Einfacher Rotationskörper Volumen Rechner - Lerne mit Spaß!

128

Aulona Fazliu

11.10.2025

Mathe

Das Volumen von Rotationskörpern

Mathematik

Volumenberechnungsmethoden mittels Integration

Scheibenmethode (Rotation um x- und y-Achsen)

4.451

•

11. Okt. 2025

•

8 Seiten

Einfacher Rotationskörper Volumen Rechner - Lerne mit Spaß!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Aulona Fazliu

@aulonaf

A comprehensive guide to calculating volumes of rotational bodies, focusing... Mehr anzeigen

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$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Übungsaufgaben zu Rotationskörpern

Dieses Kapitel enthält mehrere Übungsaufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. Eine wichtige Aufgabe befasst sich mit der Modellierung und Volumenberechnung eines Space-Shuttle-Treibstofftanks.

Beispiel: Der Treibstofftank wird als Zylinder mit parabolischem und halbkugelförmigem Aufsatz modelliert. Das Gesamtvolumen beträgt 1868,19 m³.

Eine weitere Aufgabe behandelt die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit:

Highlight: Die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit nimmt unter Einfluss der Schwerkraft ein parabelförmiges Profil an.

Es werden auch Aufgaben zur Berechnung des Volumens für verschiedene Funktionen wie Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen gestellt.

Vocabulary: Parabelförmig bedeutet, dass die Form einer Parabel ähnelt.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Komplexere Rotationskörper und Anwendungen

In diesem Abschnitt werden fortgeschrittene Konzepte und Anwendungen von Rotationskörpern behandelt. Es werden Aufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern vorgestellt, die durch die Rotation von Flächen zwischen zwei Funktionen entstehen.

Definition: Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche zwischen zwei Funktionen f $x$ und g $x$ um die x-Achse entsteht, kann mit der Formel V = π · ∫ $(f(x$ )² - (g(x))²) dx berechnet werden.

Es wird eine Aufgabe präsentiert, bei der die Fläche zwischen den Funktionen f $x$ = 2√x und g $x$ = x im Intervall $0;4$ um die x-Achse rotiert.

Highlight: Bei der Berechnung des Volumens von komplexeren Rotationskörpern ist es wichtig, die richtige Integrationsformel zu wählen und die Grenzen korrekt zu bestimmen.

Zusätzlich werden Aufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern behandelt, die durch die Rotation von Flächen entstehen, die von mehreren Funktionen begrenzt werden.

Beispiel: Für die Funktionen f $x$ = 3 - 2x², g $x$ = x und h $x$ = 3 wird das Volumen des Rotationskörpers berechnet, der durch Rotation der eingeschlossenen Fläche um die x-Achse entsteht.

Diese Aufgaben verdeutlichen die praktische Anwendung der Rotationskörper Integral Formel in komplexeren Situationen.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Weitere Anwendungen und Übungen zu Rotationskörpern

Dieser Abschnitt enthält zusätzliche Übungsaufgaben und Anwendungen zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. Es werden verschiedene Szenarien präsentiert, in denen die Rotationskörper Volumen berechnen Aufgaben mit Lösungen durchgeführt werden.

Beispiel: Eine Aufgabe behandelt die Rotation einer Fläche, die von den Funktionen f $x$ = √x und g $x$ = x² begrenzt wird, um die x-Achse.

Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden schrittweise präsentiert, um das Verständnis für die Anwendung der Integral Volumen Rotationskörper Formeln zu vertiefen.

Highlight: Bei der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, die durch die Rotation von Flächen zwischen mehreren Funktionen entstehen, ist es wichtig, die Beiträge der einzelnen Teilflächen korrekt zu berücksichtigen.

Es werden auch Aufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern im ersten Quadranten des Koordinatensystems behandelt.

Vocabulary: Der erste Quadrant bezeichnet den Bereich des Koordinatensystems, in dem sowohl x als auch y positiv sind.

Diese Übungen helfen den Schülern, ihre Fähigkeiten in der Anwendung der Rotationskörper Integral Formel zu verbessern und ein tieferes Verständnis für die geometrische Bedeutung von Rotationskörpern zu entwickeln.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Fortgeschrittene Anwendungen der Rotationskörperberechnung

Die Volumenberechnung von Rotationskörpern kann auch auf komplexere Situationen angewendet werden, bei denen mehrere Funktionen eine Fläche umschließen. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung des Volumens, das entsteht, wenn eine von drei Funktionen umschlossene Fläche um die x-Achse rotiert wird.

Die gegebenen Funktionen sind:

f $x$ = 3 - 2x²
g $x$ = x
h $x$ = 3

Die Aufgabe erfordert:

Berechnung der Begrenzungsschnittpunkte der Funktionen
Berechnung des Volumens des entstehenden Rotationskörpers

Highlight: Bei komplexen Rotationskörpern ist es oft notwendig, das Gesamtvolumen in Teilvolumina zu zerlegen und diese separat zu berechnen.

Die Lösung beinhaltet die Berechnung von zwei Teilvolumina: V₁ = π ∫ $h(x$ ² - (g(x))²) dx V₂ = π ∫ $h(x$ )² - (f(x))² dx

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe dieser Teilvolumina: Vges = V₁ + V₂ = 3,29π Volumeneinheiten.

Example: Bei der Rotation der von f $x$ = 3 - 2x², g $x$ = x und h $x$ = 3 umschlossenen Fläche entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen 3,29π Volumeneinheiten.

Diese fortgeschrittenen Anwendungen zeigen die Vielseitigkeit und Leistungsfähigkeit der Volumenberechnung Rotationskörper in komplexen geometrischen Situationen.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Multiple Function Intersections

Covers calculations involving three functions and their intersections.

Highlight: The volume calculation involves subtracting and adding volumes created by different function combinations.

Example: Functions f $x$ = 3 - 2x², g $x$ = x, and h $x$ = 3 creating a bounded region.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Advanced Problem Solving

Focuses on practical applications of Rotationskörper Volumen berechnen Aufgaben mit Lösungen.

Example: Detailed solution for finding the volume of a rotational body created by g $x$ =√x over $1,4$ .

Highlight: Includes method for finding the point that divides the volume into equal halves.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Volume Optimization Problems

Addresses specific volume calculations and optimization scenarios.

Example: Calculation of volume for f $x$ = √5x² rotating around x-axis.

Highlight: Includes percentage-based volume calculations and interval determinations.

$# 5. Das Volumen von Rotationskörpern V= G.h = $\pi r^2 \cdot h$ ← Volumen vom Zylinder $\underbrace{Radius}_{f(x)}$ $\underbrace{Höhe}_{0}$

Einführung in Rotationskörper und Volumenberechnung

Dieses Kapitel führt in die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern ein. Es wird die grundlegende Formel zur Volumenberechnung von Rotationskörpern um die x-Achse vorgestellt:

V = π · ∫ (f(x))² dx

Definition: Ein Rotationskörper entsteht, wenn der Graph einer Funktion f über einem Intervall $a;b$ um eine Achse rotiert wird.

Highlight: Die Volumenformel für Rotationskörper basiert auf der Integration der quadrierten Funktionswerte.

Es wird ein Beispiel zur Anwendung der Formel gegeben:

Beispiel: Für die Parabel f $x$ = 2x² im Intervall $0;1$ ergibt sich das Volumen: V = π · ∫ $2x²$ ² dx = π · $4x⁵/5$ ₀¹ = 4π/5 VE

Vocabulary: VE steht für Volumeneinheiten.

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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathe

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A comprehensive guide to calculating volumes of rotational bodies, focusing on integration methods and practical applications.

• The document covers the fundamental principles of Rotationskörper Volumen berechnen(calculating volumes of... Mehr anzeigen

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Übungsaufgaben zu Rotationskörpern

Beispiel Der Treibstofftank wird als Zylinder mit parabolischem und halbkugelförmigem Aufsatz modelliert. Das Gesamtvolumen beträgt 1868,19 m³.

Eine weitere Aufgabe behandelt die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit

Highlight Die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit nimmt unter Einfluss der Schwerkraft ein parabelförmiges Profil an.

Es werden auch Aufgaben zur Berechnung des Volumens für verschiedene Funktionen wie Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen gestellt.

Vocabulary Parabelförmig bedeutet, dass die Form einer Parabel ähnelt.

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Komplexere Rotationskörper und Anwendungen

Definition Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche zwischen zwei Funktionen f $x$ und g $x$ um die x-Achse entsteht, kann mit der Formel V = π · ∫ $(f(x$ )² - (g(x))²) dx berechnet werden.

Es wird eine Aufgabe präsentiert, bei der die Fläche zwischen den Funktionen f $x$ = 2√x und g $x$ = x im Intervall $0;4$ um die x-Achse rotiert.

Highlight Bei der Berechnung des Volumens von komplexeren Rotationskörpern ist es wichtig, die richtige Integrationsformel zu wählen und die Grenzen korrekt zu bestimmen.

Zusätzlich werden Aufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern behandelt, die durch die Rotation von Flächen entstehen, die von mehreren Funktionen begrenzt werden.

Beispiel Für die Funktionen f $x$ = 3 - 2x², g $x$ = x und h $x$ = 3 wird das Volumen des Rotationskörpers berechnet, der durch Rotation der eingeschlossenen Fläche um die x-Achse entsteht.

Diese Aufgaben verdeutlichen die praktische Anwendung der Rotationskörper Integral Formel in komplexeren Situationen.

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Beispiel Eine Aufgabe behandelt die Rotation einer Fläche, die von den Funktionen f $x$ = √x und g $x$ = x² begrenzt wird, um die x-Achse.

Die Lösungen zu diesen Aufgaben werden schrittweise präsentiert, um das Verständnis für die Anwendung der Integral Volumen Rotationskörper Formeln zu vertiefen.

Highlight Bei der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, die durch die Rotation von Flächen zwischen mehreren Funktionen entstehen, ist es wichtig, die Beiträge der einzelnen Teilflächen korrekt zu berücksichtigen.

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Vocabulary Der erste Quadrant bezeichnet den Bereich des Koordinatensystems, in dem sowohl x als auch y positiv sind.

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Fortgeschrittene Anwendungen der Rotationskörperberechnung

Die gegebenen Funktionen sind

f $x$ = 3 - 2x²
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Die Aufgabe erfordert

Berechnung der Begrenzungsschnittpunkte der Funktionen
Berechnung des Volumens des entstehenden Rotationskörpers

Highlight Bei komplexen Rotationskörpern ist es oft notwendig, das Gesamtvolumen in Teilvolumina zu zerlegen und diese separat zu berechnen.

Die Lösung beinhaltet die Berechnung von zwei Teilvolumina V₁ = π ∫ $h(x$ ² - (g(x))²) dx V₂ = π ∫ $h(x$ )² - (f(x))² dx

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe dieser Teilvolumina Vges = V₁ + V₂ = 3,29π Volumeneinheiten.

Example Bei der Rotation der von f $x$ = 3 - 2x², g $x$ = x und h $x$ = 3 umschlossenen Fläche entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen 3,29π Volumeneinheiten.

Diese fortgeschrittenen Anwendungen zeigen die Vielseitigkeit und Leistungsfähigkeit der Volumenberechnung Rotationskörper in komplexen geometrischen Situationen.

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Volume Optimization Problems

Addresses specific volume calculations and optimization scenarios.

Example Calculation of volume for f $x$ = √5x² rotating around x-axis.

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Einführung in Rotationskörper und Volumenberechnung

Dieses Kapitel führt in die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern ein. Es wird die grundlegende Formel zur Volumenberechnung von Rotationskörpern um die x-Achse vorgestellt

V = π · ∫ (f(x))² dx

Definition Ein Rotationskörper entsteht, wenn der Graph einer Funktion f über einem Intervall $a;b$ um eine Achse rotiert wird.

Highlight Die Volumenformel für Rotationskörper basiert auf der Integration der quadrierten Funktionswerte.

Es wird ein Beispiel zur Anwendung der Formel gegeben

Beispiel Für die Parabel f $x$ = 2x² im Intervall $0;1$ ergibt sich das Volumen V = π · ∫ $2x²$ ² dx = π · $4x⁵/5$ ₀¹ = 4π/5 VE

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