Mathe Abitur Zusammenfassung 2022

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einem Punkt -> Tangentensteigung durch f(x) = lim (*) (*) Aussage über Steigungsverhalten einer Funktion: 1. f'(x) > 0 = f ist streng monoton steigend 2. f'(x) < 0 = fist streng monoton fallend Ableitungsregeln z.B. 4 = Extremstellen: - Drei Arten von Extrem Minimum, Maxi um, Sattelpunkt TP 1. Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: f" (x) #0 -> Für f"(x) < 0 = Hochpunkt und für f"(x) > 0 = Tiefpunkt HP h Bsp: f(x)= x+3x+1 f(0) = 1 f(3) = 19 da größer, da am höchsten strebt für h→0 Grenzwert an HP bei x = 1 auch möglich bei WP bzw. stärkster Änderung = dann Rander in f'(x) einsetzen! Randextrema: - Evtl. Extrema nicht höchste/tiefste Stelle -> Mit Rändern des Definitionsbereiches vergleichen: D= [0;3] Sattelpunkt kein VZW größer Randextrema ↳globales Extremum Extremstellen berechnen 1. Handschriftlich: -> Bsp: f(x) = 4x² + 2x f(x) = 8x + 2; f"(x) = 8 ; NB: f'(x) = 0 8x +2 = 0 HB: f'(x)=O F"(x) *0 z. B. xo f'(x0) F"(-) = 80 → Tiefpunkt 2. Monotonietabelle: f(x)= 4x² + 2x 1-2:8 X<- -1 -6 x=-1 = in f(x) einsetzen für y 3. GTR: Graph, F5, Min/Max x = - 4 > - 4/12 xx 1 10 TP da von "minus" nach "plus" immer wenn HB=0 Bedeutung der 2. Ableitung: - Beschreibt Krümmungsverhalten einer Funktion -> Für f"(x) > 0 = Linksgekrümmt -> Für f"(x) < 0 = Rechtsgekrümmt Wendepunkte: - Stelle wo eine Funktion ihre Krümmung oder Richtung ändert 1. Notwendige Bedingung: f" (x) = 0 2. Hinreichende Bedingung: f (x) #0 -> Wendepunkt mit waagerechter Tangente = Sattelpunkt Berechnen: 1. Handschriftlich -> Bsp: f(x)=2x³ + x² + 1 ; P'(x) = 6x² + 2x F"(x) = 12x + 2 f(x) = 12 NB: F"(x) = O z. B. xo Immer wenn HB=O F"(x0) WP HB: F"(x)=0 f"(x) 0 12x+2=O 1-2:12 ; 2. Monotonietabelle: f(x) = 2x³+x²+1 xw = = = = = f(-1) = 12 >0 →→ Wendepunkt X<- <- -1 x=-12 = in f(x) einsetzen für y O x>-1/2 14 → Wendepunkt da VZW Wendetangente: - Berührt Funktion im Wendepunkt -> Bsp: f(x)= x² + 2 für x = 2 f(2)=6=Y f'(x) = 2x y=mx+n LE(x) = 4x-2 f'(2)=4=m - 6= 4.2+n n=-2 Zeichnerisches Ableiten: - Von f und f' -> f & f H 1-8 NA waagerechte Tangente = Sattelpunkt Sachzusammenhang: 1. f(x) = Weg 2. f'(x) = Geschwindigkeit 3. f"(x) = Beschleunigung - Extrema: Höchster/Tiefster Punkt - Wendestellen: Stärkste Steigung t(x) Nur Extrema wenn VZW 4 wenn F(x) fällt beginnt f'(x) im Minus bereich NEW NEW →Abnahme /Zunahme Funktionsscharen: Funktionsterm enthält außer x noch einen Parameter z.B. a -> z.B. f (x) = ax + 2 - Funktionsscharen zeichnen: - Mit {} im GTR -> Durch zunehmendes/abnehmendes a = Graph verschiebt sich Gemeinsamkeiten und Unterschiede: - Symmetrie zum Ursprung /y-Achse - Genau einen Tiefpunkt, Schnittpunkt etc. -> Mit wachsendem a = näher/weiter auseinander Funktionsschar untersuchen: Parameter a wie Zahl behandeln -> Bsp: f(x) = x² + 4ax - 4a Punkt (111) auf f (x): f(1) = 1²+ 4a - 4a = 1 Schnittpunkt y-Achse: f(0) = 1°+4a-0-4a = -4a Lx=O Schnittpunkt x-Achse: o= x² + 4ax-4a 1. mit pq-Formel-¹ oder ausklammern 2. mit GTR: Graph, F5, Root -> Bsp: f (x) = ax³-3ax-3a Ableiten: f'(x) = 3ax²-3a f"(x) = 6ax f"(x) = 6a Extrema: NB: f(x)=0 3ax -3a = 0 1-3a зах2 F"(x)=0 für a>0 HB. f'(x) = O 6" (1) = 6a > 0 → Tiefpunkt €"(1) = 6a >0 für ao → Hochpunkt f"(-1) = -6a <0 für a>0 → Hochpunkt "(-1)= -6a <0 für aco→ Tiefpunkt = 3a 1: 3a √ -y-Koordinate durch x einsetzen in f -> Z.B. TP (11-2a + 1) z. B. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrema auf x- Achse? -> f₁(x)=0 O= 2a + 4 |-4 -4 = 2a 1-2 a = -2 Wendestellen: NB: "(x)=0 bax =O X = O 1:ba fa""(x) #0 #O für ato HB: ₂ "(x) = 0 fa" (0) = ba Ly-Koordinate: fa (0) = -6a Achtung beim differenzieren für Ja ist aso sonst keine Extrema für aco! WP (01-3a) Wendetangente: f(x) = 2ax² + 2 fa (1) = 2a + 2 = y fa'(x) = 4a y=mx+n Fallunterscheidung Levtl. azo für x = 1 fa (1) = 4a=m 2a+2=40·1+0 1-4a - 2a+2=n → L₂ w(x) = 4ax + (-2a+2) Steckbriefaufgaben: - Gesucht: bestimmter Funktionsterm Gegeben: Verschiedene Eigenschaften 1. Welche Funktion vom Graph ablesen oder n -> Grad + 1 = Bedingungen (so viele Bedingungen wie Parameter) 3 -> Bsp: Funktion 3. Grades = ax 2 + bx + cx + d 2. Bedingungen aufstellen z.B. Steigung oder Wendepunkte 3. LGS aufstellen und lösen Steckbriefaufgaben Bedingungen: Symmetrie: 1. Punktsymmetrie: nur ungerade Exponenten z.B. ax³ + cx 2. Achsensymmetrie: nur gerade Exponenten z.B. bx² + d Extrema: HP bei (111): f(1) = 1 & f(1) = 0 Wendepunkt bei (5|5): f(5) = 5 & f" (5) = 0 Sattelpunkt bei x=8: f'(8) = 0 & f" (8) = 0 Nullstelle bei x=3: f(3) = 0 Waagerechte Tangente bei x=9: f'(9)=0 Wendetangente t(x)=5x + 8 bei x=1: f(1) = 13 P" (1)=0 Wendetangente x=2 mit Steigung 5: f'(2)=5 & f" (2) = 0 Schneidet g(x)= 3x+8 auf y-Achse: f(0) = 8 - Hat bei a Steigungswinkel: f'(3) = tan (4 - Berührt x-Achse bei x=2 -> Doppelte Nullstelle bei (216): f(2)= 0 & f'(2) = 0 Trassierung: - Zwei Funktionen f(x) und g(x) gegeben = t(x) Sprungfrei. gesuchte Funktion durch f(x) = g(x) nantloser übergang Knickfrei: 3. Grades Erste Ableitung gleich: f '(x) = g'(x) -> gleiche Steigung Krümmungsruckfrei : 5. Grades - Zweite Ableitung gleich: f "(x) = g(x) $'(x)= g'(x) auch I f(-3) = 1 II F'(-3) = O III P (1) = 1 I "(1) = O Steckbriefaufgaben LGS aufstellen: -Mithilfe Bedingungen LGS aufstellen: Bsp: 3. Grades; HP bei (-311) und WP (11) L₂4. Bedingungen f(x) = ax³ + bx² +cx+d; f'(x) = 3ax² + 2bx+c; F"(x) = 6ax+ 2b a. (-3)³ + b. (-3)² + c. (-3) + d = 1 3a. (-3)² +2b-(-3) + c = 0 a ba + b 2b -A + C + d = 1 -> Mit GTR oder Gauß- Verfahren lösen - Umformen und in Funktionsterm einsetzen -> z.B. f(x) = 3x³ + 2x² + 6x +1 ^ = 0 •2(x) 2 P(A) Extremwertaufgaben: Vorraussetzungen unter denen eine bestimmte Größe maximal oder minimal wird. 1. Bsp: 20 cm Draht, Rechteck -> Flächeninhalt maximal 1. Skizze: 2. Zielfunktion aufstellen: A = a.b 3. Nebenbedingung suchen: U = 2ab + 2b 20 2a + 2b -> Umformen: -> Einsetzen in HB: A(b) = (10-b).b 10b-b² 20-2b = 2a 10-b=a = HB: A(b) = 0 A" (b) A" (S) = -2 <0 4. Extremabedingung: A'(b) = 10-2b A" (b) = -2 NB: A'(b) = 0 10-2b =O 1-2b.2 5 = b 0 Maximum -> Für a einsetzen: a 10-b a = 10-S=S |+b 1-2b 1:2 5. Randwerte: - Umgeformte Nebenbedingung nehmen: 10-b=a 4a10-b²O 10 = b A(0) = O A(5) = 25 → Maximum A(10) = O -> Maximaler Flächeninhalt wäre 25cm mit a &b = 5cm 2. Bsp: Verkauf von Bauteilen -> monatliche Einnahmen maximal -> E: monatliche Einnahmen p: Stückpreis = 25€ a: Anzahl monatlich verkaufter Teile = 100 Stück x: Preissenkung pro Stück = 1€ HB: Monatliche Einnahmen = a.p NB: p: Stückpreis - Preissenkung = 25 - x a: 100 + 25x -> In HB einsetzen: E(a) = (100+ 25x). (25-x) 2500-100x+625x25x² = 2500+ 565x - 25x² -> Extremabedingung aufstellen & auflösen 3. Bsp: Quader (quadratisch, oben offen) -> Volumen maximal -> Drahtlänge: 80cm HB: V = a b c = 3a·a·h = 3a².h NB: 802.3a + 2a + 4.h = 8a + 4h -> Umformen: 80= 8a+ 4h 1-8a :4 40-4a=h - Zielfunktion: v(a)= 3a². (40-4a) = 120a² - 12a³ -> Extremabedingung aufstellen und berechnen 4 Deckel abziehen! 4. Bsp: Dreieck -> Flächeninhalt maximal -> f(x)=x²+2 HB: A = g.h NB: Grundseite g = u Höhe h = f(u): ²+2 (²+2) U²+U -> Extremabedingung aufstellen und berechnen -> Zielfunktion: A(u) = = 30 Flächeninhalt minimal -> Tiefpunkt berechnen P(ulv) simmer auf x-Wertachary auch mit Rechteck möglich aufpassen auf y- Achse euth.. Imal nehmen! f(x) F(x) INTEGRALE: Rekonstruieren einer Größe: Orientierten Flächeninhalt bestimmen -> Annähernd bei Änderungsrate z.B. - 20 AO A: Kilogramm = A₁ + A₂ AA - Stammfunktionen bilden: A₂ Das Integral: Berechnung Flächeninhalt mit krummliniger Grenze f(x) dx : Integral als Grenzwert zwischen a und b -> GTR: MATH, F5, S x Stammfunktion: ,,Aufleitung" von F(x) von f(x) [falls F'(x) = f(x)] Es gibt unendlich viele Stammfunktionen: F(x) = G(x)+c Lähnliches Aussehen -> Sachzusammenhang: Flächeninhalt z.B. Länge, Mengeber andere onsonanten 1 2x Sz=-1 f(x)=x²-> F(x)=x² -> Bsp: f(x)= x-> F(x)=¹> F(x)= ¾×² Regeln: Jef(x) dx = c. 2 Beispiele Stammfunktionen: Sx S 2x 2 verlauf 2+1 3x 3 7 ²2x² zähler berechnen ' -- [ f(x)dx ; £g(x) +h(x) dx = g(x) dx + n(x n(x) dx Ex 1 - 1 x Cm * = *^ 3X 2 4 X Stammfunktionen skizzieren: F NEW 11 NEW T Hauptsatz der Differential-& Integralrechnung: -> Wert eines bestimmten Integrals berechnen: f(x) dx = [F(b)-F(a)] · Graph postiv = F steigt Graph negativ = F Sinkt • VZW von "+"=HP VZW von "= TP keiner = Sattelpunkt 7 Beispiel Untersomme Ober- & Untersumme: - Flächeninhalt in Teilintervallen abschätzen: Bsp: f(x)= x2 ; gesuchte Fläche im I [o; 1] -> In 4 Teilintervalle teilen (je mehr, desto genauer) Betragsstriche bei negativen Flächeninhalt: 1-11 U₂: F(O) · FCE) + · F(2) + 4· F(2) = 4 [F(0) + F( 4 )....] O₂: F(₁)+F(2) + = F (3) + = F (4) Sumit & mit 12 -> A = 0 + U 14+ U4 L # ↳ Beispiel obersumme Mittelwert von Funktionen: Mb-a f(x)dx -> Mittelwert bzw. durchschnittliche Anzahl Bsp: f(x)=x²³1 [1;3] → ₁x²³dx=1}x²³x - Fläche zwischen Graph & x-Achse: Bsp: f(x)=x²+4 1. Nullstellen bestimmen für Intervall: O= x² + 4x | ausklammern O = x (x+4) ×₁=0 x₂= =4 → I CO; -4] 2. Hauptsatz berechnen: (x²+4x)dx= [x²+²x² 14 Sauf inzeelintervalle achten z. B. 3 berechnen! Fläche zwischen Graph & Tangente: -> f(x) = x² + 4x ; Tangente durch P (112) 1. Tangentengleichung: y=mx+n m = f(1) = 6 4y= 6x-4 ;n: 2= 6·1+n +0=-4 2. Nullstellen berechnen für Dreieck: 0= 6x-4 | +4:2 x = 2 LA Dreieck ng = 1/2.2.2=2 ↳ Agesamt: S(x²+4x)dx - 2 Dreieck abziehen! San Betragsstriche denken! Flächeninhalt zwischen zwei Graphen: -> f(x) = x³ ; g(x) = x³ + x² + 3x 1. x²+3× 1: x³ Schnittpunkte berechnen: f(x) = g(x) O = x² + 3x O = x (x+3) x₁ = 0 *₂=-3 I (-3; 0] I ausklammern GTR: Graph, OPTN, CALC, S ↳ Schnittpunkt mit Tangente! 2. Hauptsatz berechnen: F(x)-g(x) dx -> _§ (x²+x²+3x) - x² dx = [4 x*• - XIX y=mx+n Soberer Graph vorne auf Intervalle achten! EXPONENTIALFUNKTIONEN: Lineares/Exponentielles Wachstum: Lineares Wachstum: y = mx+n -> Nimmt immer um gleichen Betrag zu - ·Startwert Exponentielles Wachstum: f(x) = arus faktor (6*1; b>0) -> Bestand nimmt in gleichen Abständen um zu ->0<b<1 = Exponentielle Abnahme b> = Exponentielle Zunahme - Eigenschaften der Exponentialfunktion: Besitzen keine Nullstellen = verlaufen oberhalb x-Achse Für f(x) = a.b*; verläuft durch (0|a) *** -> Für b> = je größer b desto steiler -> Für <= je kleiner b desto steiler ocben b =an y-Achse spiegeln -b² = an x-Achse spiegeln b*+d=an y-Achse verschieben bx-c = an x-Achse verschieben y=2x A Wachstum und Zerfall: Wachstum: b>^; b = 1 + 100 -> Bsp: Die Menge nimmt um 20% zu ; b= 1+ Zerfall: 0<b<1 ; b = 100 -> Bsp: Die Menge nimmt um 20% ab; b= 1- = 20 Exponentialgleichungen aufstellen: - Zwei Punkte: A (211) B (312); f(x)= a.b -> Beide Punkte einsetzen: 1= a.b² 2= a.b³ Beide Punkte teilen: -> Einen Punkt für a einsetzen & lösen ; b=2 a.b² Für A(012) ist a=2 G(n) 1 2 3 4 Quotient: G-^) 5 40 20,1 40 = Werte addieren & :3 teilen = b DN GTR: Statistik, Punkte in List eingeben, CALC, EXP = 1,2 100 3x Die natürliche Exponentialfunktion: Spezielle Exponentialfunktion: f(x) = e* -> Eulersche Zahl 2,71 -> Ableitungen stimmen überrein: f'(x) = e* - E-Funktion zur Basis E umschreiben: - f(x) = b*= en (b)x -> Ableitung: f'(x) = n(3) e -> Aufleitung: F(x)=√3) 2,34 0-2 f(x)=3* = e In (3)x Eigenschaften der E-Funktion: - f(x) = e* besitzt keine Nullstellen, Extrema, WP f(x) = c.e In (2) Logarithmusregeln: 1. ebb z. B. e = 2 2. In(e) = C 2.B. In (e²) = 2 e x 2 e e x-3 In (3)x In (3) x CO= oberhalb x- Achse C<O= unterhalb x- Achse x-3 Der natürliche Logarithmus: - Gibt Lösung der Potenz für e* = b an -> x= ln(b) Bsp: e* = 10 ist x= In(10) -> Evtl. umformen: k>0= monoton steigend -> Beim Spiegeln und Verschieben = Regeln wie bei Exponentialfunktionen ax f(x)=eª → Streckung / Stauchung x>0 = x + 00 X<O= x→-8 Für 3e* verläuft Graph durch 3 K<Os monoton Fallend 4 1:2 = 2 I In = In (2) 1.3 = In (2)+3 In(e) = 1 In (1) = 0 In (0)=="¹ In(-5)= f(x) Exponentialgleichungen lösen: - Mit In: 2.6* = 10 1:2 6* = In (6).x = f(x) F(x) - Mit log: 5.4* = 10 1:5 4* = 2 I log logu (2) = x -> Logarithmen um Potenz herauszufinden e Tangentengleichung aufstellen: - Bsp: f(x) = 7e* ;A (1| f(x)) ;y=mx+n 1. Y-wert: f(1) = 7e 2. Steigung: f'(x) = 7e* 3. n-wert: ↳t(x)= 7ex f'(x) -ex -X -e Exponentialfunktionen aufleiten/ableiten: 3e S I lo In (5) ): In (6) 7e = 7e. 1 + 1-7e no 3e* In (S) In (6) 30x 3e* In (2) In (2) f'(1)=7e=m 3x 3e e 4.8. 2* =-4 night lösbar, da unter x-Achse 3e 3x+2 3.3e 3e 3x 3x 3x+2 2. Verdopplungszeit: (k> 0) In (2) - Tu= (= Zerfall) x 3 3 3x 1 3x+2 1 3.e 3 e In (3) 3 Halbwerts & Verdopplungszeit: - f(x) = a.b* = a.e** z.B. f(x) = 6.2* = 6e 1. Halbwertszeit: (k< 0) In () In (1) -> TH In (2) (= Wachstum) In (3)-3* 3x² * 3* e In(2)x 3x³ e 2 9x.e 2 Exponentialfunktionen im Sachzusammenhang: Bsp: Pflanze anfangs 5cm hoch -> f(x) = 5.1,05* 1. Halbwertszeit:: In(1,05) In (4) 2. Wachstum nach zwei Tagen: f(2)= 5.1,05² = 3. Wann ist sie 10cm gewachsen: 10 = s. 1,os* 1.5 2 = 1, OS* 1 log x = log₁,05 (2) S. 1, OS* In (1,05) 4. Höhe nach 4 Tagen: F(x)= (5.1,05*)dx = [ n(1,05) s. 1,05*] + Anfangshöhe & 4 Immer auf Ausgangslage achten! 5. Durchschnittliches Wachstum in 10 Tagen: oder 10 (F(x) dx 6. Neue Höhe berechnen nach 20 Tagen: f(x) dx Beschränktes Wachstum: Graph nähert sich einem Wert an -> Z.B. f(x) = 20- 20e-0,5x Grenzwert Graph strebt gegen 20 -0,$.100 = 20 7. Maximales Wachstum = Extrema O= (x²+Sx).ex 1:e da e* ±0 für ter 8. Wachstum fällt am schnellsten Wendepunkt -> lim 20- 20e نہا gegen O Höhe in 10. Tagen 10. Tage 20 Evtl. Höhe zuvor addieren Randwerte im Extrema Randwerte f'(x) im WP ↳strebt gegen 3 Zusammengesetzte Funktionen: Verkettung von Funktionen: Bsp: u(x) = 2x 1. Summe: u+v = 2x + x² 2. Produkt: u•v = 2x₁x² = 2x³ 3. Verkettung: uov = u(v(x)) = 2x² Voul = v(u(x)) = (2x)² - u & v angeben: f(x)= 4e^ X-7 -> UoV: u(x) = 4e* V(x) = x-7 WICHTIG!: • P(x) = n(x) → f'(x)= = /1 Immer beachian ob man 4- P(xea) beneenner muss. • Geradengleichung immer bei zwei Punkten • Sala des Pythagoras!!! •Han P(x) immer verte größer o gooo.... einsetzen! • Steigung der Sekante durch ewei Geraden! • Auf Inte graisgrenzen achten manchmal zwel integrale mit unterschiedlichen Grenzen • Faktorregel • Pro Monotonie bereich nichstens eine Nullstelle • Immer werte in zB f'(x) einsetzen nicht vergessen. Randwere we f(x) • Randwerie evtl. am hdensten • tan (a)= 0,6 ist steigungswinkel • Tangential: Punkte und steigung gleich! •Bei Sigmaregel Aufgabe lesen: um maximal 5 von po to ist 1.8 45! • fürsuids Anfangswert addieren! • Kangruent gleich •Höhe bel Pyramide Y₂-Hoordinate • bei immer schreiben • Laplace Experiment: alle Ergebnisse gleiche wahrscheinliente/t V(x) = x² • Parallels Gleiche Sleigung! • Differenz Funktion für Abstand zweier Graphen: dév)=P(x) = n(x) P(E) Für Ereignis n = Nullstellen n=2= wendestellen • Spiel Pair wenn p= 0, also eigen Hichen Erwartungswers NO,S+ Einsatz 26 = 2,se zahlen Produktregel: - Ableitung eines Produktes z.B.u.v -> f'(x) = u(x). v(x) + u(x). v'(x) - Bsp: f(x) = u(x) = 2x U'(x)=2e2x • Zufallsgröße: von was wahrscheinlichkeit gesucht wird. •Hinter jede aufgestellte Gerade & Ebene ter • Butt nor X₂ X₂ koordinalen gleich null setzen 7.8. bei vertikal •gleichverteille zufallsgröße • Bereich 1-3; oc ²x. (x² - 4x) = e =e Ableiten Abschreiben +Abschreiben. Ableiten. f'(x) = 2e²x. (x²-4x) + ²×. (2x-4) ·[2. (x²-4x) + (2x-4)] ·((2x²_8x) + (2x-4)] (2x²-6x-4) v(x)=x²-4x v(x) = 2x - 4 Kettenregel: - Ableitung einer Verkettung z.B. uov -> f'(x) = u'(v(x)) v'(x) (außen. innen) - Bsp: u(x)= 2e* 4 f'(x) = 2e ***. 1 - 2x²+x v(x)= x+8 =e" 8+x Produkt- & Kettenregel: f(x)= 3x². e ↳ f'(x) = 6x-e² 3x² (-4x+3) e - 2x²+x 2 =e-2x²+x -2x² + 3x - 2x² + 3x [6x + 3x².(-4x+3) ] ·C 6x + (-12x³ + 9x²1] ANALYTISCHE GEOMETRIE: Punkte im Raum: 7 2 1 • P(11412) Was ist ein Vektor?: Beschreibt Verschiebung im Koordinatensystem Q(-11112) OF -> Dreidimensionales Koordinatensystem auf dem Punkt P (papalpa) liegt Pá Vektoren allgemein: OP: Ortsvektor vom Ursprung PQ: Richtungsvektor (Koordinaten durch - p) -PQ: Gegenvektor zu PQfil andersrum IPQI: Länge des Vektors = Abstand der Punkte oder √(b₁-a²+ (b₂-a₂)² + (b₂-a₂)² Wichtige Begriffe zu Vektoren: - Vektoren sind Vielfache = kollinear Summe oder Differenz von Vektoren = Linearkombination -> Evtl. Koeffizienten nutzen: 123 Rechnen mit Vektoren: 1. Addition: zweifache Verschiebung -> a+b (3) + (3) = (4) 2. Skalarmultiplikation: mehrfache Verschiebung z. B. 2. (2) = (%) -> 2.a Parametergleichung: -g: x = p + r. u oder x = OA + r. OB -> Bsp: A (1|2|3) und B (41 516) RV: AB = b - a= = (3) -(1) - (1) -> 9₁²²= (₁+₁) 9₁₂¹*+=()* ³- (}) Mittelpunkt zweier Punkte: -> OM: OP + + PQ - Winkel zwischen Vektoren: cos(x) = -> cos (or) = cos' Winkel im Dreieck: A(412) cos (). S.C. IBAI-IBCI A%₂ Skalarprodukt: - Term zu den Vektoren (a) und () = Skalarprodukt ->2². b = a₁.b₁ + a₂b₂ + a₂ + bg 8(211) - Wenn das Skalarprodukt = 0 ergibt sind die Vektoren orthogonal bzw. senkrecht (a+b) Sauch bei rechtwinkligem Dreieck 2.6 A(414) GTR auf Deg: Shift, Selup. Angle Vektoren spiegeln: Bsp: Punkt A (-1|5|3) spiegeln an: 1. Ursprung: Gegenvektor A -> A (11-51-3) - 2. x,-Ebene: Gegenvektor außer x, -> A (1 513) Geometrische Figuren: Gleichschenkliges Dreieck: zwei Seiten gleich g 8 C Parallelogramm. Ljeweils zwei Seiten gleich Gleichseitiges Dreieck: Lalle seiten gleich O 0 a Route: Lalle Seiten gleich lang Körpergleichungen: - Quader: V=h·b·l - Pyramide: V=₁.G.H - Prisma: V=G.h C - Zylinder: V= G.n -> Kreis: d= 2r U= 2.7T-C D O= 2.hb+ 2. hl+ 2.bl O= G+M O= 2.G+M O= M+2G A=-² 3. Punktspiegelung: -> OA 2. AB Rechtwinkliges Dreieck: Legit Satz des Pythagoras: a³ + b²sc² 4. x, x₂ -Ebene: nur X, -> A (-1151-3) Geometrische Anwendungsaufgaben: 1. Bsp: Fehlenden Eckpunkt bestimmen: -> A(1|2|3) B(21413) C(11513) Rechtech: zwei greien Lange Seiten -greiche Diagonale+ rechter Winkel -C D a Quadrat: Lalle Seiten gleich lang • gleiche Diagonalen rechter winkel Als Parallelogramm: AD = BC = ¯ - b = ( 3 ) - ( 3³ ) - (¯:3) - OD = OA + BC = (3) · (3) - (8) -> D-Koordinate: D(01413) ç 2. Bsp: Dreieck untersuchen: ->A (1 213) B(31411) C(115|3) ✓ - Gleichschenklig und rechtwinklig: Tai = |BC| = |(¹)|-|( ³ )|-|(3₂3) = √₁²³+(-3)²+0²= √40 151 = 1AČI = |(3)| = √√2² + (-1)² +0² = √5 RỒI = (-12 (4-2)+ (1-3) = Js -> Gleichschenklig, da zwei Seiten gleich lang. -> Rechtwinklig, da Satz des Pythagoras: a² + b² = c² ja Punktprobe Lentweder // oder / Gegenseitige Lage von Geraden: - Lage von g und h zueinander bestimmen: Richtungsventoren kollinear? identisch Gauß-Verfahren: parallel 1. Bsp: I 3x₁ + 6×₂ - 2×3 = -4 II 3x1 + 2х2 - *3 = 0 III 1,5x₁5x₂5x3 = -9 I 3x₁ + 6x₂ - 2×3 4x2-3x3 -4*2 + 8×3 IIa IIIa. Schnittpunkt I 3x1 + 6×2 - 2х3 =-4 I 3х4 + 2х2 + X3 = 0 III 3x₁ + 10×₂ - 10x3 = -18 TI✓ =-4 = -4 = 14 nein Gleichsetzen Lentweder x oder 7 LGS auf Stufenform bringen mit Ein LGS hat eine, keine oder unendlich viele Lösungen La²=b²+c²; √3² + √5' = √ÃO ² №]. Jo III Windschief 1.2 →*₁ auf gemeinsames vielfaches bringen Ebenen im Raum: - Zweidimensionales, flaches Objekt z.B. x₂ -Ebene Parametergleichung der Ebene: - Beliebige Ebenen definiert durch Vektoren: -> E: X=p+r-u+s.v Spannvektoren - OV sorgt für Verschiebung vom Ursprung, RV spannen Ebene auf und richten sie aus. Bsp: Parametergleichung aufstellen -> A (11-111); B (1,5|1|0); C (0|1|1) ₂-Ebene E: X = OÅ + r. AB + S. AC ; JA: (A) AB: •· (²²) Ac. (1²) -> E: x = (-1)+(₂¹)+ -- (3) S nicht parallel - Prüfen ob Punkt D auf Ebene liegt: -> Punktprobe und LGS lösen eine Lage von einer Ebene und einer Geraden: - Lage von Ebene E und Gerade g prüfen: Gleichsetzen: g = E Lösung Schneiden sich Sund dürfen nicht kollinear sein! ↳ E: x*' = keine Lösung parallel Parallele Ebene durch (¹) (3). r. (6) + s. (:) Besondere Ebenen: - Bsp: Parallele Ebene durch *₁*₂ ↳ E: * = (8) + r. (3) + s. (:) 4 wenn Lent auf den Boden fällt, ansenließend auflösen Schattenpunkt: Geradengleichung zwischen Lichtquelle & Punkt aufstellen z. B. got+v-LA= unendlich viele Lösungen g liegt in h gleiche Spannvektoren 14 von 14 I 3x₁ + 6x₂ - 2x3 IIa. 4x2-3x3 mb - 5x3 = -4 -> in II einsetzen für x, und X₂: L= {-1; 0,5; 2} 2. Wenn für x, herauskommt: 0.x₂= 3 -> LGS hat keine Lösung 3. Wenn für x, herauskommt: 0.x₂= 0 -> LGS hat unendlich viele -> Man muss x₁ = t einsetzen in X₂: Lösungen 4x₂ - 3t = - 4 x₂ = 1+ ²+ 3x₁ + 6 (1+2+)-2t = -4 3x₁ 6 + 4, St - 2t -> x₂ und x, in I einsetzen: I = -4 = 10 | (-5) = -2 3 = S = -> LGS hat eine Lösung Unterbestimntes LGS: mehr Variablen als Gleichungen Überbestimmtes LGS: weniger Variablen Gleichungen Bewegungsaufgaben Vektoren: Bsp: - Auto A startet in A(3) 5) und fährt 1min nach B(0) 9) - Auto B startet gleichzeitig bei C(-4) 15) und fährt die gleiche Zeit nach D(-6) 17) 1. A: X=(3+) B: X = (-4:5³) +- (²:³) (t in Amin Schritten) -> RV sind offensichtlich Vielfache (Gegenvektoren) = Punktprobe (3) = (- 4:5) + + - (1₂5) 4, S + 1, St 15 + 2t -> Beide Autos kommen einander auf gleicher Strecke entgegen. 1 t=s I t = S Einheitsvektor: LL: {(²-2,5; 1+ 2t; t)|tER} 1+ 3t :4 = -4 | +6-2, S6 :3 2-2, St 3 identisch I 3-3r = 4, S + 1, St 1-3-1,5t II S +45 = 15 + 2t 1-s-2t 11=2 -> Sie treffen sich nach 2min. 2. Sie treffen in P (-3) 13) aufeinander, wann treffen sie sich? -> Gleichsetzen: (3) + r. (-³²) = (-4,5). £. (12²) t 3. Welches Auto fährt schneller? -> Betrag der RV: TA= 10) = √(-3)² +4² = min 131 = 1(1³)=√(-1,5)² +2² = 2,5km halb so schnell (): 10 = √35 4 (1) STOCHASTIK Grundlagen: Ergebnisraum = Menge aller möglichen Ergebnisse Ereignis A = Ausgang eines Zufallsexperimentes Gegenereignis A = Tritt ein wenn nicht zutrifft -> Zufallsexperiment bei dem alle Ergebnisse gleich Wahrscheinlich sind = Laplace-Experiment -> Wahrscheinlichkeit für Ergebnis A bezeichnet durch P(A) Empirische Kenngrößen: -> Gegebene Ur-Liste = Daten durch messen & zählen z.B: **,*₂.* - Mittelwert: = x - Empirische Standardabweichung: √√₁. [(x₁==1³² + (x₂-³+ (x3 - Ñ )² = 5 -> Durchschnittliche Abweichung aller gemessener Werte zum Mittelwert -> GTR: Menü, Statistik, List 1, CALC, 1-VAR, ablesen Relative und absolute Häufigkeitsverteilung: - Absolute: Wie viel mal ein Ereignis auftritt z.B. 2 mal 2 3 4 7 -> X = 2 10 1 →Absolute Häufigkeits 20 1.7 2.2+3.10+4.1 20 ->S=√√C(1-7)³7+(2-). 2+ (3-X) ²³. 10...] - Relative: Anteil der absoluten Häufigkeit verglichen mit dem Ganzen 2 3 4 ABBB 8 3 8 →→Relative Häufigkeiten -> X = 1+2+3+4 -> S = √(₁-² (2-¹ (3-7) Theoretische Kenngrößen: - Nicht auf Daten bezogen = Realität annähern -> z.B. Würfel mit p= - Erwartungswert: p=1+2+3+..... - Standardabweichung: = √^-μ)² + (2-μ)² = +(3-μ)²4/ LGTRI SIGHISHK, CALC, 1-VAR Baumdiagramm: - Graphische Darstellung von Beziehungen der Ereignisse 1. Produktregel: Zweigwahrscheinlichkeiten multiplizieren für Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. oben nach unten 2. Summenregel: Pfadwahrscheinlichkeiten addieren für Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. ↳ links nach rechts Gauß sche Faustregel: -> „Ca. 68,3 % der Messwerte liegen im Standardabweichungsintervall" -> s-Intervall: [x-s,+s], Mitte ist x Zufallsgröße & Wahrscheinlichkeitsverteilung: - Bsp: rot/ blaues Glücksrad 2mal drehen -> 1mal blau = 1€ Gewinn; 2mal blau = 2€ Gewinn -> Gewinn X = Zufallsgröße Gewinn, Zufallsgró/be O 1 2 9 P(x=g) L Wahrscheinlichkeiten Glücksspiel & faires Spiel: - Bsp: Glücksrad drehen mit 5€ Einsatz -> rot= 10€ Gewinn, = Wahrscheinlichkeitsverteilung Ljedem wert wird wahr- scheinlichkeit zugeordnet P(x= x;) - Erwarteter Gewinn gesucht -> Zufallsgröße X sei Gewinn in € - 4 € ²/3 +5€ 4 blau= 1€ Gewinn, 2/1 2€ Spiel ist fair wenn E(x) = μ = 0 b A A r 1€ 1€ OE ->p = 5.4+ (-4) 2/2 = 0,5€ erwarteter Gewinn Binomialverteilung: - Binomialverteilung: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Bernoulli-Experimentes - Bernoulli-Experiment: 2 Möglichkeiten, n-fach wiederholt stochastisch unabhängig voneinander ↳ wahrscheinien keiten bleiben gleich -> Bernoulli-Kette: Pascal sches Dreieck: ^^ n-r - Bernoulli-Formel: () P (1-p) = Wahrscheinlichkeit für r Treffer -> Binomialkoeffizient: () = Anzahl der Wege ni versuche r: Trepper 1231-(2) (0)13 3: Praxis der Binomialverteilung: - Trefferzahl zu r: P(x=r) oder B(n,p,r) 9² Treffer = = Niete Histogramm: - Veranschaulicht Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1. Mit der Formel: Genau 3mal rot -> (3)· (4) ³ (²) ¹ Für P(x 3) = 1- (x=4) • Regel vom Gegenteil n: Anzahl Würfe r. Anzahl gewollte Treffer (0-2)! GTR: Run-Matrix, OPTN, F6, PROB eingeben.., nCR, eingeben.. = (²) = 3·2.1 = 3 wege $0! = 1 2 -Kumulierte Wahrscheinlichkeit: P(x ≤ r) oder F(n,p,r) -> Summe aus verschiedenen Wahrscheinlichkeiten: P(x=0) + P(X= 1) ... 2 2. GTR: Run-Matrix, OPTN, STAT, DIST, Binomial, Bpd/Bcd -> Genau 3mal rot: P(x=3), BpD (3, 4, 4) ->Höchstens 3mal rot: P(x3), BCD (0,3,4,4) -> Weniger als 3mal rot: P(x2), BCD (0,2,4, #) ->Mindestens 1 höchstens 2mal rot: P(1≤x≤2), BCD (1,2,4, 2) 4 immer zwischen zwer Saulen) 15 von 15 1. Wie muss ich die Auszahlung ändern damit es fair wird? -> Maximale Auszahlung ändern: rot = x - 4 € X-1 P(x = x;) -> Neuen Erwartungswert bestimmen und =0 setzen: N= -4.³ + (x-1) = 0 - 3+x-4 | +34 Maximale Auszahlung müsste auf x=13 geändert werden. 1× 2. Wie groß muss Einsatz sein damit es fair ist? -> Man müsste ihn auf 5,50€ erhöhen, da μ = 0,5€ ↳ Neven Einsatz a bestimmen mit Tabelle: po setzen Sigmaregel: - und schneller berechnen falls n&p angegeben. ->p = n.p ; o = √n. p. (1-p) und runden! 1. Sigma-Intervall: P (N-0≤x≤ N+o) ~ 68,3% 2. Sigma-Intervall: P(-20≤x≤p+20) ≈ 95,4% 3. Sigma Intervall: P(-30≤ x² +30) ≈ 99,7% -> Standardabweichung in Sigma einsetzen = Aussagen überprüfen So viel Prozent der Werte liegen im Bereich intervall kleiner machen = nach innen Runden Problemlösen mit Binomialverteilung: 1. n gesucht: - Bsp: Wie groß darf Gruppe sein damit mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit mind. fünf blind sind? -> P(x²S)2 0,8 = BCD (S, *, *, 0.04) 4w 3% das nur avesen! -> GTR: Menü, Tabelle, OPTN, STAT, DIST, Binomial, Bpd/Bcd -> Start: 1, End: 300, Step: 1 166 167 0,79 0,8 →Tabelle ablesen+ rechts Schauen 2. p gesucht: - Bsp: Anteil aus 100 Menschen mit mind. 20% Leseschwäche, mind. einer eine besitzt? -> P(x21)2 0,2 = BCD (1, 100, 100, x) -> GTR: Menü, Tabelle, OPTN, STAT, DIST, Binomial, Bpd/Bcd -> Start: 0, End:1, Step: 0.001