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Binomische Formeln leicht gemacht: Rechner, Übungen und Beispiele

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Binomische Formeln leicht gemacht: Rechner, Übungen und Beispiele
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Binomische Formeln sind grundlegende algebraische Identitäten, die in der Mathematik häufig verwendet werden. Sie ermöglichen die schnelle Berechnung von Quadraten und Produkten bestimmter binomialer Ausdrücke.

  • Die drei wichtigsten binomischen Formeln sind:
  1. (a+b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a-b)² = a² - 2ab + b²
  3. (a+b)(a-b) = a² - b²
  • Diese Formeln finden Anwendung bei der Faktorisierung von Termen, der Umformung von Summen in Produkte und beim Ausmultiplizieren von Klammern.
  • Sie sind besonders nützlich für das schnelle Kürzen und Vereinfachen von mathematischen Ausdrücken.

5.2.2023

3341

Binomische Formel 2 (a+b)² = a ² + 2ab + b² 2 (a-b)² = a ²- 2ab + b² 2 (a−b) (a+b) = a ² - b² Verwendung: Binom: Polynom bestehend aus zwei

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Geometrische Bedeutung und Anwendungen

Die zweite Seite vertieft das Verständnis der binomischen Formeln durch eine geometrische Herleitung und betont ihre praktischen Anwendungen.

Die geometrische Bedeutung der ersten und zweiten binomischen Formel wird anhand von Quadraten und Rechtecken visualisiert. Dies hilft, die algebraischen Ausdrücke mit visuellen Konzepten zu verknüpfen.

Highlight: Die geometrische Darstellung verdeutlicht, wie die Flächen der einzelnen Komponenten zur Gesamtfläche des Quadrats beitragen.

Die Seite wiederholt die ersten beiden binomischen Formeln und hebt ihre Struktur hervor:

  1. Plus-Formel: (a+b)² = a² + 2ab + b²
  2. Minus-Formel: (a-b)² = a² - 2ab + b²

Anschließend werden wichtige Anwendungen der binomischen Formeln aufgeführt:

  1. Terme kürzen und vereinfachen
  2. Lösen von Gleichungen mit Klammern
  3. Finden von Nullstellen
  4. Ausrechnen des Quadrats von Klammern

Example: Ein Beispiel zur Anwendung der dritten binomischen Formel wird gegeben: (x²-1) = (x²- 1²) = (x+1)·(x+1)

Diese Anwendungen zeigen die Vielseitigkeit und Nützlichkeit der binomischen Formeln in verschiedenen mathematischen Kontexten.

Binomische Formel 2 (a+b)² = a ² + 2ab + b² 2 (a-b)² = a ²- 2ab + b² 2 (a−b) (a+b) = a ² - b² Verwendung: Binom: Polynom bestehend aus zwei

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Beispiele und Erweiterungen

Die dritte Seite bietet konkrete Beispiele für binomische Formeln und führt eine Erweiterung auf kubische Terme ein.

Für jede der drei binomischen Formeln wird ein spezifisches Beispiel präsentiert:

  1. Erste binomische Formel: (3x+4)² = (3x)² + (2·3x·4) + 4² = 9x² + 24x + 16
  2. Zweite binomische Formel: (4x-2)² = (4x)² - (2·4x·2) + 2² = 16x² - 16x + 4
  3. Dritte binomische Formel: (3x-2)(3x+2) = (3x)² - 2² = 9x² - 4

Example: Diese Beispiele für binomische Formeln demonstrieren die praktische Anwendung der Formeln mit konkreten Zahlen und Variablen.

Die Seite schließt mit einer Erweiterung der binomischen Formeln auf kubische Terme:

  • (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Highlight: Diese Erweiterung zeigt, wie das Konzept der binomischen Formeln auf höhere Potenzen angewendet werden kann.

Diese Beispiele und Erweiterungen vertiefen das Verständnis der binomischen Formeln und zeigen ihre Anwendbarkeit in komplexeren algebraischen Ausdrücken.

Binomische Formel 2 (a+b)² = a ² + 2ab + b² 2 (a-b)² = a ²- 2ab + b² 2 (a−b) (a+b) = a ² - b² Verwendung: Binom: Polynom bestehend aus zwei

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Einführung in die Binomischen Formeln

Die erste Seite führt in die binomischen Formeln ein und erklärt ihre grundlegende Struktur und Anwendung. Es werden die drei Hauptformeln vorgestellt: die Plus-Formel, die Minus-Formel und die Plus-Minus-Formel.

Definition: Ein Binom ist ein Polynom, das aus zwei Gliedern besteht.

Die Verwendung der binomischen Formeln wird erläutert, einschließlich ihrer Anwendung bei der Faktorisierung von Termen, der Umformung von Summen in Produkte und dem Ausmultiplizieren von Klammern.

Highlight: Binomische Formeln sind besonders hilfreich beim schnellen Kürzen oder Vereinfachen von Termen, Wurzeln und Logarithmen.

Jede der drei Formeln wird detailliert aufgeschlüsselt:

  1. Die erste binomische Formel (Plus-Formel): (a+b)² = a² + 2ab + b²
  2. Die zweite binomische Formel (Minus-Formel): (a-b)² = a² - 2ab + b²
  3. Die dritte binomische Formel (Plus-Minus-Formel): (a+b)(a-b) = a² - b²

Example: Für die erste binomische Formel wird gezeigt, wie (a+b)² zu a² + 2ab + b² expandiert wird.

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