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Was ist die lokale Steigung? Tangentensteigung und Differenzenquotient einfach erklärt

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Was ist die lokale Steigung? Tangentensteigung und Differenzenquotient einfach erklärt

manukiy

@manukiy

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Die lokale Änderungsrate beschreibt die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Sie wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet, wenn sich die Änderung dem Wert Null nähert. Dieses Konzept ist fundamental für das Verständnis von Ableitungen und Tangentensteigungen in der Analysis.

• Die lokale Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente an einem Funktionsgraphen.
• Sie wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0 bestimmt.
• Geometrisch nähert sich die Sekante der Tangente an, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten kleiner wird.
• Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten und gibt die exakte Steigung an einem Punkt an.

8.2.2021

1232

DIE LOKALE ANDERUNGSRATE 03-02-203
3.3
Funktion: f(x) = x³
.Differenzenquotient. for a = 1:
.n.
0,0¹.
0,001, Ch.1.
0,000.00!
0,000,000 001
D

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Differenzenquotient und Differentialquotient

Diese Seite vertieft die Konzepte des Differenzenquotienten und des Differentialquotienten.

Definition: Der Differenzenquotient berechnet die Annäherung zum Grenzwert und wird als m = (f(b) - f(a)) / (b - a) dargestellt.

Definition: Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten und wird als m = lim(h→0) (f(a+h) - f(a)) / h ausgedrückt.

Es wird erklärt, dass der Differentialquotient per Hand ähnlich wie der Differenzenquotient berechnet wird, aber der Grenzwert oft "erraten" oder mit einem CAS (Computer-Algebra-System) berechnet werden kann.

Highlight: Die Ableitung an einem Punkt und die lokale Änderungsrate sind äquivalent und können durch die Grenzwertberechnung bestimmt werden.

Vocabulary: Tangente: Eine Gerade, die einen Funktionsgraphen an genau einem Punkt berührt und dessen Steigung der lokalen Änderungsrate entspricht.

Die Seite betont, dass die Steigung der Tangente dem Grenzwert des Differenzenquotienten entspricht, was in diesem Kontext auf dasselbe Ergebnis hinausläuft.

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Die lokale Änderungsrate und der Differenzenquotient

Diese Seite erklärt das Konzept der lokalen Änderungsrate anhand der Funktion f(x) = x³. Der Differenzenquotient wird für verschiedene h-Werte berechnet, um sich dem Grenzwert anzunähern.

Definition: Die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle a ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn h gegen 0 strebt.

Formel: lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h

Beispiel: Für f(x) = x³ an der Stelle a = 1 nähert sich der Differenzenquotient dem Wert 3 an.

Die geometrische Interpretation wird erläutert: Die Sekante durch zwei Punkte nähert sich der Tangente an, wenn der Abstand zwischen den Punkten kleiner wird.

Highlight: Die Steigung des Graphen der Funktion f(x) = x³ im Punkt P(1|1) ist 3.

Ein Beispiel zur Berechnung der lokalen Änderungsrate für f(x) = 4 - x² an der Stelle 1 wird vorgestellt.

Vocabulary: Differenzenquotient: Ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion in einem Intervall.

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Formel: lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h

Beispiel: Für f(x) = x³ an der Stelle a = 1 nähert sich der Differenzenquotient dem Wert 3 an.

Die geometrische Interpretation wird erläutert: Die Sekante durch zwei Punkte nähert sich der Tangente an, wenn der Abstand zwischen den Punkten kleiner wird.

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