Normalverteilung: Definition, Näherungsformeln (Laplace & de Moivre) und Anwendungen

Die Gauß-Verteilung

Die Glockenkurve

Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer charakteristischen Kurvenform.

• Glockenform: Der Graph ist absolut symmetrisch zu seinem Maximum.
• Erwartungswert $\mu$: Er legt den höchsten Punkt (das Maximum) der Kurve fest.
• Standardabweichung $\sigma$: Sie bestimmt den Abstand der Wendepunkte zum Maximum.

💡 Tipp: Die Kurve nähert sich der x-Achse immer weiter an, berührt oder schneidet sie aber nie.

Parameter und Funktion

Mathematische Definition

Die Form der Dichtefunktion wird durch zwei Parameter komplett bestimmt.

• Verschiebung durch $\mu$: Ein größerer Erwartungswert verschiebt die Kurve nach rechts, ein kleinerer nach links.
• Form durch $\sigma$: Je kleiner $\sigma$ ist, desto steiler und schmaler wird die Kurve.
• Standardnormalverteilung: Spezialfall mit $\mu = 0$ und $\sigma = 1$.

Beispiel: Gegeben ist $\mu = 5$. Das Maximum der Glockenkurve liegt exakt bei $x = 5$.

💡 Tipp: Merk dir: Großes $\sigma$ macht die Kurve flach und breit, kleines $\sigma$ macht sie hoch und schmal.

Stetig vs. Diskret

Vergleich zur Binomialverteilung

Die Normalverteilung unterscheidet sich in zentralen Punkten von der Binomialverteilung.

• Stetige Verteilung: Die Normalverteilung erlaubt unendlich viele Zwischenwerte ohne Sprünge.
• Keine Einzelwerte: Es werden nur Intervalle $P(a \le X \le b)$ statt exakter Einzelwerte berechnet.
• Symmetrie: Die Normalverteilung ist immer perfekt symmetrisch, die Binomialverteilung oft asymmetrisch.

💡 Hinweis: Da stetige Kurven keine Balken haben, ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert $P(X = k)$ immer Null.

Lokale Näherung

Formel von Laplace und de Moivre

Unter bestimmten Bedingungen lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.

• Laplace-Bedingung: Die Näherung ist verlässlich, wenn $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} > 3$ ist.
• Näherungsformel: Berechnet $P(X=k) \approx \frac{1}{\sigma} \cdot \varphi(z)$ mit $z = \frac{k-\mu}{\sigma}$.

Beispiel: Für $n=100, p=0,2$ ist $\mu = 20$ und $\sigma = \sqrt{16} = 4$. Da $\sigma = 4 > 3$, darfst du die Formel anwenden.

💡 Tipp: Prüfe in Klausuren immer zuerst, ob die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist, bevor du näherungsweise rechnest.