Detaillierte Lösung eines Extremwertproblems

Dieses Kapitel führt durch die detaillierte Lösung des Beispielproblems, bei dem mit 400m Zaun die größtmögliche Fläche eingezäunt werden soll. Es zeigt Schritt für Schritt, wie man ein Extremwertproblem mit Nebenbedingungen angeht.

1. Zunächst wird die Hauptbedingung aufgestellt: A(a,b) = a · b, was die Fläche des Rechtecks darstellt.

2. Die Randbedingung wird formuliert: U(a,b) = 2a + 2b = 400m, was den Umfang des Zauns repräsentiert.

3. Die Randbedingung wird nach einer Variablen umgeformt: b = 200 - a

4. Diese umgeformte Gleichung wird in die Hauptbedingung eingesetzt, um die Zielfunktion zu erhalten: A(a) = -a² + 200a

5. Die Extremstelle der Zielfunktion wird bestimmt, indem die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird: A'(a) = -2a + 200 = 0, woraus sich a = 100 ergibt.

6. Schließlich werden die restlichen Größen berechnet: a = 100m, b = 100m

Highlight: Dieser systematische Ansatz demonstriert, wie man komplexe Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen schrittweise lösen kann.

Abschließende Betrachtungen zu Extremwertaufgaben

Dieses letzte Kapitel fasst die wichtigsten Aspekte von Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen zusammen und bietet ein komplexes Beispiel zur Vertiefung des Verständnisses.

Das Beispiel behandelt die Maximierung einer Fläche unter einer Parabel mit der Funktion f(x) = -x² + 4, wobei verschiedene Punkte berücksichtigt werden müssen:

• Ein Punkt im Ursprung
• Ein Punkt auf der x-Achse im ersten Quadranten
• Ein Punkt auf der y-Achse

Der Lösungsansatz umfasst:

1. Aufstellen der Hauptbedingung: A(u) = a · b
2. Formulieren der Nebenbedingung: b = -u² + 4
3. Ableiten der Zielfunktion: A(u) = 4u - u³

Highlight: Dieses abschließende Beispiel demonstriert die Anwendung von Extremwertaufgaben in einem komplexen geometrischen Kontext und zeigt, wie verschiedene mathematische Konzepte zusammenspielen.

Vocabulary:

• Ableitung: A'(u) = 4 - 3u²
• Zweite Ableitung: A"(u) = -6u

Diese Zusammenfassung unterstreicht die Vielseitigkeit und Bedeutung von Extremwertaufgaben mit Lösungen in der Mathematik und ihrer praktischen Anwendungen.