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Das Galton-Brett

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Ein Überblick zu Nutzen, Grenzen und stochastischer Betrachtung
1. Sir Francis Galton
Der Naturforscher Sir Francis Galton

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Einfach erklärte Zusammenfassung zum mathematischen Galton-Brett: Sir Francis Galton, Konzept, Verwendung/Nutzen, Grenzen, Stochastische Betrachtung und Übungsaufgaben

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Das Galton-Brett Ein Überblick zu Nutzen, Grenzen und stochastischer Betrachtung 1. Sir Francis Galton Der Naturforscher Sir Francis Galton wurde am 16. Februar 1822 in Birmingham in England geboren. Als wohlhabender Mann unternahm er umfangreiche Expeditionen und Forschungsreisen auf den Balkan, nach Afrika und nach Ägypten. 1857 ließ er sich in London nieder und wurde 1860 dort Fellow der Royal Society. 1883 gründete er das Galton-Laboratorium, welches in den Bereichen Mathematik, Biologie, Physik und Chemie forschte. Als Cousin des berühmten Vererbungsforschers Charles Darwin beschäftigte Galton sich wissenschaftlich zunächst hauptsächlich mit den Erscheinungen der Vererbung. In diesem Zusammenhang entwickelte er dann aber Ideen für eine messende Statistik und schließlich das Galton-Brett für die Auswertung von Statistiken, welches Binomialverteilungen mechanisch erzeugen kann. Galton starb am 17. Januar 1911 in Haslemere. 2. Das Galton-Brett 2.1 Konzept Das Galton-Brett bezeichnet ein geneigtes Brett mit Nagelreihen, welche so angeordnet sind, dass aus einem Trichter senkrecht auf den ersten Nagel fallende Kugeln jeweils zufällig mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 nach links oder rechts abgelenkt werden. Durch eine seitliche Neigung des Brettes können hier theoretisch auch andere Wahrscheinlichkeiten verwirklicht werden. Im Idealfall trifft die Kugel immer wieder senkrecht auf einen Nagel der nächsten Reihe, bis sie schließlich in ein Fach fällt. Diese Fächer sind in der Regel von links nach rechts mit 0 bis n...

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nummeriert. 2.2 Verwendung/Nutzen Mathematisch dient das Galton-Brett der Veranschaulichung von Binomialverteilungen und Bernoulli-Ketten sowie zur anschaulichen und experimentellen Bestätigung der Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung (Grenzwertsatz von Moivre-Laplace). Andere Nutzen sind die Illustration physikalischer Erscheinungen der Diffusion und der Wärmeleitung. Außerdem kann das Galton-Brett ein physikalisches Messgerät symbolisieren und Auskunft über die Rauschverteilung eines elektrischen Signals mit vielen kleinen Störungen geben. Die Nägel als Hindernisse sind dabei Störungen, die den Messwert positiv und negativ beeinflussen können. Diese können zu einer großen Störung anwachsen, sich aber auch in der Summe zu Null addieren. Die Füllhöhen der Fächer geben hier Auskunft über die Häufigkeitsverteilung der verschiedenen Stärken der aufsummierten Störungen. Laut dem zentralen Grenzwertsatz konvergiert eine Verteilung sehr kleiner und zahlreicher Einzelstörungen in der Summe gegen die glockenförmige gaußsche Normalverteilung. Sind die Voraussetzungen für eine solche Rauschverteilung erfüllt, spricht man von gaußschem Rauschen. 2.3 Grenzen In realen Galton-Brettern häufen sich die Kugeln in den Fächern nur annähernd binomialverteilt, da alle Prozesse auf dem Weg der Kugel mechanischer Natur sind. Dem folgt, dass der Weg der Kugel physikalisch vorherzusagen und nicht zufällig ist. Diesem Problem erwidert man mit neuen 1 technischen Möglichkeiten wie der der virtuellen Simulationen auf der Grundlage von computergenerierten Zufallszahlen. Allerdings folgt die Kugel in der Praxis kaum einer theoretischen Berechnung, da alle Kugeln kleine Abweichungen von Durchmesser, Masse und Oberflächenbeschaffenheit haben. Auch die Anordnung der Nägel und Kugelbahnen und der Oberflächenbeschaffenheit des Bretts variieren immer minimal. Nicht zu vernachlässigen ist auch, dass keine zwei Kugeln mit der selben Anfangsgeschwindigkeit oder -position in das Labyrinth/Brett starten. Selbst kleinste Abweichungen wirken sich hier aufgrund der Potenzierung bei jeder Entscheidung stark auf das Endergebnis aus. Um idealen Versuchsbedingungen am nächsten zu kommen, müssen möglichst viele Einzelexperimente durchgeführt werden. Die Gewährleistung von einer Wahrscheinlichkeit der Ablenkung der Kugel von p = 0,5 bei einem symmetrischen Galton-Brett ist nur gegeben bei einer vollständigen Glattheit der Ebene, einer exakten Anordnung der Nadeln, einer exakten Kugelgestalt der rollenden Kugeln, einem Kugeldurchmesser, welcher fast genau gleich groß dem freien Abstand der Stifte ist, und bei völlig unelastischen Stößen zwischen Kugeln und Nadeln. 2.4 Stochastische Betrachtung Der Lauf einer Kugel durch ein Galton-Brett ist ein mehrstufiger Zufallsversuch, da die Kugel auf jeder Stufe nach rechts oder links fallen kann. n: Anzahl der Nagelreihen p: Wahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung (Erfolgswahrscheinlichkeit) k: Anzahl der Rechtsablenkungen (Anzahl der Erfolge) Die Fächer, in denen die Kugeln landen, werden mit dem jeweiligen k nummeriert. 2.4.1 Zusammenhang zur Bernoulli-Kette Jedes Aufprallen einer Kugel auf eines der Hindernisse im Galton-Brett ist ein Bernoulli-Versuch, da die Kugel nur entweder nach rechts als Erfolg oder als Misserfolg nach links abgelenkt werden kann, die einzelnen Ablenkungen unabhängig voneinander wiederholt werden und die Reihenfolge der Treffer nicht beachtet wird. Bernoullikette: n = 4, p = 0,5 ⓇLⓇ Kasten 1 Kasten 1 Kasten 1 G 0,5 Kasten 1 0,5 Der Baum besteht aus insgesamt 16 Pfa- den. Die vier rot gezeichneten Pfade ent- halten jeweils genau einen Treffer (hier: R). Sie führen auf dem Galton-Brett alle in den Kasten Nr. 1. Galton-Brett: n = 4, p = 0,5 L R 2 3 4 Alle Pfade mit genau einem Treffer (Rechtsablenkung R) werden in Kasten Nr. 1 gelenkt. 2 Alle Pfade mit derselben Trefferanzahl werden bei dem Galton-Brett in einen Kasten gelenkt. Somit handelt es sich hier sozusagen um eine Zusammenfassung der einzelnen Pfade mit gleicher Trefferanzahl bei der Bernoullikette. 2.4.2 Zusammenhang zur Binomialverteilung Lässt man viele Kugeln durch das Galton-Brett laufen, so entsteht in den Fächern eine symmetrische, glockenförmige Verteilung. Diese nähert sich mit steigender Anzahl an Durchläufen der Binomialverteilung an. Die Binomialverteilung beschreibt allgemein die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben. Dies ist bei dem Versuch mit dem Galton-Brett der Fall. Nachfolgend wird die ideale mögliche Verteilung der Kugeln in bzw. nach jeder Reihe des Galton-Bretts betrachtet. Die Zähler, entsprechend des Schemas des pascalschen Dreiecks, sind die Binomialkoeffizienten. Diese geben hier an, auf wie viele verschiedene Wege die Kugel in ein Fach gelangen kann. Die Nenner, folgend aus der Wahrscheinlichkeit p = q = ½ nach rechts bzw. links zu fallen, sind Potenzen von 2. 1 -190-19 16 -1000 O+1- ONI 16 100 COİN 8 8 AI → O 1.3 3.3 16 16 t ONI -1000 2,1 8 8 140 16 16 16 16 16 -1000 -190-19 16 Einlauf Auffangergebnis 16 16 Abbildung 1: Verteilung der Kugeln im Galton-Brett 2.4.3 Wahrscheinlichkeit, in ein Fach zu fallen Die Anzahl an unterschiedlichen möglichen Wegen beträgt 2n. Nun möchten wir herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Kugel in ein bestimmtes Fach Fk gelangt. Da es sich bei dem betrachteten Experiment um eine Bernoulli-Kette handelt, könnten wir die Wahrscheinlichkeit sw eines Weges durch die Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten aller Wege, die zu Fk führen, errechnen. Diese Wahrscheinlichkeit ist in Abbildung 1 als Auffangwahrscheinlichkeit dargestellt. Leichter ist es aber, die Binomialverteilung über die Fächer Fk zu berechnen: Sw = (n über k)*pk*(1 − p)n-k - 2.4.4 Berechnung des Erwartungswerts Erwartungswert E(X) beim Galton-Brett: E(X) = n*p (Anzahl der Nagelreihen * Wahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung) 3 2.4.5 Berechnung der Varianz und Standardabweichung Varianz beim Galton-Brett: o² = n*p*q, Anzahl der Nagelreihen mal Wahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung mal Gegenwahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung Standardabweichung: Wurzel aus o² 3. Übungsaufgaben Aufgabe "Arme Maus" Eine Maus irrt zu Versuchszwecken durch das abgebildete Labyrinth. Sie hat einen leichten Rechtsdrall und entscheidet sich an Abzweigungen mit einer Wahrscheinlichkeit von ½ für rechts. a) Wie viele mögliche Wege kann die Maus gehen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet die Maus Futter? c) Wie viele Mäuse muss man mindestens durch das Labyrinth schicken, wenn mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit sichergestellt werden soll, dass mindestens eine Maus die Erdbeere erreicht? 4. Quellen Seite "Galtonbrett in Mathematik Schülerlexikon". In: Lernhelfer, Duden Lernattack GmbH. Bearbeitungsstand: 2020. URL: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/galton-brett (Abgerufen: 15. November 2020). Bruno Pollok, LSW Soest: "Ein schneller Zugang zu Binomialverteilungen: Das Galton Brett". Veröffentlichung: URL: 1998/99, Detmold. http://www.kmk-format.de/material/Mathematik/5-2-Unterrichtsentwicklung-Szenarien_fuer_die_Fachgr uppensitzung/5-2-1-3_Herrn_Galtons_rollende_Kugeln-ein_Weg_zur_Wahrscheinlichkeit/5-2-1-3-5_Ei nfuehrung_Grundlagenwissen_zum_Galtonbrett.pdf. Seite „Galtonbrett". In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. November 2020, 12:24 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Galtonbrett&oldid=205382159 (Abgerufen: 15. November 2020, 12:02 UTC). Bigalke, Köhler: Seiten "C. Exkurs: Das Galton-Brett". In: Analytische Geometrie, Stochastik. S. 298 - 299. File:Francis Galton 1850s.jpg. In: Wikimedia Commons, the free media repository. Bearbeitungsstand: 24. April 2019, 23:07 UTC. URL: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Francis_Galton_1850s.jpg&oldid=347165500 (Abgerufen am 21. November 2020 um 18:21 UTC)

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Laut dem zentralen Grenzwertsatz konvergiert eine Verteilung sehr kleiner und zahlreicher Einzelstörungen in der Summe gegen die glockenförmige gaußsche Normalverteilung. Sind die Voraussetzungen für eine solche Rauschverteilung erfüllt, spricht man von gaußschem Rauschen. 2.3 Grenzen In realen Galton-Brettern häufen sich die Kugeln in den Fächern nur annähernd binomialverteilt, da alle Prozesse auf dem Weg der Kugel mechanischer Natur sind. Dem folgt, dass der Weg der Kugel physikalisch vorherzusagen und nicht zufällig ist. Diesem Problem erwidert man mit neuen 1 technischen Möglichkeiten wie der der virtuellen Simulationen auf der Grundlage von computergenerierten Zufallszahlen. Allerdings folgt die Kugel in der Praxis kaum einer theoretischen Berechnung, da alle Kugeln kleine Abweichungen von Durchmesser, Masse und Oberflächenbeschaffenheit haben. Auch die Anordnung der Nägel und Kugelbahnen und der Oberflächenbeschaffenheit des Bretts variieren immer minimal. Nicht zu vernachlässigen ist auch, dass keine zwei Kugeln mit der selben Anfangsgeschwindigkeit oder -position in das Labyrinth/Brett starten. Selbst kleinste Abweichungen wirken sich hier aufgrund der Potenzierung bei jeder Entscheidung stark auf das Endergebnis aus. Um idealen Versuchsbedingungen am nächsten zu kommen, müssen möglichst viele Einzelexperimente durchgeführt werden. Die Gewährleistung von einer Wahrscheinlichkeit der Ablenkung der Kugel von p = 0,5 bei einem symmetrischen Galton-Brett ist nur gegeben bei einer vollständigen Glattheit der Ebene, einer exakten Anordnung der Nadeln, einer exakten Kugelgestalt der rollenden Kugeln, einem Kugeldurchmesser, welcher fast genau gleich groß dem freien Abstand der Stifte ist, und bei völlig unelastischen Stößen zwischen Kugeln und Nadeln. 2.4 Stochastische Betrachtung Der Lauf einer Kugel durch ein Galton-Brett ist ein mehrstufiger Zufallsversuch, da die Kugel auf jeder Stufe nach rechts oder links fallen kann. n: Anzahl der Nagelreihen p: Wahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung (Erfolgswahrscheinlichkeit) k: Anzahl der Rechtsablenkungen (Anzahl der Erfolge) Die Fächer, in denen die Kugeln landen, werden mit dem jeweiligen k nummeriert. 2.4.1 Zusammenhang zur Bernoulli-Kette Jedes Aufprallen einer Kugel auf eines der Hindernisse im Galton-Brett ist ein Bernoulli-Versuch, da die Kugel nur entweder nach rechts als Erfolg oder als Misserfolg nach links abgelenkt werden kann, die einzelnen Ablenkungen unabhängig voneinander wiederholt werden und die Reihenfolge der Treffer nicht beachtet wird. Bernoullikette: n = 4, p = 0,5 ⓇLⓇ Kasten 1 Kasten 1 Kasten 1 G 0,5 Kasten 1 0,5 Der Baum besteht aus insgesamt 16 Pfa- den. Die vier rot gezeichneten Pfade ent- halten jeweils genau einen Treffer (hier: R). Sie führen auf dem Galton-Brett alle in den Kasten Nr. 1. Galton-Brett: n = 4, p = 0,5 L R 2 3 4 Alle Pfade mit genau einem Treffer (Rechtsablenkung R) werden in Kasten Nr. 1 gelenkt. 2 Alle Pfade mit derselben Trefferanzahl werden bei dem Galton-Brett in einen Kasten gelenkt. Somit handelt es sich hier sozusagen um eine Zusammenfassung der einzelnen Pfade mit gleicher Trefferanzahl bei der Bernoullikette. 2.4.2 Zusammenhang zur Binomialverteilung Lässt man viele Kugeln durch das Galton-Brett laufen, so entsteht in den Fächern eine symmetrische, glockenförmige Verteilung. Diese nähert sich mit steigender Anzahl an Durchläufen der Binomialverteilung an. Die Binomialverteilung beschreibt allgemein die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben. Dies ist bei dem Versuch mit dem Galton-Brett der Fall. Nachfolgend wird die ideale mögliche Verteilung der Kugeln in bzw. nach jeder Reihe des Galton-Bretts betrachtet. Die Zähler, entsprechend des Schemas des pascalschen Dreiecks, sind die Binomialkoeffizienten. Diese geben hier an, auf wie viele verschiedene Wege die Kugel in ein Fach gelangen kann. Die Nenner, folgend aus der Wahrscheinlichkeit p = q = ½ nach rechts bzw. links zu fallen, sind Potenzen von 2. 1 -190-19 16 -1000 O+1- ONI 16 100 COİN 8 8 AI → O 1.3 3.3 16 16 t ONI -1000 2,1 8 8 140 16 16 16 16 16 -1000 -190-19 16 Einlauf Auffangergebnis 16 16 Abbildung 1: Verteilung der Kugeln im Galton-Brett 2.4.3 Wahrscheinlichkeit, in ein Fach zu fallen Die Anzahl an unterschiedlichen möglichen Wegen beträgt 2n. Nun möchten wir herausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Kugel in ein bestimmtes Fach Fk gelangt. Da es sich bei dem betrachteten Experiment um eine Bernoulli-Kette handelt, könnten wir die Wahrscheinlichkeit sw eines Weges durch die Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten aller Wege, die zu Fk führen, errechnen. Diese Wahrscheinlichkeit ist in Abbildung 1 als Auffangwahrscheinlichkeit dargestellt. Leichter ist es aber, die Binomialverteilung über die Fächer Fk zu berechnen: Sw = (n über k)*pk*(1 − p)n-k - 2.4.4 Berechnung des Erwartungswerts Erwartungswert E(X) beim Galton-Brett: E(X) = n*p (Anzahl der Nagelreihen * Wahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung) 3 2.4.5 Berechnung der Varianz und Standardabweichung Varianz beim Galton-Brett: o² = n*p*q, Anzahl der Nagelreihen mal Wahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung mal Gegenwahrscheinlichkeit der Rechtsablenkung Standardabweichung: Wurzel aus o² 3. Übungsaufgaben Aufgabe "Arme Maus" Eine Maus irrt zu Versuchszwecken durch das abgebildete Labyrinth. Sie hat einen leichten Rechtsdrall und entscheidet sich an Abzweigungen mit einer Wahrscheinlichkeit von ½ für rechts. a) Wie viele mögliche Wege kann die Maus gehen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet die Maus Futter? c) Wie viele Mäuse muss man mindestens durch das Labyrinth schicken, wenn mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit sichergestellt werden soll, dass mindestens eine Maus die Erdbeere erreicht? 4. Quellen Seite "Galtonbrett in Mathematik Schülerlexikon". In: Lernhelfer, Duden Lernattack GmbH. Bearbeitungsstand: 2020. URL: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/galton-brett (Abgerufen: 15. November 2020). Bruno Pollok, LSW Soest: "Ein schneller Zugang zu Binomialverteilungen: Das Galton Brett". Veröffentlichung: URL: 1998/99, Detmold. http://www.kmk-format.de/material/Mathematik/5-2-Unterrichtsentwicklung-Szenarien_fuer_die_Fachgr uppensitzung/5-2-1-3_Herrn_Galtons_rollende_Kugeln-ein_Weg_zur_Wahrscheinlichkeit/5-2-1-3-5_Ei nfuehrung_Grundlagenwissen_zum_Galtonbrett.pdf. Seite „Galtonbrett". In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. November 2020, 12:24 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Galtonbrett&oldid=205382159 (Abgerufen: 15. November 2020, 12:02 UTC). Bigalke, Köhler: Seiten "C. Exkurs: Das Galton-Brett". In: Analytische Geometrie, Stochastik. S. 298 - 299. File:Francis Galton 1850s.jpg. In: Wikimedia Commons, the free media repository. Bearbeitungsstand: 24. April 2019, 23:07 UTC. URL: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Francis_Galton_1850s.jpg&oldid=347165500 (Abgerufen am 21. November 2020 um 18:21 UTC)