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Binomische Formeln: Beispiele und Übungen mit Lösungen für die Schule

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Binomische Formeln: Beispiele und Übungen mit Lösungen für die Schule

Binomische Formeln sind grundlegende algebraische Konzepte, die in der Mathematik häufig verwendet werden. Sie ermöglichen es, bestimmte quadratische Ausdrücke effizient zu berechnen und zu vereinfachen. Es gibt drei wichtige binomische Formeln, die Schüler lernen und anwenden sollten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
  3. (a + b)(a - b) = a² - b²

Diese Formeln sind nützlich für verschiedene mathematische Operationen und finden Anwendung in der Algebra, Geometrie und höheren Mathematik.

3.3.2022

225

a
b
Binomische Formeln.
1. Binomische Formel
Halkreuz
.b.
a² ab
ab
b²
d
a²+2ab+b²
(a+b)² = a ² + 2ab + b²
(x+0,5)² = x² +2 x 0,5+0,5²
= x² +

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Lösungen und Anwendungen der Binomischen Formeln

Die zweite Seite bietet detaillierte Lösungen zu den Übungsaufgaben und demonstriert die praktische Anwendung der binomischen Formeln. Jede Aufgabe wird Schritt für Schritt gelöst, wobei die verwendete Formel und die Vorgehensweise erläutert werden.

Example: Für (3x + 2)² wird die erste binomische Formel angewendet: (3x)² + 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² + 12x + 4.

Die Lösung für (5x + 1)(5x - 1) zeigt die Anwendung der dritten binomischen Formel:

Highlight: (5x)² - 1² = 25x² - 1, was die Effizienz dieser Formel bei der Vereinfachung solcher Ausdrücke demonstriert.

Für komplexere Aufgaben wie 25x² - 2x + 0,04 wird gezeigt, wie man die zweite binomische Formel rückwärts anwendet, um den Ausdruck als perfektes Quadrat zu erkennen.

Vocabulary: Faktorisieren bedeutet, einen algebraischen Ausdruck als Produkt seiner Faktoren darzustellen.

Die letzte Aufgabe 36 - x⁴ demonstriert, wie man die dritte binomische Formel zum Faktorisieren nutzt:

Example: 36 - x⁴ = 6² - (x²)² = (6 - x²)(6 + x²)

Diese Seite unterstreicht die Vielseitigkeit und Nützlichkeit der binomischen Formeln bei der Lösung verschiedener algebraischer Probleme.

Highlight: Die Anwendung der binomischen Formeln ermöglicht es, komplexe algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu faktorisieren, was in vielen Bereichen der Mathematik von großem Nutzen ist.

a
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Binomische Formeln.
1. Binomische Formel
Halkreuz
.b.
a² ab
ab
b²
d
a²+2ab+b²
(a+b)² = a ² + 2ab + b²
(x+0,5)² = x² +2 x 0,5+0,5²
= x² +

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Einführung in die Binomischen Formeln

Die erste Seite führt in die drei grundlegenden binomischen Formeln ein und zeigt ihre algebraische Struktur. Jede Formel wird mit einer visuellen Darstellung und einem konkreten Beispiel präsentiert, um das Verständnis zu erleichtern.

Definition: Die erste binomische Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Sie beschreibt das Quadrat einer Summe.

Example: Für (x + 0,5)² ergibt sich x² + 2x · 0,5 + 0,5² = x² + x + 0,25.

Die zweite binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² wird ebenfalls vorgestellt und mit einem Beispiel veranschaulicht.

Example: Für (3x - 4)² erhalten wir (3x)² - 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² - 24x + 16.

Die dritte binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b² wird als letzte eingeführt.

Example: Bei (x + 1)(x - 1) ergibt sich x² - 1² = x² - 1.

Am Ende der Seite werden Übungsaufgaben präsentiert, die die Anwendung der binomischen Formeln erfordern.

Highlight: Die visuelle Darstellung der Formeln durch Flächenmodelle hilft, ihre algebraische Struktur besser zu verstehen und zu merken.

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  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
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Diese Formeln sind nützlich für verschiedene mathematische Operationen und finden Anwendung in der Algebra, Geometrie und höheren Mathematik.

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Binomische Formeln.
1. Binomische Formel
Halkreuz
.b.
a² ab
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a²+2ab+b²
(a+b)² = a ² + 2ab + b²
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Example: Für (3x + 2)² wird die erste binomische Formel angewendet: (3x)² + 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² + 12x + 4.

Die Lösung für (5x + 1)(5x - 1) zeigt die Anwendung der dritten binomischen Formel:

Highlight: (5x)² - 1² = 25x² - 1, was die Effizienz dieser Formel bei der Vereinfachung solcher Ausdrücke demonstriert.

Für komplexere Aufgaben wie 25x² - 2x + 0,04 wird gezeigt, wie man die zweite binomische Formel rückwärts anwendet, um den Ausdruck als perfektes Quadrat zu erkennen.

Vocabulary: Faktorisieren bedeutet, einen algebraischen Ausdruck als Produkt seiner Faktoren darzustellen.

Die letzte Aufgabe 36 - x⁴ demonstriert, wie man die dritte binomische Formel zum Faktorisieren nutzt:

Example: 36 - x⁴ = 6² - (x²)² = (6 - x²)(6 + x²)

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Binomische Formeln.
1. Binomische Formel
Halkreuz
.b.
a² ab
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a²+2ab+b²
(a+b)² = a ² + 2ab + b²
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Die erste Seite führt in die drei grundlegenden binomischen Formeln ein und zeigt ihre algebraische Struktur. Jede Formel wird mit einer visuellen Darstellung und einem konkreten Beispiel präsentiert, um das Verständnis zu erleichtern.

Definition: Die erste binomische Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Sie beschreibt das Quadrat einer Summe.

Example: Für (x + 0,5)² ergibt sich x² + 2x · 0,5 + 0,5² = x² + x + 0,25.

Die zweite binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² wird ebenfalls vorgestellt und mit einem Beispiel veranschaulicht.

Example: Für (3x - 4)² erhalten wir (3x)² - 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² - 24x + 16.

Die dritte binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b² wird als letzte eingeführt.

Example: Bei (x + 1)(x - 1) ergibt sich x² - 1² = x² - 1.

Am Ende der Seite werden Übungsaufgaben präsentiert, die die Anwendung der binomischen Formeln erfordern.

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