Differentialrechnung

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Extrempunkte hat und geben Sie auch die Art der Extrempunkte an. b.) Erläutern Sie, was man über den Verlauf des Graphen von f(x) an der Stelle x = -1 aussagen kann. Begründen Sie Ihre Antwort. ✓ c.) Begründen Sie anhand des Graphen f das Monotonieverhalten für f, die Lage der Wendepunkte und skizzieren einen möglichen Kurvenverlauf von f in die vorgegebene Grafik 2 11 Mathe Klausur Differential rechnung 1. Teil - Hilfsmittel fre a) 0 = x² - 8x + 16 b) (x³ - 9x² + 24 x 1 x²) 8x² + 2xx = منام 4 H x₁ Extrem punkte f(2) +1 = =8 9x² + 24 x 16 ×-16 -(16 x - 16) O L = + er 10-16 ✓ f'(x) = 3x² - 18x + 24 0 = 3x² - 18 x + 24 3 16) : (x - 1) f" (x)= 6 x 18 ✔ 9 → 43 = 64 - 144 9-2⁰ + ·£ + √(8)² ✓ -16 - 16 :3 0 p-q- Formal 4 g 8 H t X₁ = 2 3 = 1 N ✓ f" (4) = 6·4-18 = 6 > lokales Minimum $² (2) = 6-2 - 18 = -6 <0 = lokales Maximum ✓ Prin (4/10) Prax (21) x² - 9.4² +24.4 -16 ✓ 96 -16 = 0 +24-2-16 ✓ + 48 16 = 4 8x +16 s 4. Dez 20 $15 23123 Wendepunkte f (x) = 6x -18 f"(x) = 0 0 = 6 x - 18 # 3 f(3) 1+18 1:6 f" (x₂) = 6 f" (xw) * Ov f" (3) - 9.3² +24.3-16 = 27 - 81 72 - / = 2 3 (312) = 6 I Rechts-Links Wendepunkt V 2 11 a) Der Graph von I is to hat Intervall [-s 3] - und Extrempunkte an den Stellen x = 2 VDas erkennt man = -4 V daran dass an Funktion voull diesen Stellen die Ableitung der da den x=-1 die Ableitung zugt den Anstieg der Funktion der Anstieg in Extrempunktun mall ist. gehan all ist jedoch kein Extrempunkt, da der "Anstieg kein Vorzeichenwechsel hat. B handelt Maximum da dr Anstieg x=-4 M sich un ein pus ins ng wechselt und bi x=2 um ein b) Minimum. X An der Stelle M einen Sattelpunkt, da der Anstig zwar mill wird, jedoch auch jedoch nicht um einen Extrem Nortucher wechselt. -punkt da der Anstieg nicht das c) Man erkennt die Extrem punkte und den Anstieg der Punkte genauer ? sowie die Wendepunkte un 4. Dez 20 515 414 der Ableitungsfunktion, 014 3 Fach: Mathematik Thema: Klasse: 11- LK; Schuljahr: 2020/21 Differentialrechnung Name: Zugelassene Hilfsmittel: Tafelwerk und Taschenrechner Aufgabe 3 ✓ Ein Turmspringer springt waagerecht ab. Vernachlässigt man den Luftwiderstand, so kann das Weg-Zeit-Gesetz der Höhe durch die Formel h(t) = 10 - 5t² näherungsweise beschrieben werden. Dabei ist die Zeit t seit dem Absprung in Sekunden und die Höhe h über dem Wasserspiegel in Metern angegeben. a.) Zeichnen Sie den Graphen von h für 0 ≤ t ≤ 1,6 und interpretieren Sie ihn. Gehen Sie dabei auf die Bedeutung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und des Intervalls ein. (Verbindlich: Abszissenachse: 1 LE = 1 cm; Ordinatenachse: 2 LE = 1 cm) V b.) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Turmspringers in der ersten halben Sekunde? c.) Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit des Turmspringers, wenn er auf der Wasseroberfläche aufkommt. ✓ Aufgabe 4 5 Gegeben sind die Funktionen f(x)=x4 - 2x² + 2 und g(x) = x + für x € R. a.) Ermitteln Sie rechnerisch folgende Eigenschaften der Funktion f(x) a. Nullstellen ✓ b. Extrempunkte ✓ c. Wendepunkte ✓ ✓ b.) Untersuchen Sie das Verhalten im Unendlichen von f(x). c.) Zeichnen Sie die Funktionen f(x) und g(x) in ein Koordinatensystem im Intervall [-3;3] ein. (Verbindlich: Abszissenachse: 1 LE 1 cm; Ordinatenachse: 1 LE = 1 cm) ✓ d.) Ermitteln Sie mithilfe des Newton-Verfahrens die Schnittpunkte der beiden Funktionen auf zwei Kommastellen genau. ✓ e.) Für welche Stellen verlaufen die Tangenten des Graphen von f parallel zum Graphen der Funktion g? ✓ f.) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt P(3/f(3)). Ermitteln Sie rechnerisch eine Gerade, welche zu dieser Tangente orthogonal ist und ebenfalls durch den Punkt P verläuft. ✓ g.) Bestimmen Sie g'(x) mithilfe des Differentialquotienten. Aufgabe 5 Gegegeben ist die Funktion f(x) = 2x²(x³ +2) für x, a € R. a.) Geben Sie die Anzahl der Nullstellen und Extrempunkte an und begründen Sie. b.) Ermitteln Sie rechnerisch den Wert a, so dass die Funktion f(x) einen Extrempunkt bei x=-1 besitzt. -32. Teil 11 3 Į mit Hilfsmitteln t Zuit in h.. Höke in a) Der Graph nimmt exponentiell ab. Man sieht But verstreicht desto duto kleiner wird suhe Hohe Man sieht sicht auch da mehr Zeit verstreicht. je Hol ab. Der Schnittpunkt mit de y - Achose bi li = no rigt, dass dir Turmsp Höhe von to springer in startet und sobald w abspringt die Zeit bagiant bi une angefanye wird an messen. m= # 40-5t² o A५ 1,470 Bein Schnittpunkt mit de Achse also wenn dic Höln über den theresspiegel will wind, bedutit das, dass der Fallschirm Springer im Mew an kommen ist. Das Intervall est ab une gewählt wil die Funktion da die Zeit nicht ja noch nicht im Fall Xo sin heme sun kann und es don't ist und das Ende müsste eigentlich schon OS] - 2,5€ = Die Durchschnitts M helby ∙A4 A4 * ✓da bin Funktion -10 + V (' (√2) = -10.57. m ~ -14, 14 je näher kommt er dem Meeresspiegel, also über dem Wasserspiegel. grüßer die Zeit, wind, als. schneller nimmt die V desto X ✓ Iml 1,7 5 ittsgeschwindigkeit des Turnspringers in Sikunde واعم m gelte aufkommen in Wind ✓ +2 über Wasserspiegel dass mehr P₁ (0.518,75) he (0,5) = 10 -5. (0,5)² 0 = 10 -5 +² V F - 4 2 Die Geschwindigkeit des Thumspringers trim winn Wasswoker fliche auf kommt light bui 14+ 14 m +3 Wasser عه 2 JI J autfellt d 1. Pez 20. 717 -10 |--^:(-5) 616 419 313 19119 Mix (4 a) f(x) = = x+ NST: O- Extrempunkte ×₁20 Beats X ×, ≈ 2, 64 O 0 = x³-4x = f" (x) = .8 f"(-2) = 28 f(0) = 2 f(2)= -2 ((-2)= -2 Достоверинков *² = z z² = f"(x)= 3x² - 4 f(1,155) fl-1₁155) = = Y 3 Y *₁ 1 155 을 70 70 0 - 3 x² - 4 3x² 2₂ = 6 + + 2√21 26,828 6,828 3x² - 4 OV x ₂ 2 x² +2V1 2 z + + V ×1=0 ×₂=-2₁61 -0223 223 +2 10 √31² - 9 Mar +2 Fr : 2 ( v is lokaler Maximum. lokaln Minimum lokalss (-2 1:3 x₂ % -14SS -8 1 p-q Found Y ≈ 1.172 ✓ x = √ 147 2 1,082 Minimu 2 1-2) t -1,082 f" (1,155) = 6,93 f" (-1,155) = -6 Pw, (1,155 1-0,223 Pw₂ (-1,155 1-0,223) 70 Rechts dink 93 to thinks Rechts 4 (4.6 e e) X lim X16 3 x 44 # = नं. 47 ( 4 x² - 2x² + 2) (4 # 1-3√ 3 (^^), J -2₁7167 2,6132 Y *2₁7167 x 2,623 2,613 x₁2,61 FF + (f(-)) - 11 b = 3 - 4 - 3² - 2 - 3² +2 3³-43 {i $ V M 0 = 3 V 2 6 $ x² 8 (-2,61) 2002 S 2,03 Rim ( 2 (-x)² -2-(-x)² + 2) ¡ 118 n f'(x) = x² - 4x 15²5=151 m 9 (2,67) = 3,1525 7 Ps (2,61 1 3,15) +²² 1,85 - FF 3 m₂ 1,850 *6.66 4. Dez 20 212 18112 313 1/2-1/23 2/3 516 3/4 a 6 (2) + (x) lim 640 ((x) = y = 15 x - 40,75 g'(x) = lim 136 f(3) = 3³-4-3 = 15V m = 15 = 15 x 4,2 25 = 15.3 th -40, 75 0 (x)=y=+=+= y = - + ² x 4,25 ht f₂ ^ SV. * 1 -> کے m₁ = m S th 1-45 + 5. = (-10 ~6₁) += -( ² · (-10) ► liv 9 (oth) - g (x.) ✓ ho ELE SV g(x)= = x + ² 2 (0) FF f(3) = 4 25 2 lim of y STAT n to Xx bla h H # x = -102 . - 10 1 1-4 .Y Das ist nur das der Aninig an der Wielle *=10 ¾ 11 S e C Die Funktion Faktor Fakhr Es können wite a 2 will in hat 3 NST. Da kath wurch kann und zwrite Zwis Fallenf will wind ken. hot sun heat des J definitet ist 2 dan T. Det 20. 04 014 3/m W 4 #E Jss *N* 44 195 16.00 S 12 D A YIY