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Jessline
11.12.2025
Mathe
Differenzialrechnung
5.177
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11. Dez. 2025
•
Jessline
@jessline_91
Die Steigung eines Funktionsgraphen an einem Punktist ein fundamentales... Mehr anzeigen
Die Steigung eines Funktionsgraphen an einem Punkt ist ein fundamentales Konzept der Differenzialrechnung. Sie beschreibt, wie stark eine Funktion an einer bestimmten Stelle ansteigt oder abfällt.
Definition: Die Steigung eines Funktionsgraphen im Punkt P(x, f(x)) entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Diese wird als Ableitung f'(x₀) bezeichnet.
Das Grafische Differenzieren von Funktionen ermöglicht es uns, die Ableitungsfunktion eines Graphen zu visualisieren. Dabei wird ein zweites Koordinatensystem unter dem ursprünglichen Graphen angelegt, in dem die Steigungen als neue Funktion dargestellt werden.
Beispiel: Bei einer Quadratfunktion f(x) = x² beträgt die Steigung an der Stelle x = 2 genau f'(2) = 4. Dies lässt sich sowohl grafisch als auch rechnerisch nachweisen.
Für die Differenzialrechnung Methoden Matheklausur sind besonders wichtige Konzepte:
Die durchschnittliche Änderungsrate beschreibt die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion:
Formel: Durchschnittliche Änderungsrate = /
Diese wird geometrisch durch die Sekantensteigung dargestellt. Ein praktisches Beispiel ist die Berechnung der durchschnittlichen Steiggeschwindigkeit eines Segelflugzeugs:
Beispiel: Bei einer Höhenänderung von 250m in 20 Minuten beträgt die durchschnittliche Änderungsrate 12,5 m/min.
Die lokale Änderungsrate hingegen beschreibt die momentane Steigung an einem bestimmten Punkt. Sie ergibt sich als Grenzwert der durchschnittlichen Änderungsrate.
Die h-Methode ist ein fundamentales Werkzeug zur Bestimmung der Steigung eines Funktionsgraphen an einem Punkt. Diese Methode ermöglicht es uns, die Ableitung einer Funktion präzise zu berechnen, indem wir einen Grenzwertprozess durchführen.
Definition: Die h-Methode beschreibt den Differenzenquotienten als Grenzwert: f'(x₀) = lim(h→0) /h
Bei der Anwendung der h-Methode auf die Funktion f(x) = x² an der Stelle x₀ = 3 gehen wir systematisch vor. Zunächst bilden wir den Differenzenquotienten und setzen die konkreten Funktionswerte ein. Dies führt uns zu: /h = /h. Nach dem Ausmultiplizieren und Vereinfachen erhalten wir den Grenzwert lim(h→0) /h = 6.
Die h-Methode lässt sich auch auf beliebige Stellen x₀ anwenden. Für die allgemeine Quadratfunktion f(x) = x² erhalten wir durch systematisches Vorgehen die Ableitung f'(x₀) = 2x₀. Diese Formel ermöglicht es uns, die Steigung an jedem beliebigen Punkt der Parabel direkt zu berechnen.
Hinweis: Bei der Durchführung der h-Methode ist besondere Vorsicht geboten, da wir nicht durch Null teilen dürfen. Deshalb ist die korrekte Behandlung des Grenzwertprozesses entscheidend.
Die erste Seite führt in die fundamentalen Konzepte der Differentialrechnung ein. Sie behandelt die Definition der Steigung eines Funktionsgraphen und das grafische Differenzieren.
Definition: Die Steigung des Graphen einer Funktion f im Punkt P ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x, f(x)).
Example: An der Stelle x=2 beträgt die Ableitung f'(2) = 0,25, was durch die Steigung der Tangente im Punkt P(2|f(2)) bestimmt wird.
Vocabulary: Differenzieren und Ableiten sind synonyme Begriffe in der Mathematik.
Highlight: Die Ableitungsfunktion ordnet jeder Stelle x die entsprechende Ableitung f'(x) zu.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Lena M
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jessline
@jessline_91
Die Steigung eines Funktionsgraphen an einem Punkt ist ein fundamentales Konzept der Analysis, das uns hilft zu verstehen, wie sich Funktionen an bestimmten Stellen verhalten. Diese Steigung lässt sich durch verschiedene Methoden bestimmen, wobei das Grafische Differenzieren von Funktioneneine... Mehr anzeigen
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Die Steigung eines Funktionsgraphen an einem Punkt ist ein fundamentales Konzept der Differenzialrechnung. Sie beschreibt, wie stark eine Funktion an einer bestimmten Stelle ansteigt oder abfällt.
Definition: Die Steigung eines Funktionsgraphen im Punkt P(x, f(x)) entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Diese wird als Ableitung f'(x₀) bezeichnet.
Das Grafische Differenzieren von Funktionen ermöglicht es uns, die Ableitungsfunktion eines Graphen zu visualisieren. Dabei wird ein zweites Koordinatensystem unter dem ursprünglichen Graphen angelegt, in dem die Steigungen als neue Funktion dargestellt werden.
Beispiel: Bei einer Quadratfunktion f(x) = x² beträgt die Steigung an der Stelle x = 2 genau f'(2) = 4. Dies lässt sich sowohl grafisch als auch rechnerisch nachweisen.
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Die durchschnittliche Änderungsrate beschreibt die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten einer Funktion:
Formel: Durchschnittliche Änderungsrate = /
Diese wird geometrisch durch die Sekantensteigung dargestellt. Ein praktisches Beispiel ist die Berechnung der durchschnittlichen Steiggeschwindigkeit eines Segelflugzeugs:
Beispiel: Bei einer Höhenänderung von 250m in 20 Minuten beträgt die durchschnittliche Änderungsrate 12,5 m/min.
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Die h-Methode ist ein fundamentales Werkzeug zur Bestimmung der Steigung eines Funktionsgraphen an einem Punkt. Diese Methode ermöglicht es uns, die Ableitung einer Funktion präzise zu berechnen, indem wir einen Grenzwertprozess durchführen.
Definition: Die h-Methode beschreibt den Differenzenquotienten als Grenzwert: f'(x₀) = lim(h→0) /h
Bei der Anwendung der h-Methode auf die Funktion f(x) = x² an der Stelle x₀ = 3 gehen wir systematisch vor. Zunächst bilden wir den Differenzenquotienten und setzen die konkreten Funktionswerte ein. Dies führt uns zu: /h = /h. Nach dem Ausmultiplizieren und Vereinfachen erhalten wir den Grenzwert lim(h→0) /h = 6.
Die h-Methode lässt sich auch auf beliebige Stellen x₀ anwenden. Für die allgemeine Quadratfunktion f(x) = x² erhalten wir durch systematisches Vorgehen die Ableitung f'(x₀) = 2x₀. Diese Formel ermöglicht es uns, die Steigung an jedem beliebigen Punkt der Parabel direkt zu berechnen.
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Definition: Die Steigung des Graphen einer Funktion f im Punkt P ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x, f(x)).
Example: An der Stelle x=2 beträgt die Ableitung f'(2) = 0,25, was durch die Steigung der Tangente im Punkt P(2|f(2)) bestimmt wird.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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