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Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastik

9.11.2022

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ZUFALLSGRÖBE
stochastik
Definition
Sei z ein zufallsexperiment mit Ergebnismenge . Eine Funktion X: → ⓇR nennen wir zufallsgröße. Sei x eine
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Sei z ein zufallsexperiment mit Ergebnismenge . Eine Funktion X: → ⓇR nennen wir zufallsgröße. Sei x eine
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Sei z ein zufallsexperiment mit Ergebnismenge . Eine Funktion X: → ⓇR nennen wir zufallsgröße. Sei x eine

ZUFALLSGRÖBE stochastik Definition Sei z ein zufallsexperiment mit Ergebnismenge . Eine Funktion X: → ⓇR nennen wir zufallsgröße. Sei x eine zufallsgröße. Der Ausdruck X=n mit n E R bezeichnet das Ereignis: {w€·x (w)=n} Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines zufallsexperiments elne zahi zuordnet. Tabellarisch X₂ PCX=X) P₁ P₂ Definlere analog: X<n, x≤n₁x>n, Xzn und X + n. oder als stabdiagramm / Histogramm (siehe unten) Beispiel: Es werden zwei 6 seitige Würfel geworfen. 2= {1,2,3,4,5,6} x {1,2,3,4,5,6} 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 ordnet jedem Ergebnis eines zufallsexperiments eine reele zahl zu. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zufallsgrößen gibr an mit welchen wahrscheinlichkeiten (p.p,...) die möglichen Werte x annimmt. = {(1, 1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1)... (6,6)} 1521=36 Das Experiment ist ein Laplace Experiment, da jeder der beiden Würfel warfe ein Laplace experiment ist. X ordne jedem Ergebnis aus die summe der gewürfelten Augenzahlen zu. → 2.B. X ((1,4))=5 ● Das Ereignis X=4 besteht aus den Ereignissen {(1,3), (2,2), (3,1)} Damit 1st PCX=4) = 3/6 = √²/2 Das Ereignis X=7 besteht aus den Ergebnissen {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6, 1)} Damit 1st PCX=9) = 3-1/20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PCX<8)= P(X=2) + .. +PCX=7) P(x)=8 = PCX >8) PCX = 8) + .+ P(X=12) = 36 PCX 28)= 1-PCX < 8) = 36 P(X + 8) = 1- P(x=8) = 32 wahrscheinlichkeitsverteilung der zufallsgröße x. ist nicht unbedingt davon abzuraren ein Baumdiagramm...

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zu machen, es kann sogar sinnvoll sein, da man so einen besseren Überblick hat Anschließend kann man es in einer Tabelle und in einem Diagramm festhalten zeichen > gleich ungleich kleiner als Kleiner oder gleich größer als größer oder gleich X = Zufallsgröße →keine konkrete Beobachtung; keinen festen wert k = Realisierung die einzelnen Werte, die eine zufallsgröße x annehmen kann; konkrete Ergebnisse nach dem Experiment - die zufallsgröße gibt an, was in einem zufallsexperiment untersucht wird Beisple grüner würfel, 5 mal die 1, 1 mal die roter würfel, 2 mal die 1, 2 mal die 3, 2 mai die 6 Pgrün (1)= Prot (1)== Pgrün (6) Pro+ (3) = 3 Typische Fragestellungen genau K Treffer: höchstens k Treffer: weniger als k Treffer. mindestensk Treffer: • mehr als k Treffer: mindestens k Treffer, aber höchstens n Treffer: PC x≤ K≤n) = P(x≤h) - P(X ≤K-1) Prot (6) - P(x-7)=Pg (1) Pr (6) + Pg (6) Pr (1) = 5.13 + 1 - 1 - 1 - 133 2 33% wert der Zufallsgröße X=K Bel einem dreifachen Münzwurf oranet die zufallsgröße X jedem Ergebnis die Anzahl an wappen zu. Damit werden die möglichen Ereignisse in 4 Ereignisse geteilt. X=O Xx=1 X=2 x=3 VERTEILUNGEN Zugehöriges Ereignis PCX=K) PCX ≤k) P(XSK); PCX ≤ K-1) PCX2K) = 1- P(x ≤K-1) PCX>K)= PCX ²k +1)= 1- P(xs k) = = {2ારા)} દ" [ &ારા), (2||),સા)} E₂= {(WIWIZ), (WIZIN), (ZI W/W)} E3= {(W12100)} wahrscheinlichkeitsverteilung Die wahrscheinlichkeitsverteilung einer zufallsgröße x ordnet jedem Wert k der zufallsgröße die wahrscheinlichkeit PCX -k) des Ereignisses X=k zu. Die Summe der wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse der wahrscheinlichkeitsver- teilung ergibt exakt 1 Laplace- Verteilung sei x eine Zufallsgröße und für alle n,m & R mit X = n Ø und X = m + Ø gilt PCX=n) PCx=m), dann nennen wir X eine Laplace-verteilte zufallsgröße. Beispiel • Es werde ein 6 seitiger würfel geworfen. 2= {1,2,3,4,5,6} 1521=6 Das Experiment ist ein Laplace Experiment. x ordine jedem Ergebnis aus die Zahl 10 - w zu. 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 X ist Laplace- verteilt 8 9 Das Ereignis x = 8 besteht aus den Ergebnis {2} Damit ist PCX = 8) == Das Ereignis x = 1 entspricht der leeren Menge Ø Damit ist PCX =1) ==0 Nur für n = 4,5,6,7,8,9 ist X = n = 0 Binomialverteilung Sei A ein Ereignis eines zufallsexperimentes und p=PCA). Das zufallsexperiment werden mal hintereinander ausgeführt. X sei die zufallsgröße, die zählt, wie oft dabei A eingetreten ist. Für k≤n sind wir interessiert an PCX = k), also der wahrscheinlichkeit, dass A genau k mal eintritt. Definition Sei A ein Ereignis eines zufallsexperimentes, welches n mal hintereinander ausgeführt wird und sei p= PCA) dabei stents gleichbleibend. x sei eine zufallsgröße, die zählt, wie oft dabei A eingetreten ist. Dann ist: (-k) (K) P(x=k) = P² (1-P) Binominalverteilung " Bernulll- Formel in worten: PCX= Anz. Treffer) = Treffer wahrsch. P="Treffer wahrscheinlichkeit" K=₁, Anzahl an Treffer" n= Anzahl an Versuchen 1 Anz. Treffer Beispiel Ein würfel wird 3 mau hintereinander geworfen. A sei das Ereignis ,, Es wird eine 5 oder 6 geworfen". X sei die zufallsgröße, die angibt, wie oft A eintriti. wie groß ist die wahrscheinlichkeit p= PCA)? P= PCA)= Wie groß ist die wahrscheinlich PCA)? P(A) = P(X=2) = (3) (3) ¹ (¹) - PCX-3)=()³() · (3) = 2/ Nieten wahrsch. →ist ein Berulli - Experiment, wenn nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer /Niete) eintreten können und sich die wahrscheinlichkeiten nicht andert (z. B. Zienen Mit zurücklegen) Anz. Nieten 3 Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass A genau O mal (bzw. 1 mal, 2 mal, 3 mai) von 3 würfen eintritt? 1x=01 = (3)=1 IX=11 = (³₁)=3 |x=21= (2²) = 3 1X=31 = (3) = 1 Berechne PCX = O), PCX= 1), PCX=2), PCX=3) 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Sei x die Zufallsgröße, die zählt, wie oft das Ereignis A eintritt. Dann ist X binomiauverteilt mit p== und n =. 1=3. PCX=0)=() () (8)=3/1 P(x-1)=()¹ (3) ² · (³²) = 2/²/7 Ana. Versuche Anz. Treffer 0 Hypergeometrische verteilung 1 3 in einer Urne liegen N Kugeln, von denen K Kugeln ein besonderes Merkmal tragen. Wir ziehen n kugeln aus der urne onne sie zurückzulegen. Die Zufallsgröße X zähle die Anzahl der gezogenen kugeln mit dem besonderen Merkmal. Uns interessiert dann die wahrscheinlichkeitsverteilung PCX=K). 2 Beispiel In einer Urne befinden sich 10 kugeln, von denen 4 Kugeln rot sing. Es werden 5 kugeln gezogen. X zählt die Anzahl an rot gezogenen kugeln. 1 wie wahrscheinlich ist es, dass als erstes eine rote kugel gezogen wird, dann noch eine rote Kugel und danach nur noch weiße Kugeln? PC RR WWW) = 4 ~0,04762 2 wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, genau zwei rote kugeln zu ziehen? Es gibt (5) = 10 Möglichkeiten RRWWW, RWR WW, RWW RW, RWWWR, WRR WW, WR WRW, WRwWR, WWRRW, WWRWR, WWWRR 3 Wie groß ist die wahrscheinlichkeit P(x-2), also die wahrscheinlichkeit, dass unter den 5 gezogenen kugein genau 2 rote Kugeln zu finden sind? PCX=2) = 385/ 4 (2) * 0.04762.10 = 014762 Definition Zieht man aus N objekten, unter denen sich k objekten mit einem Merkmal A befinden, n objekte heraus und definiert die zufallsgröße. X = ₁, Anzahl der gezogenen objekte mit dem Merkmal A' Dann nennt man x hypergeometrisch verteilt und es gilt: PCX = k) = (K) (N=K) N= Anzahl aller Sachen (M) ⇒P(x=k)= und unterschied Farbe 1 insg. Farbe 1 gez../ mehrfach ausgeführtes Zufallsexperiment, bei dem nur zwei magliche Ereignisse eintreten können sich die wahrscheinlichkeiten andern (ziehen ohne zurücklegen) 3 4 kugeln insg. kugeln gez. urne mit kugeln in zwei verschiedenen Farben Beispiele In einer urne mit 12 kugeln befinden sich 4 rote kugeln. Es werden drei kugeln ohne zurücklegen gezogen. x bezeichne die Anzahl an gezogenen roten kugeln. →immer: X 1st hypergeometrisch vertellt mit N=12₁ k= 4 und n=3 Berechne PCX=0) K= Anzahl Objekte mit Merkmal A n = Anzahl der gezogenen Objekte (egal ob Merkmal oder nicht) Farbe 2 insg. Binomialvertellung. ziehen mit zurücklegen (konstante wahrscheinlichkeit) •Hypergeometrische Verteilung ziehen ohne zurücklegen (sich ändernde wahrscheinlichkeiten) 2 Berechne P(x=1) Farbe 2 gez. P(x=0) = (y) (8) 01 2545 2 (13) PCX=1) = () () (1/7) Berechne PCX =3) 2015091 erechne PCX=2) PCX=2) = (4) () 02182 (¹3) PCX-3) = () (8) (¹3) *010182 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.1 0.0 0 1 2 3 zurücklegen gezogen. In einer urne mit 12 kugeln befinden sich 4 rote kugeln. Es werden drei kugeln mit → immer: X 1st binomialvertellt mit p = 1/2/2 = 3 und n=3 x bezeichne die Anzahl an gezogenen roten kugeln. 1 Berechne PCX=0) 2 Berechne P(X=1) 3 Berechne P(X=2) PCX=0) ³ (3) × ‹ 1.0 0.9 Berechne PCX =3) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 PCX = 1) = ¹² (²) *0.4444 Beide Verteilungen im vergleich 0.0 PCX = 2) = ²(²2) * 0.2222 ≈ 0.2963 P(x-3)=³(3) * 0.037 0 1 2 3 .0 Hoooooooooo 698765TENTO 0.9 0.8 0.7 0.6 0 0.0 0 1 2 → ähnliche Ergebnisse, aber nicht die gleichen Ergebnisse DER ERWARTUNGSWERT (diskret) ↳ erwartete Ausgang eines zufallsexperimentes/wert, den die Zufallsvariable x am ehsten annimmt Prognose, welches Ergebnis ein Zufallsexperminent hat keine 100% Sicherheit X= E(X) STANDARTABWEICHUNG/VARIANZ Sei X eine zufallsgröße. Dann ist die Standartabweichung von x definiert durch G(x)=√(ECX)-K)². P(X=K) 3 ECX) = [₁ P(X= K₂) · Ki ECX) PCX= k) · K₁ + P(x = K₂) k₂ + PCX=K3) · K3 ... P(X=kn). kn beim diskreten Fall wird das Auftreten der Ereignisse mit den relativen wahrscheinlichkeit der Ereignisse addiert > Werte, die eine zufalls variable annimmt, mit der dazugehörigen wahrscheinlichkeit multipliziert der Erwartungswert ist die zahl, die eine zufalls variable im Mittel annimmt Beispiel Ein Würfel mit den zahlen 1,2,3,4,5 und 6 wird geworfen. x gibt die zahl an, die geworfen wurde. Der Erwartungswert von X ist dann: Σ₁ PCX=K) K = PCX=1) · 1 + PCX=2) · 2 + PCX=3) · 3+ PCX=4) · 4 + P(x =5) 5+ P(X-6). 6 = 1/2·1+2·2+1/3 + 1/2 · 4 + 1/2 · 5 + 1/2 · 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2 = 21 =3,5 wurzel aus der varianz, gibt Abweichung der Ergebnisse vom Erwartungswert an Standartabweichung groß: Werte stark um Erwartungswert Standartabweichung gering: wert gering um Erwartungswert Außerdem nennen wir V(x) = G(x)² Die Varianz von x gibt an, wie sehr die Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen varianz groß: Werte streuen sich eher stark um den Erwartungswert varianz gering: Werte streuen sich eher weniger um den Erwartungswert Die varianz ist die mittlere quadratische Abweichung einer zufallsvariable von ihrem Erwartungswert. Da bei der Varianz immer quadrierte Einheiten herauskommen, benutzt man häufiger die standartaloweichung um die Abwelchung von dem Erwartungswert anzugeben. Mit der Varianz lassen sich keine konkreren Aussagen treffen Die Standartabweichung ist die wurzel der varianz und gibt die mittlere einfache Abweichung einer zufallsvariablen von Ihrem Erwartungswert an/durchschnittliche Entfernung ↳hat original-Einheir varianz dient als rechnerische Brücke, um zur standartabweichung zu kommen SUMMENZEICHEN Endwert = obere Grenze - größter wert Σ ak= a₁+₂+as+ ... + an k=1 Summe aller ak van k= 1 bis k=n" Startwertuntere Grenze - kleinster wert Beispiel Σko (k+ 1) = (0+1) + (1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) ↑ 1. Summand für k-O 2.Summand für k=1 LAPLACE VERTEILUNG berechnet die wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A PCA) Anzahl an Elementen varianz Gesamtmaglichkeiten Ausgang des Experiments ist nicht vorhersenbar hat mehrere Ausgänge/ Ergebnisse kann beliebig oft wiederholt werden alle Ergebnisse haben die gleiche wahrscheinlichkeit I AI 1821 Erwartungswert Sei X eine laplaceverteilte zufallsgröße mit wahrscheinlichkeit p. Dann ist ECx)ερ Σκκ Zufallsexperiment Standartabweichung Sei x eine laplaceverteilte zufallsgröße mit wahrscheinlichkeit p. Dann ist 6(x)=√p(E(x)-k) ²¹ V(x) = p. Σk (ECX) - K)² Laplace BINOMIAL VERTEILUNG ziehen mit zurücklegen (-k) P(X=K) = K P (1-P) (K) Binominalverteilung' Bernulli - Formel (Experiment) in worten: PCX= Anz. Treffer) = Treffer wahrsch. Typische Fragestellungen genau k Treffer: höchstens k Treffer: weniger als k Treffer. mindestens k Treffer: • mehr als K Treffer: an " Varianz P= "Treffer wahrscheinlichkeit" K=₁, Anzahl an Treffer" n=₁ Anzahl an versuchen " Anz. Treffer <n-k) mindestens K Treffer, aber höchstens h Treffer: PCX ≤K≤n) = P(x≤h) - P(X ≤K-1) Vcx)= np. (1-P) PCX=K) = p² (1-P) (k) = f(x) PCX ≤ k) = f(1) + f(2)... f(K) P(X<K); PCX ≤ K-1) PCX²K) = 1- P(x ≤K-1) P(X>K) = PCX ²k + 1) = 1- P(xs k) NietenLoahrsch. Erwartungswert Sei X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit n und p Dann ist E(X)=n p →ist ein Berulli - Experiment, wenn nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer /Niete) eintreten können und sich die wahrscheinlichkeiten nicht ändert (z. B. Zienen Mit zurücklegen) Anz. Nieten zeichen = # Standartabweichung sel x eine binomialverteilte Zufallsgröße mit wahrscheinlichkett p und Anzahln. Dann ist: 6(x)=√√√n⋅p (1-p)' ≤ > ≥ - Binomialverteilung PCX= k) gilot für jeden möglichen wert der Zufallsvariablen die zugehörigen wahrscheinlichkeit Anz. Versuche Anz. Treffer gleich ungleich kleiner als iner DIE KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG - gibt für jeden möglichen Wert der zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit an, dass dieser oder ein geringeren Wert als dieser angenommen wird gleich größer als größer oder gleich BINOMIAL VER TEILUNG DIE KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG Beispiele Einer Studie zufolge sind 30% aller Menschen Linkshänder*innen. In der klasse sind 25 schülerinnen. 1 Mit welcher wahrscheinlichkeit sind genau 6 Link händer*innen? 25-6 P(x-6)= (28) 013 (1-013)² = 0114717 2 Mit welcher wahrscheinlichkeit sina höchstens 2 Linkshander*innen? 25 25-0 CX & 2) = P² (x=0) + p²s (x=1) + Pa (x-2) = (25) ·013 (1-013) ²2 25-2 ·013² (1-013) = 0100896 3 Mit welcher wahrscheinlichkeit sind höchstens 13 Linkshänder*innen? P0₁3 (X $13) = 0,99401 25 Раз Pas 8 TASCHENRECHNER: 0,7 =D Genau: Höchstens: KE 25 Pos 1. Schritt klicke auf MENU in der oberen. Spalte von deinem Tschenrechner 4 Mit welcher wahrscheinlichkelt sind mindestens 9 Linkshänder*innen? (x29)= 1-PCX≤8)=1-0₁67691-0132309 CASIO CLASSMIT 2. Schritt für genau: Klicke Binom.-Dichte für höchstens: gehe runter 5 Mit welcher wahrscheinlichkeiten sind weniger als 22 Rechtshänder*innen? → es wird nach dem Gegenereignis gefragt: p=0₁7 PCX<22) - P (X<21) = 0,96646 gesucht 21 22 25 25 brauchen wir nichk 6 Mit welcher wahrscheinlichkeit sind mehr als 6 Linkshander*innen? P(x>6) = 1- P₁ (X+6)=1-0,34065 = 0,65935 013 egau, an welcher stelle die Treffer stattfinden 3. Schritt für genau: Klicke Variable 4. Schritt für genau: Werte eingeben für höchstens: für höchstens: Klicke kumul. Binom. Klicke Variable und gebe die Werte ein birquichen wit nicht gesucht da die 22 draußen ish wird die 21 aus nachstes genommen gesucht 7 Mit welcher wahrscheinlichkeit sind mindestens 2, aber höchstens 9 Linkshänder*innen? (2≤x≤9) - P² (x≤9) - P (x1) = 081056 -0100157-0,8099 Beispiel In die erste Reihe eines klassenzimmers setzen sich 10 schüler*innen. 1 - 013¹. (1-013) E-DE 6 alles = 1 Mit welcher wahrscheinlichkeit sina 4 Unkshander*innen dabei? 10-4 P(X=4)=(19) 013" (1-013) = 0120012 25 alles →WSL: 1 alles bis 9 Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mindestens 4, aber weniger als 14 Rechtshänder innen? 25 P (45x <14) = P(X13) - P (x 3) = 0199401-0103324 = 0,96077 brauchen wir nichh 25-1 wir nicht gesucht gesucht 13 Binomialverteilung unter Beachtung der Reihenfolge → Reihenfolge fällt in der Regel beim Binomialkoeffizient weg, da es angibt, wieviele Möglichkeiten einer beliebigen verteilung der Treffer es gibt 14 alles bis 13 →passiert nichts neues, der Ort ist egal 2 Mit welcher wahrscheinlichkeit sind die ersten 4 Linkshänger*innen? 0301008 L L L 013 013 013 013 →hier bekommen wir dle info, dass die ersten 4 Treffer sein sollen, über die verbleibenden 3 Mit welcher wahrscheinlichkeit sind nur die ersten 4 Linkshänder*innen? 0₁340176 = 0,001 L L L L τ τ C CCC 013 013 03 03 0₁7 0,2017 017 017 → →bekommen die Info, dass nur die ersten 4 Treffer sein sollen. Dass Impliziert, dass die verbleibenden Nieten sind. Merke: mit "nur"→Rest sind Nieten (Gegenwahrscheinlichkeit) ohne nur" Rest egal" (wahrscheinlichkeit 1) 4 Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen 3 Linkshänder*innen nebeneinander? → erst Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, dass 3 personen nebeneinander sitzen: Varianz L PCX = k) = (K) (N=K) (M) PCX= k) = 5 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die 3. person die/der erste Linkshänder in, und auf den verbleibenden 7 Plätzen sitzen mindestens 4 Rechtshänder*innen? HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG die 3. Person 1st die/der 1 Links- händerinnen C ī L 0₁7².0,3 • P(x4) = 017² 013 (1-P (X3)) = 017²-013. (1-0112604) = 0.1285 Erwartungswert E(X)=n· Ñ mindesten 4 Rechtshander* innen aus 7 ● ● Farbe 1 insg. Farbe 1 qez. :) Standartalbweichung σ(x)=√√√√(x) 8 Es gibt 8 Möglichkeiten für 3 Linkshänder*innen nebeneinander zu sitzen. Daher ist die wahrscheinlichkeit: 8.013³01216 Farbe 2 gez. N= Anzahl aller Sachen K = Anzahl Objekte mit Merkmal A n = Anzahl der gezogenen objekte (egal, ob Merkmal oder nicht) Farbe 2 insg VCX) = (E(X)-K)² · P(x=k) Kugeln insg. kugein gez.) urne mit kugeln in zwei verschiedenen Farben FORMELN Grundlagen Bedingte wahrscheinlichkeiten urnenmodell Allgemein mit zurück legeh ohne Zurück- legen Laplace Verteilung Binomialverteilung mit Reihen ohne folgen nk PA (B) PCAnB) P(A) Pr n! (n-k)! Reihenfolge |(^+^,^) n-1 n' (n-k)! k oder ner "n über k Binominalkoeffizient P(X=k) Hypergeometrische Verteilung (K). (N-K) Erwartungswert |(x=k)| 1521 pk. (1-P)¹-k (2) ECX)= n•p K (N) E(X) => K- P(x=k) .{k K ECX)= P E(X)=n Variana/Standart abweichung V(x) = (E(x) - K) ² • P(X=K) σ(x)=√√√√(x) V(X) = (E(X)-K) ²· P(x=K) σ(x)=√√√√(x) U(X) = np. (1-P) o(x)=√√np (1-P)" V(X) = (E(X) -K) ²· P(x=k) σ(x)=√√√(x)