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Differentialrechnung, Funktionsanalyse Zusammenfassung

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Differentialrechnung Zusammenfasuing differentialrechnung Graphisch ableiten [(X) NEW '(X) NEW ("XX) . Bsp NEW : in allen Abschnitten in denen f(x) steigt, verläuft ['(x) oberhalb d.x-Achse in allen Abschnitten in denen f(x) fällt, verläuft f'(x) unterhalb d. X-Achse ↓ N - Nullstellen Extrema w - Wendepunkte NEW I - [S(X) f'(x) Steigung positiv Graph oberhalb d. X-Achse Steigung negativ Graph unterhalb d.x-Achse Extremstellen Nullstellen Sattelpunkte Nullstellen Wendepunkte Extrema/Sattelpunkte 2 DA 1 -4 -3 -2 1 -2 H 3 X+ LO 5 6 Verlauf einer Funktion unter Verwendung von Fachbegriffen beschreiben Monotonie y₁ f(x₂) ((x₂) f(x₁)- f(x₂)--- Ха : X₁ X₂ X₂ X Monoton steigend wenn für beliebige Stellen X₁, X₂ aus dem Intervall gilt:X₁<×₂' ; f(x,)≤ f(x₂) d. h. die Funktion verläuft In dem Abschnitt teils horizontal, tells steigend Hochpunkt streng monoton wachsend Streng monoton steigend wenn: f(x₂)<f(x₂) d. h. in dem Abschnitt steigt die Funktion durchgehend und verläuft niemals horizontal oder gar fallend (s.Bsp.) : Monoton fallend wenn für beliebige Stellen X₁, X₂ aus dem Intervall gilt · X₁<X₂ ; f(x₁) = f(x₂) d.h. die Funktion verläuft in diesem Abschnitt teils horizontal, teils fallend Extremstellen →Wechselt ein Graph bei wachsenden x-Werten von einem Intervall In dem f streng monoton wachsend ist, in ein Intervall, in dem f streng monoton fallend ist, so liegt zwischen den beiden Intervallen eine Stelle, an der der Graph einen Hochpunkt hat. Ist es umgekehrt (d.h. von streng monoton fallend zu streng monoton wachsend) liegt zwischen den Intervallen ein Tiefpunkt. →→Hoch- und Tiefpunkte bezeichnet man auch als Extrempunkte. y Streng monoton fallend wenn: f(x₁) > f (x₂) d.h. in diesem Abschnitt fällt die Funktion durchgehend und verläuft niemals horizontal oder gar...

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steigend (s. Bsp.) streng monoton fallend Tiefpunkt Streng monoton wachsend →x Y↑ fixa D T.P. I Xe → Ist P(xe If(x₂)) ein Extrempunkt (Hoch-oder Tiefpunkt), dann heißt Xe Extremstelle der Funktion f. Der Funktionswert f(xe) nennt man auch Extremum. у то a H.P. Definitionsbereich von f [a;b] f(x₁) lokales H Maximum Xe X₁ T f(x₂) lokales Minimum X₂ Für alle x in einem Intervall um Xe gilt: f(x) = f(x₂), d. h. f(x₂) ist der kleinste Vorkommende Funktionswert im Intervall. Den Funktionswert f(x) an einem Tiefpunkt bezeichnet man als lokales Minimum. Für alle x in einem Intervall um Xe gilt: f(x) ≤ f(xe), d. h. f(x) ist der größte vorkommende Funktionswert im Intervall. Llokales Maximum Hf(x3) lokales und globales Maximum f f(b) globales Minimum X3 Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten im Definitionsbereich heißt globales Maximum. b Der kleinste Funktionswert heißt globales Minimum. Ein globales Extremum an einer Randstelle des Definitionsbereiches heißt Randextremum. Monotoniesatz: Wenn f'(x) >0 für alle x in einem Intervall gilt, dann ist die Funktion f in diesem Intervall streng monoton wachsend. Wenn f'(x) <D, dann ist die Funktion f streng monoton fallend. Differenzquotienten bestimmen L mittlere/durchschnittliche Änderungsrate oder Steigung einer Sekante f(b) D y faxu). I a lokale Änderungsrate lokale/momentane Änderungsrate fixo Sekante b-a Po : X₂ P₁ Ха : Q ((b)-f(a) L X Quotient mil h-Methode bestimmen Differentialquotient Steigung einer Tangente in einem bestimmten Punkt Differenzquotient in Abhängigkeit von h: f(b)-f(a) b a ba Geometrisch gedeutet, ist dieser m Quotient die Steigung in der Sekante durch die Punkte Pfalf(a)) & Q (blf(b)) →Annäherung von P₁ an P. (Grenzwert) Differentialquotient m=lim f(x₁)-f(x₂) X₁ Xo Ха-хо h-Methode statt des speziellen Punktes x, wird der Platzhalter h eingesetzt für h gilt: h=X₁-X. →Die Variable h steht demnach für den Abstand zweier X-Werte X₁ = X₁th ⇒ f(x₁) = f(x₁+h) h-Methode Differenzenquotient lim f(xo+h)-f(x₂) = f'(x) .h+o h -h geht gegen Null Die h-Methode ist ein Verfahren zur Herleitung von Ableitungsfunktionen. Ableitungsregeln Potenzregel Potenzregel ' f(x)=x" → f'(x)=n·x^-₁ Faktorregel Faktorregel: Wenn vor dem x ein konstanter Faktor steht, wendet man die Faktorregel an. Bsp: f(x)=3-x²f'(x)=3-(2-x) = 6x 7 f(x)=-2-x²f'(x)-2-(8-x) = -16x* f(x)=c・g(x) + f(x)=c・g'(x) Summenregel Bsp: f(x)=x² f'(x)=3-x³-1 - 3x² -5 -5.1 f(x)=x²¹5 → f'(x)=-5 ·x³ = -5x²6 → Summenregel Anzuwenden, wenn auf beiden (!) Seiten des Plus-Zeichens ein x vorkommt. Bsp: f(x)=x³ + x f'(x)= 3x²+1 fax)-gad+hax) f'(x)-gtx) +h'(x) f(x)=4x³+x" f'(x)=20x¹+4x³ Bedeutung der 1. Ableitung Eine Ableitungsfunktion ist eine Funktion, die jeder Stelle x, den Wert ihres Differential- quotienten zuordnet. (Steigung einer Funktion) An der Ableitung kann man ablesen, wann die Funktion am stärksten steigt bzw. gar nicht steigt. →Steigung d. Tangente

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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