Übungsaufgaben zu Rotationskörpern

Dieses Kapitel enthält mehrere Übungsaufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. Eine wichtige Aufgabe befasst sich mit der Modellierung und Volumenberechnung eines Space-Shuttle-Treibstofftanks.

Beispiel: Der Treibstofftank wird als Zylinder mit parabolischem und halbkugelförmigem Aufsatz modelliert. Das Gesamtvolumen beträgt 1868,19 m³.

Eine weitere Aufgabe behandelt die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit:

Highlight: Die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit nimmt unter Einfluss der Schwerkraft ein parabelförmiges Profil an.

Es werden auch Aufgaben zur Berechnung des Volumens für verschiedene Funktionen wie Wurzelfunktionen und trigonometrische Funktionen gestellt.

Vocabulary: Parabelförmig bedeutet, dass die Form einer Parabel ähnelt.

Komplexere Rotationskörper und Anwendungen

In diesem Abschnitt werden fortgeschrittene Konzepte und Anwendungen von Rotationskörpern behandelt. Es werden Aufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern vorgestellt, die durch die Rotation von Flächen zwischen zwei Funktionen entstehen.

Definition: Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) um die x-Achse entsteht, kann mit der Formel V = π · ∫ ((f(x))² - (g(x))²) dx berechnet werden.

Es wird eine Aufgabe präsentiert, bei der die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = 2√x und g(x) = x im Intervall [0;4] um die x-Achse rotiert.

Highlight: Bei der Berechnung des Volumens von komplexeren Rotationskörpern ist es wichtig, die richtige Integrationsformel zu wählen und die Grenzen korrekt zu bestimmen.

Zusätzlich werden Aufgaben zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern behandelt, die durch die Rotation von Flächen entstehen, die von mehreren Funktionen begrenzt werden.

Beispiel: Für die Funktionen f(x) = 3 - 2x², g(x) = x und h(x) = 3 wird das Volumen des Rotationskörpers berechnet, der durch Rotation der eingeschlossenen Fläche um die x-Achse entsteht.

Diese Aufgaben verdeutlichen die praktische Anwendung der Rotationskörper Integral Formel in komplexeren Situationen.

Fortgeschrittene Anwendungen der Rotationskörperberechnung

Die Volumenberechnung von Rotationskörpern kann auch auf komplexere Situationen angewendet werden, bei denen mehrere Funktionen eine Fläche umschließen. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung des Volumens, das entsteht, wenn eine von drei Funktionen umschlossene Fläche um die x-Achse rotiert wird.

Die gegebenen Funktionen sind:

• f(x) = 3 - 2x²
• g(x) = x
• h(x) = 3

Die Aufgabe erfordert:

1. Berechnung der Begrenzungsschnittpunkte der Funktionen
2. Berechnung des Volumens des entstehenden Rotationskörpers

Highlight: Bei komplexen Rotationskörpern ist es oft notwendig, das Gesamtvolumen in Teilvolumina zu zerlegen und diese separat zu berechnen.

Die Lösung beinhaltet die Berechnung von zwei Teilvolumina: V₁ = π ∫ (h(x)² - (g(x))²) dx V₂ = π ∫ (h(x))² - (f(x))² dx

Das Gesamtvolumen ergibt sich aus der Summe dieser Teilvolumina: Vges = V₁ + V₂ = 3,29π Volumeneinheiten.

Example: Bei der Rotation der von f(x) = 3 - 2x², g(x) = x und h(x) = 3 umschlossenen Fläche entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen 3,29π Volumeneinheiten.

Diese fortgeschrittenen Anwendungen zeigen die Vielseitigkeit und Leistungsfähigkeit der Volumenberechnung Rotationskörper in komplexen geometrischen Situationen.