Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadrat eines Binoms

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5. Feb. 2026

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Binomische Formeln leicht erklärt mit Übungen und Beispielen

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Binomische Formeln: Grundlegende algebraische Identitäten für die Vereinfachung von... Mehr anzeigen

# binomische Formeln

Was ist ein Binom?

→ Ein Term mit 2 Gliedern 2.8. a+b oder a-b

Was Sind binomische Formeln?

→Formeln zum Umformen v

Binomische Formeln: Grundlagen und Anwendungen

Die binomischen Formeln sind fundamentale algebraische Identitäten, die in der Mathematik häufig verwendet werden. Sie dienen zur Vereinfachung von Ausdrücken und zur Lösung komplexer Gleichungen.

Definition: Ein Binom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus zwei Gliedern besteht, wie zum Beispiel a+b oder a-b.

Die binomischen Formeln ermöglichen es, Produkte aus Binomen effizient umzuformen. Sie finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:

Ausmultiplizieren von Klammern
Erzeugen von Klammern
Vereinfachung von Berechnungen mit Potenzen
Umformung von Gleichungen

Es gibt drei Hauptformen der binomischen Formeln:

Die erste binomische Formel $Plus-Formel$ :

Formel: $a+b$ ² = a² + 2ab + b²

Beispiel: $3x + 2y$ ² = 9x² + 12xy + 4y²
Die zweite binomische Formel $Minus-Formel$ :

Formel: $a-b$ ² = a² - 2ab + b²

Beispiel: $2x-4$ ² = 4x² - 16x + 16
Die dritte binomische Formel $Plus-minus-Formel$ :

Formel: $a+b$ $a-b$ = a² - b²

Beispiel: $4k+5r$ $4k-5r$ = 16k² - 25r²

Highlight: Die Beherrschung der binomischen Formeln ist entscheidend für fortgeschrittene algebraische Manipulationen und bildet die Grundlage für viele mathematische Konzepte.

Durch die Anwendung dieser Formeln können komplexe algebraische Ausdrücke vereinfacht und Berechnungen effizienter durchgeführt werden. Sie sind ein unverzichtbares Werkzeug für Schüler und Mathematiker gleichermaßen.

Vocabulary:

Binom: Ein zweigliedriger algebraischer Ausdruck

Ausmultiplizieren: Das Auflösen von Klammern durch Multiplikation

Potenz: Eine mathematische Operation, bei der eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird

Die binomischen Formeln bieten eine elegante Methode, um bestimmte algebraische Ausdrücke zu vereinfachen oder umzuformen. Sie sind besonders nützlich in der Algebra, Geometrie und höheren Mathematik, wo sie komplexe Berechnungen vereinfachen und tiefere Einsichten in mathematische Strukturen ermöglichen.

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was sind binomische Formeln?

Binomische Formeln sind mathematische Rechenregeln, die dir helfen, bestimmte Klammern schnell aufzulösen oder Terme zu faktorisieren. Es gibt drei wichtige binomische Formeln, die du dir merken solltest: (a+b)² = a²+2ab+b², (a-b)² = a²-2ab+b² und (a+b)(a-b) = a²-b². Mit diesen Formeln sparst du Zeit beim Rechnen, da du nicht jedes Mal ausmultiplizieren musst.

Wie unterscheiden sich die erste und zweite binomische Formel?

Der Hauptunterschied liegt im Vorzeichen. Bei der 1. binomischen Formel (a+b)² erhältst du a²+2ab+b², also mit einem Plus vor dem mittleren Term. Bei der 2. binomischen Formel (a-b)² ist das Ergebnis a²-2ab+b², also mit einem Minus vor dem mittleren Term. Der erste und letzte Term sind bei beiden Formeln gleich (Quadrate der Einzelterme), nur das Vorzeichen des Produktterms in der Mitte ändert sich.

Wann würde man die dritte binomische Formel im Alltag anwenden?

Die 3. binomische Formel kommt überraschend oft vor, wenn du mit Flächenberechnungen arbeitest. Stell dir vor, du hast ein Quadrat mit Seitenlänge (a+b) und ein kleineres Quadrat mit Seitenlänge (a-b) - deren Flächendifferenz lässt sich mit (a+b)(a-b) = a²-b² viel einfacher berechnen. Auch bei Binomische Formeln Übungen in der Schule ist diese Formel praktisch, wenn du Terme wie (5x+3)(5x-3) schnell auflösen möchtest.

Wie kann ich üben, binomische Formeln richtig anzuwenden?

Am besten beginnst du mit einfachen Binomische Formeln Beispielen und steigerst dann den Schwierigkeitsgrad. Es gibt viele Online-Ressourcen wie Binomische Formeln Rechner, mit denen du deine Ergebnisse überprüfen kannst. Schreibe dir die drei Formeln auf eine Karteikarte und versuche, verschiedene Aufgaben zu lösen. Wichtig ist, dass du die Formeln nicht nur auswendig lernst, sondern auch verstehst, wann welche Formel anzuwenden ist.

Weitere Quellen

Mathematik verstehen: Binomische Formeln leicht gemacht von Martin Klein, Klett Verlag 2020, Lehrbuch, Erklärt die drei binomischen Formeln mit vielen Beispielen und Übungsaufgaben für die 8. Klasse - Link
Mathe kompakt: Binomische Formeln und Anwendungen von Barbara Schmidt, Cornelsen 2019, Übungsheft, Enthält sowohl Erklärungen als auch Aufgaben mit Lösungen zu allen binomischen Formeln - Link
Mathe für die Mittelstufe: Terme und Binomische Formeln von Thomas Weber, Duden Paetec 2021, Lernhilfe, Praxisnahe Beispiele mit Schritt-für-Schritt-Lösungen zur 1., 2. und 3. binomischen Formel - Link
Mein Mathematik-Coach: Binomische Formeln im Alltag von Sarah Müller, Westermann 2022, Arbeitsheft, Zeigt praktische Anwendungen binomischer Formeln und enthält einen Binomische-Formeln-Rechner zum Üben - Link

Weiter erforschen

Erstelle eine eigene "Spickerkarte" mit den drei binomischen Formeln und je einem selbst ausgedachten Beispiel. Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Binomische-Formeln-Rechner.
Untersuche, wie du binomische Formeln rückwärts anwenden kannst: Wandle Terme wie "x² + 6x + 9" oder "25a² - 49b²" in Klammern um und erkenne, welche binomische Formel dahintersteckt.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.