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Mathe Abenteuer für die 11. und 12. Klasse: Differentialrechnung und Nullstellen

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Mathe Abenteuer für die 11. und 12. Klasse: Differentialrechnung und Nullstellen

Abi_22

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I'll help break this down into structured summaries. Let me analyze the content and provide the summaries according to your guidelines.

Overall Summary

A comprehensive mathematics examination focusing on Differentialrechnung (differential calculus) for grade 11 advanced course students.

The exam is divided into two parts: a 45-minute section without aids and a 90-minute section with calculator and reference materials
Covers key topics including Extremstellen berechnen, Nullstellen berechnen, and curve sketching
Features both theoretical and practical applications including physics-based word problems
Assessment includes 139 total possible points with strict guidelines on presentation and mathematical notation

26.2.2021

3543

1
Fach: Mathematik
Thema: Differentialrechnung
Klausur
Datum: 04.12.2020
Klasse: 11- LK; Schuljahr: 2020/21
Bearbeitungszeit: 1. Teil: 45 Mi

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Seite 6: Aufgaben 3 und 4 mit Hilfsmitteln

Diese Seite präsentiert die Aufgaben 3 und 4 des Teils der Klausur, bei dem Hilfsmittel wie Tafelwerk und Taschenrechner zugelassen sind.

Aufgabe 3 befasst sich mit einer praktischen Anwendung der Differentialrechnung:

Ein Turmspringer wird durch die Funktion h(t) = 10 - 5t² modelliert.
Die Schüler sollen den Graphen zeichnen, interpretieren und Geschwindigkeiten berechnen.

Example: h(t) = 10 - 5t² beschreibt die Höhe eines Turmspringers in Abhängigkeit von der Zeit, wobei Luftwiderstand vernachlässigt wird.

Aufgabe 4 konzentriert sich auf die Analyse zweier Funktionen: f(x) = x⁴ - 2x² + 2 und g(x) = x + 5/x

Die Schüler sollen Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von f(x) berechnen.
Das Verhalten im Unendlichen soll untersucht werden.
Beide Funktionen sollen im Intervall [-3; 3] gezeichnet werden.

Diese Aufgaben repräsentieren typische Anwendungsaufgaben Differentialrechnung PDF und Mathe Klasse 11 Übungen mit Lösungen PDF, die sowohl theoretisches Wissen als auch praktische Anwendungen der Differentialrechnung erfordern.

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Seite 1: Einführung und Bewertungskriterien

Diese Seite enthält die grundlegenden Informationen zur Mathematikklausur über Differentialrechnung für einen Leistungskurs der 11. Klasse. Die Klausur ist in zwei Teile gegliedert: einen 45-minütigen hilfsmittelfreien Teil und einen 90-minütigen Teil mit zugelassenen Hilfsmitteln wie Taschenrechner und Tafelwerk.

Highlight: Die Klausur besteht aus einem hilfsmittelfreien Teil (45 Minuten) und einem Teil mit zugelassenen Hilfsmitteln (90 Minuten).

Die Bewertungskriterien werden detailliert aufgeführt, einschließlich der Notwendigkeit klarer Lösungswege, angemessener Dokumentation und sauberer Darstellung. Es wird betont, dass Verstöße gegen die Muttersprache oder fachliche Terminologie zu vermeiden sind.

Vocabulary: Hilfsmittelfrei - ohne Verwendung von Hilfsmitteln wie Taschenrechner oder Formelsammlungen

Die Gesamtpunktzahl beträgt 139 Punkte, wobei der Schüler 122 Punkte erreicht hat, was einer Note von 13 Notenpunkten entspricht.

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Seite 5: Lösungen zu Aufgabe 2

Diese Seite präsentiert die Lösungen für Aufgabe 2 des hilfsmittelfreien Teils, die sich mit der Analyse des Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x) befasst.

a) Extrempunkte im Intervall [-5; 3]:

Extrempunkte werden bei x = -4 und x = 2 identifiziert.
Bei x = -4 liegt ein Maximum vor, da der Anstieg von positiv zu negativ wechselt.
Bei x = 2 befindet sich ein Minimum, da der Anstieg von negativ zu positiv wechselt.

Highlight: Die Stelle x = -1 ist kein Extrempunkt, da hier kein Vorzeichenwechsel des Anstiegs stattfindet.

b) Funktionsverlauf bei x = -1:

An dieser Stelle hat die Funktion einen Sattelpunkt, da der Anstieg zwar null wird, aber kein Vorzeichenwechsel erfolgt.

c) Monotonieverhalten und Wendepunkte:

Das Monotonieverhalten wird anhand des Vorzeichens der Ableitung bestimmt.
Wendepunkte werden an den Stellen identifiziert, wo die Ableitung ihre Extrema hat.

Diese Aufgabe demonstriert die praktische Anwendung der Ableitungen Aufgaben 11 Klasse PDF und fördert das Verständnis für die Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.

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Seite 2: Hilfsmittelfreier Teil - Aufgaben 1 und 2

Diese Seite präsentiert die ersten beiden Aufgaben des hilfsmittelfreien Teils der Differentialrechnung Übungen mit Lösungen PDF.

Aufgabe 1 befasst sich mit einer gegebenen Funktion f(x) = x³ - 9x² + 24x - 16. Die Schüler sollen: a) Nullstellen berechnen b) Hoch-, Tief- und Wendepunkte ermitteln c) Den Funktionsgraphen zeichnen

Example: f(x) = x³ - 9x² + 24x - 16 ist ein Beispiel für eine kubische Funktion, deren Eigenschaften analysiert werden sollen.

Aufgabe 2 konzentriert sich auf die Analyse des Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x). Die Schüler müssen: a) Extrempunkte im Intervall [-5; 3] identifizieren und begründen b) Den Funktionsverlauf an der Stelle x = -1 erläutern c) Das Monotonieverhalten und die Lage der Wendepunkte begründen sowie einen möglichen Kurvenverlauf von f skizzieren

Definition: Extrempunkte sind Stellen, an denen eine Funktion lokale Maxima oder Minima aufweist.

Diese Differentialrechnung Aufgaben Klasse 11 fördern das tiefgreifende Verständnis von Funktionsanalyse und Grapheninterpretation.

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Seite 3: Lösungen zum hilfsmittelfreien Teil - Aufgabe 1

Diese Seite zeigt die detaillierten Lösungsschritte für Aufgabe 1 des hilfsmittelfreien Teils der Mathe Klausur Klasse 11 Gymnasium PDF.

Für die Funktion f(x) = x³ - 9x² + 24x - 16 werden folgende Berechnungen durchgeführt:

a) Nullstellenberechnung:

Eine Nullstelle bei x₁ = 1 ist gegeben
Weitere Nullstellen werden durch Polynomdivision und quadratische Gleichung ermittelt

b) Extrempunkte:

Die erste Ableitung f'(x) = 3x² - 18x + 24 wird gebildet
Nullstellen der ersten Ableitung werden berechnet: x₁ = 2 und x₂ = 4
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 18 wird die Art der Extrempunkte bestimmt

Vocabulary: Polynomdivision - ein Verfahren zur Division von Polynomen, das hier zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung verwendet wird

c) Wendepunkte:

Die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 18 wird null gesetzt
Der Wendepunkt wird bei x = 3 gefunden

Diese detaillierten Lösungsschritte demonstrieren die Anwendung der Differentialrechnung Übungen mit Lösungen in der Praxis.

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Seite 7-12: Lösungen zu Aufgaben 3 und 4

Die Seiten 7 bis 12 enthalten die detaillierten Lösungen zu den Aufgaben 3 und 4 des Teils mit zugelassenen Hilfsmitteln. Diese Lösungen demonstrieren die praktische Anwendung der Differentialrechnung Übungen mit Lösungen und Ableitungen Übungen mit Lösungen Abitur.

Für Aufgabe 3 (Turmspringer):

Der Graph von h(t) wird gezeichnet und interpretiert, wobei die Bedeutung der Schnittpunkte mit den Achsen erläutert wird.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit in der ersten halben Sekunde wird berechnet.
Die Momentangeschwindigkeit beim Auftreffen auf die Wasseroberfläche wird ermittelt.

Vocabulary: Momentangeschwindigkeit - die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, berechnet durch die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion

Für Aufgabe 4 (Funktionsanalyse):

Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von f(x) = x⁴ - 2x² + 2 werden rechnerisch bestimmt.
Das Verhalten im Unendlichen wird untersucht.
Die Graphen von f(x) und g(x) = x + 5/x werden im Intervall [-3; 3] gezeichnet.

Diese ausführlichen Lösungen bieten ein umfassendes Beispiel für Differentialrechnung Aufgaben mit Lösungen PDF und zeigen, wie theoretisches Wissen in der Praxis angewendet wird.

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Seite 4: Fortsetzung der Lösungen zu Aufgabe 1

Diese Seite setzt die Lösungen für Aufgabe 1 des hilfsmittelfreien Teils fort, mit Fokus auf die Berechnung und Analyse der Wendepunkte der Funktion f(x) = x³ - 9x² + 24x - 16.

Die Berechnung des Wendepunktes wird detailliert dargestellt:

Die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 18 wird gleich Null gesetzt.
Daraus ergibt sich x = 3 als x-Koordinate des Wendepunktes.
Der y-Wert des Wendepunktes wird durch Einsetzen in die Originalfunktion berechnet: f(3) = 2.

Definition: Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

Zusätzlich wird die Eigenschaft des Wendepunktes als Rechts-Links-Wendepunkt festgestellt, was bedeutet, dass die Funktion von einer rechtsgekrümmten in eine linksgekrümmte Form übergeht.

Diese detaillierte Analyse der Wendepunkte ist ein wesentlicher Bestandteil der Differentialrechnung Textaufgaben mit Lösungen und hilft den Schülern, ein tieferes Verständnis für das Verhalten von Funktionen zu entwickeln.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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Seite 6: Aufgaben 3 und 4 mit Hilfsmitteln

Diese Seite präsentiert die Aufgaben 3 und 4 des Teils der Klausur, bei dem Hilfsmittel wie Tafelwerk und Taschenrechner zugelassen sind.

Aufgabe 3 befasst sich mit einer praktischen Anwendung der Differentialrechnung:

Ein Turmspringer wird durch die Funktion h(t) = 10 - 5t² modelliert.
Die Schüler sollen den Graphen zeichnen, interpretieren und Geschwindigkeiten berechnen.

Example: h(t) = 10 - 5t² beschreibt die Höhe eines Turmspringers in Abhängigkeit von der Zeit, wobei Luftwiderstand vernachlässigt wird.

Aufgabe 4 konzentriert sich auf die Analyse zweier Funktionen: f(x) = x⁴ - 2x² + 2 und g(x) = x + 5/x

Die Schüler sollen Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von f(x) berechnen.
Das Verhalten im Unendlichen soll untersucht werden.
Beide Funktionen sollen im Intervall [-3; 3] gezeichnet werden.

Seite 1: Einführung und Bewertungskriterien

Highlight: Die Klausur besteht aus einem hilfsmittelfreien Teil (45 Minuten) und einem Teil mit zugelassenen Hilfsmitteln (90 Minuten).

Vocabulary: Hilfsmittelfrei - ohne Verwendung von Hilfsmitteln wie Taschenrechner oder Formelsammlungen

Die Gesamtpunktzahl beträgt 139 Punkte, wobei der Schüler 122 Punkte erreicht hat, was einer Note von 13 Notenpunkten entspricht.

Seite 5: Lösungen zu Aufgabe 2

Diese Seite präsentiert die Lösungen für Aufgabe 2 des hilfsmittelfreien Teils, die sich mit der Analyse des Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x) befasst.

a) Extrempunkte im Intervall [-5; 3]:

Extrempunkte werden bei x = -4 und x = 2 identifiziert.
Bei x = -4 liegt ein Maximum vor, da der Anstieg von positiv zu negativ wechselt.
Bei x = 2 befindet sich ein Minimum, da der Anstieg von negativ zu positiv wechselt.

Highlight: Die Stelle x = -1 ist kein Extrempunkt, da hier kein Vorzeichenwechsel des Anstiegs stattfindet.

b) Funktionsverlauf bei x = -1:

An dieser Stelle hat die Funktion einen Sattelpunkt, da der Anstieg zwar null wird, aber kein Vorzeichenwechsel erfolgt.

c) Monotonieverhalten und Wendepunkte:

Das Monotonieverhalten wird anhand des Vorzeichens der Ableitung bestimmt.
Wendepunkte werden an den Stellen identifiziert, wo die Ableitung ihre Extrema hat.

Diese Aufgabe demonstriert die praktische Anwendung der Ableitungen Aufgaben 11 Klasse PDF und fördert das Verständnis für die Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.

Seite 2: Hilfsmittelfreier Teil - Aufgaben 1 und 2

Diese Seite präsentiert die ersten beiden Aufgaben des hilfsmittelfreien Teils der Differentialrechnung Übungen mit Lösungen PDF.

Example: f(x) = x³ - 9x² + 24x - 16 ist ein Beispiel für eine kubische Funktion, deren Eigenschaften analysiert werden sollen.

Definition: Extrempunkte sind Stellen, an denen eine Funktion lokale Maxima oder Minima aufweist.

Diese Differentialrechnung Aufgaben Klasse 11 fördern das tiefgreifende Verständnis von Funktionsanalyse und Grapheninterpretation.

Seite 3: Lösungen zum hilfsmittelfreien Teil - Aufgabe 1

Diese Seite zeigt die detaillierten Lösungsschritte für Aufgabe 1 des hilfsmittelfreien Teils der Mathe Klausur Klasse 11 Gymnasium PDF.

Für die Funktion f(x) = x³ - 9x² + 24x - 16 werden folgende Berechnungen durchgeführt:

a) Nullstellenberechnung:

Eine Nullstelle bei x₁ = 1 ist gegeben
Weitere Nullstellen werden durch Polynomdivision und quadratische Gleichung ermittelt

b) Extrempunkte:

Die erste Ableitung f'(x) = 3x² - 18x + 24 wird gebildet
Nullstellen der ersten Ableitung werden berechnet: x₁ = 2 und x₂ = 4
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 18 wird die Art der Extrempunkte bestimmt

Vocabulary: Polynomdivision - ein Verfahren zur Division von Polynomen, das hier zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung verwendet wird

c) Wendepunkte:

Die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 18 wird null gesetzt
Der Wendepunkt wird bei x = 3 gefunden

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Für Aufgabe 3 (Turmspringer):

Der Graph von h(t) wird gezeichnet und interpretiert, wobei die Bedeutung der Schnittpunkte mit den Achsen erläutert wird.
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Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte von f(x) = x⁴ - 2x² + 2 werden rechnerisch bestimmt.
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Seite 4: Fortsetzung der Lösungen zu Aufgabe 1

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Die Berechnung des Wendepunktes wird detailliert dargestellt:

Die zweite Ableitung f"(x) = 6x - 18 wird gleich Null gesetzt.
Daraus ergibt sich x = 3 als x-Koordinate des Wendepunktes.
Der y-Wert des Wendepunktes wird durch Einsetzen in die Originalfunktion berechnet: f(3) = 2.

Definition: Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

Zusätzlich wird die Eigenschaft des Wendepunktes als Rechts-Links-Wendepunkt festgestellt, was bedeutet, dass die Funktion von einer rechtsgekrümmten in eine linksgekrümmte Form übergeht.

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