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Funktionen fortgeschritten

Funktionsgleichung

1.920

•

1. Dez. 2020

•

1 Seite

Lerne Funktionsgleichungen: Einfach und Spannend mit Rechner

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Paul Gräf

@paulgrf

Eine umfassende Anleitung zum Aufstellen von Funktionsgleichungenfür ganzrationale Funktionen,... Mehr anzeigen

8 AUFSTELLEN VON O Es sind verschiedene Bedingungen angegeben Eine Funktion ?-ten Grades hat ... (verschiedene Bedingungen). Eine Funktion h

Aufstellen von Funktionsgleichungen

Dieser Abschnitt bietet eine detaillierte Anleitung zum Aufstellen von Funktionsgleichungen, insbesondere für ganzrationale Funktionen und Funktionen 3. Grades. Die Methode ist besonders nützlich, wenn verschiedene Bedingungen für die Funktion gegeben sind.

Systematischer Ansatz

Der Leitfaden präsentiert einen 5-Schritt-Prozess zum Aufstellen von Funktionsgleichungen:

  1. Allgemeinen Funktionsterm einschließlich 1. und 2. Ableitung aufschreiben fallsnichtangegebenfalls nicht angegeben
  2. Bedingungen auswerten und Gleichungen mit f, f' oder f" bilden
  3. LinearesLineares Gleichungssystem aufstellen
  4. LinearesLineares Gleichungssystem lösen
  5. Funktionsgleichung hinschreiben

Highlight: Es ist wichtig, alle gegebenen Bedingungen zu beachten, wie zum Beispiel Punkte, durch die die Funktion geht, Hoch-, Tief-, Extrem- oder Wendepunkte, Berührungspunkte oder spezifische Steigungen.

Beispiel 1: Funktion 3. Grades

Das erste Beispiel demonstriert die Anwendung der Methode für eine ganzrationale Funktion 3. Grades:

Example: Eine Funktion 3. Grades hat im Ursprung eine waagrechte Tangente und im Punkt Pt,0t,0, t≠0t≠0, die Steigung 3.

Der Lösungsweg zeigt, wie man Schritt für Schritt die Funktionsgleichung aufstellt:

  1. Allgemeine Form: fxx = ax³ + bx² + cx + d
  2. Erste Ableitung: f'xx = 3ax² + 2bx + c
  3. Anwendung der Bedingungen: f00 = 0 → d = 0 f'00 = 0 → c = 0 ftt = 0 → at³ + bt² = 0 f'tt = 3 → 3at² + 2bt = 3

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man die gesuchte Funktionsgleichung.

Vocabulary: Ganzrationale Funktion - Eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird, bei dem alle Exponenten natürliche Zahlen sind.

Beispiel 2: Exponentialfunktion

Das zweite Beispiel behandelt eine Exponentialfunktion:

Example: In der Funktion fxx = x2+ax+bx² + ax + b · e^x sind a und b so zu bestimmen, dass das Schaubild der Funktion die x-Achse bei -1 berührt.

Auch hier wird der systematische Ansatz angewendet:

  1. Allgemeine Form: fxx = x2+ax+bx² + ax + b · e^x
  2. Erste Ableitung: f'xx = x2+2x−ax+a−bx² + 2x - ax + a - b · e^x
  3. Anwendung der Bedingungen: f−1-1 = 0 → 1−a+b1 - a + b · e^−1-1 = 0 f'−1-1 = 0 → -3 + 2a - b = 0

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man die Werte für a und b.

Definition: Exponentialfunktion - Eine Funktion der Form fxx = a · b^x, wobei a und b positive reelle Zahlen sind und b ≠ 1.

Regression für mehrere Punkte

Der Leitfaden erwähnt auch die Möglichkeit, eine Regressionsanalyse durchzuführen, wenn eine Reihe von Punkten oder eine Wertetabelle gegeben ist. Dies kann effizient mit einem Grafikrechner GTRGTR durchgeführt werden.

Highlight: Die Regression ist besonders nützlich, wenn man die Funktionsgleichung aus einer Wertetabelle bestimmen möchte oder wenn man eine Funktionsgleichung aus einem Graphen ableiten will.

Dieser umfassende Leitfaden bietet Studierenden eine solide Grundlage für das Aufstellen von Funktionsgleichungen in verschiedenen Szenarien und ist ein wertvolles Werkzeug für fortgeschrittene mathematische Analysen.



Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Paul Gräf

@paulgrf

Eine umfassende Anleitung zum Aufstellen von Funktionsgleichungen für ganzrationale Funktionen, insbesondere für Funktionen 3. Grades. Der Leitfaden erklärt schrittweise, wie man aus gegebenen Bedingungen oder Punkten die Funktionsgleichung bestimmt und demonstriert dies anhand von Beispielen.

• Die Anleitung beschreibt einen... Mehr anzeigen

8 AUFSTELLEN VON O Es sind verschiedene Bedingungen angegeben Eine Funktion ?-ten Grades hat ... (verschiedene Bedingungen). Eine Funktion h

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Aufstellen von Funktionsgleichungen

Dieser Abschnitt bietet eine detaillierte Anleitung zum Aufstellen von Funktionsgleichungen, insbesondere für ganzrationale Funktionen und Funktionen 3. Grades. Die Methode ist besonders nützlich, wenn verschiedene Bedingungen für die Funktion gegeben sind.

Systematischer Ansatz

Der Leitfaden präsentiert einen 5-Schritt-Prozess zum Aufstellen von Funktionsgleichungen:

  1. Allgemeinen Funktionsterm einschließlich 1. und 2. Ableitung aufschreiben fallsnichtangegebenfalls nicht angegeben
  2. Bedingungen auswerten und Gleichungen mit f, f' oder f" bilden
  3. LinearesLineares Gleichungssystem aufstellen
  4. LinearesLineares Gleichungssystem lösen
  5. Funktionsgleichung hinschreiben

Highlight: Es ist wichtig, alle gegebenen Bedingungen zu beachten, wie zum Beispiel Punkte, durch die die Funktion geht, Hoch-, Tief-, Extrem- oder Wendepunkte, Berührungspunkte oder spezifische Steigungen.

Beispiel 1: Funktion 3. Grades

Das erste Beispiel demonstriert die Anwendung der Methode für eine ganzrationale Funktion 3. Grades:

Example: Eine Funktion 3. Grades hat im Ursprung eine waagrechte Tangente und im Punkt Pt,0t,0, t≠0t≠0, die Steigung 3.

Der Lösungsweg zeigt, wie man Schritt für Schritt die Funktionsgleichung aufstellt:

  1. Allgemeine Form: fxx = ax³ + bx² + cx + d
  2. Erste Ableitung: f'xx = 3ax² + 2bx + c
  3. Anwendung der Bedingungen: f00 = 0 → d = 0 f'00 = 0 → c = 0 ftt = 0 → at³ + bt² = 0 f'tt = 3 → 3at² + 2bt = 3

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man die gesuchte Funktionsgleichung.

Vocabulary: Ganzrationale Funktion - Eine Funktion, die durch ein Polynom dargestellt wird, bei dem alle Exponenten natürliche Zahlen sind.

Beispiel 2: Exponentialfunktion

Das zweite Beispiel behandelt eine Exponentialfunktion:

Example: In der Funktion fxx = x2+ax+bx² + ax + b · e^x sind a und b so zu bestimmen, dass das Schaubild der Funktion die x-Achse bei -1 berührt.

Auch hier wird der systematische Ansatz angewendet:

  1. Allgemeine Form: fxx = x2+ax+bx² + ax + b · e^x
  2. Erste Ableitung: f'xx = x2+2x−ax+a−bx² + 2x - ax + a - b · e^x
  3. Anwendung der Bedingungen: f−1-1 = 0 → 1−a+b1 - a + b · e^−1-1 = 0 f'−1-1 = 0 → -3 + 2a - b = 0

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man die Werte für a und b.

Definition: Exponentialfunktion - Eine Funktion der Form fxx = a · b^x, wobei a und b positive reelle Zahlen sind und b ≠ 1.

Regression für mehrere Punkte

Der Leitfaden erwähnt auch die Möglichkeit, eine Regressionsanalyse durchzuführen, wenn eine Reihe von Punkten oder eine Wertetabelle gegeben ist. Dies kann effizient mit einem Grafikrechner GTRGTR durchgeführt werden.

Highlight: Die Regression ist besonders nützlich, wenn man die Funktionsgleichung aus einer Wertetabelle bestimmen möchte oder wenn man eine Funktionsgleichung aus einem Graphen ableiten will.

Dieser umfassende Leitfaden bietet Studierenden eine solide Grundlage für das Aufstellen von Funktionsgleichungen in verschiedenen Szenarien und ist ein wertvolles Werkzeug für fortgeschrittene mathematische Analysen.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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