und En bestimmen gn E₂ = {F} 3.) Abstand P zu F berechnen d(P., g) = | Př| Abstand windschiefer Geraden O d (9₁₁ 9₁₂) = 1(p=2²) •ñ³1/ oder Pa: Stützvektoren der Geraden : Normalenvektor der Richtungsvektoren Lotfuppunktverfahren: 1.) Hilfsebene auystellen Ei сх1+ Иzx2 +И3x3 =10 брог 2.) Durchstoßpunkt F von g und En bestimmen gn E₁ = {F} 3.) Abstand P zu F berechnen d(P₂, g) = |PF| 921 Abstand ursprung - Ebene a(U₁E) = oder CE: Ergebnis/d der Koordinatenform der Ebene Abstand Punkt - Ebene d(PE) = - ³ no R Lotfußpunktverfahren: 1.) Hilfsgerade aufstellen 9₁; x = OP + STE 2.) Durchstoßpunkt F von gr und E bestimmen gnE= {F} 3.) Abstand P zu F berechnen d(PE) = |PF| Abstand Gerade - Ebene dlg. E) = |ño OP-C₂/ R| oder Lotfußpunktverfahren: 1.) Hilfsgerade aufstellen 9: x = 0Pg + S · RE 2.) Durchstoppunkt F von g₁ und E bestimmen g₂nE={F} 3.) Abstand P zu F berechnen d(PE) = |PF| Stützvektor der Gerade als Punkt wählen! Abstand zweier Ebenen C₂-C1 d (E₁, Ę₂) = Wenn die Ebenen identisch sind oder sich schneiden, ist der Abstand O LOTFUBPUNKT Der Lotfußpunkt oder auch Durchstoßpunkt ist der Punkt auf einer Gerade oder einer Ebene, der den Kleinsten Abstand zu einem gegebenen Punkt P hat хр Co SPIEGELUNG Punkt an Punkt OP = OP + 2 PQ Punkt an Gerade Lotfußpunktverfahren: 1.) Hilfsebene aufstellen E; U₁X1+U₂X₂ +UzXz=ð OB 2.) Durchstoßpunkt F von g und En bestimmen gn E= {F} 3) OP = OF+PF Punkt an Ebene Lotfußpunktverfahren: 1.) Hilfsgerade aufstellen g: x = OP + S⋅ ne 2.) Durchstoßpunkt F von g₁ und E bestimmen 9„ME={F} 3.) OP = OF + PF Parallelogramm A=la xb1 = FLÄCHENBERECHNUNG Dreieck OF+PF A=1₁-12x51 a a VOLUMENBERECHNUNG SPAT Spatprodukt Das Spatprodukt ist eine Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt, das das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats angibt A = (2x b)2² Pyramide Dreieckige Grundfläche: A = 1. (ax bloc Parallelogrammartige Grundfläche: A = 1₁² · (axb²) • C²³² UNTERSUCHUNG AUF ... Trapez Zwei gegenüberliegende AB= k· DE oder Symmetrisches Trapez 1.1 Zwei gegenüberliegende Kantenvektoren sind linear abhängig AB = k· DC AỎ = k· BC 2.) Die nicht parallelen Seiten sind gleich lang A Parallelogramm Parallelogrammregel: >B Kantenvektoren sind linear abhängig AỎ = k· BC oder zwei gegenüberliegende Kantenvektoren sind gleich AB = DC bzw. ÁĎ = B² Rechteck 1.) Parallelogrammregel gilt: AB = DC bzw. AĎ = BC 2.) Ein Winkel beträgt 90° AB • AB=0 Quadrat 1.) Parallelogrammregel gilt: AB = DẺ bzw. ÁĎ = BỞ 2.) Ein Winkel beträgt 90°: AB • AB =0 A 3.) Zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich lang: (alle Seiten sind gerichlang!! AB = AD Raute 1.) Parallelogrammregel gilt: AB = D² bzw. AĎ = BC 2.) Ein Winkel beträgt nicht 90°: AB • AĎ *0 3.) Zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich lang: AB = AD Drachen 1.) Parallelogrammregel nicht gilt: AB 7 DC bzw. AĎ = BC 2.) Diagonalen sind orthogonal: AC • BD = 0 O