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Mathe
13. Dez. 2025
1.785
4 Seiten
Hannah @hannanna.banana.
Signifikanztests, Normalverteilung und E-Funktionen sind wichtige Werkzeuge der Stochastik, die euch helfen, Hypothesen zu prüfen und Wahrscheinlichkeiten zu... Mehr anzeigen
Signifikanztests helfen euch zu entscheiden, ob eure Vermutung (Nullhypothese H₀) stimmt oder nicht. Dabei legt ihr zuerst den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau (meist 5%) fest.
Bei zweiseitigen Tests bestimmt ihr den Annahmebereich - entweder über Tabellen oder das 2σ-Intervall . Liegt euer Messwert im Annahmebereich, nehmt ihr die Hypothese an.
Linksseitige Tests haben den Annahmebereich mit P(X≤a) > 5%, rechtsseitige Tests mit P(X≥b) > 95%. Wichtig Es gibt zwei Fehlerarten - Fehler 1. Art (H₀ verworfen, obwohl wahr) und Fehler 2. Art (H₀ angenommen, obwohl falsch).
💡 Merktipp Um Fehler zu verringern, erhöht den Stichprobenumfang - dann wird die Standardabweichung kleiner!
Bei normalverteilten Tests berechnet ihr Standardabweichung σₓ = σz/√n, dann den Annahmebereich und prüft, ob euer Mittelwert reinpasst.
Die E-Funktion f(x) = eᵏˣ ist super praktisch, weil sie beim Ableiten fast unverändert bleibt. Die Ableitung ist f'(x) = k·eᵏˣ, die Stammfunktion F(x) = ·eᵏˣ.
Für komplexere Funktionen braucht ihr die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) und die Produktregel f'(x) = v'(x)·u(x) + u'(x)·v(x). Diese Regeln sind euer Werkzeug für schwierige Ableitungen.
Beim Integrieren helfen euch partielle Integration ∫u(x)·v'(x)dx = - ∫u'(x)·v(x)dx und Substitution. Das Beispiel ∫ln(x)dx zeigt u = x, v' = 1/x führt zu x·ln(x) - x.
💡 GTR-Tipp Nutzt binomcdf(n,p,k,r) für Binomialverteilung und normcdf(k,r,μ,σ) für Normalverteilung!
Bestimmte Integrale berechnet ihr mit ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) - das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Der Erwartungswert μ = ∫₋∞^∞ x·f(x)dx ist die stetige Version der diskreten Formel μ = x₁·P + ... + xₙ·P. Statt alles zu summieren, integriert ihr - das macht die Sache elegant!
Die Standardabweichung σ = √∫₋∞^∞ ²·f(x)dx folgt dem gleichen Prinzip. Bei stetigen Verteilungen entspricht die Fläche P = p·Δx der Wahrscheinlichkeit.
Die Herleitung des Erwartungswerts der Normalverteilung ist ein Paradebeispiel Mit der Substitution z = x-μ wird aus dem komplexen Integral ∫₋∞^∞ x·φ(x)dx = μ. Das erste Integral wird null (ungerade Funktion), das zweite ergibt μ.
💡 Verständnis-Tipp Stetige Verteilungen sind wie diskrete, nur dass aus Summen Integrale werden!
Diese Herleitungen zeigen euch, dass alle Formeln logisch aufeinander aufbauen - keine Zauberei, sondern pure Mathematik!
Die Normalverteilung ist der Übergang von diskreten zu stetigen Verteilungen. Während ihr bei Würfeln nur ganze Zahlen habt, könnt ihr hier auch 150,3g messen. Rechnen geht dann über Flächeninhalte mit Integralen.
Die Gauß-Funktion φμ,σ(x) = (1/σ√2π)·e^ beschreibt die berühmte Glockenkurve. Der Parameter μ verschiebt sie horizontal, σ bestimmt die Breite, und 1/(σ√2π) sorgt dafür, dass die Gesamtfläche = 1 bleibt.
Praktisches Rechnen Ihr approximiert binomialverteilte Probleme mit μ = n·p und σ = √. Die Stetigkeitskorrektur ±0,5 bei den Grenzen ist wichtig, weil ihr von diskreten zu stetigen Werten wechselt.
💡 Sigma-Regeln 68% liegen in , 95% in - das hilft beim Abschätzen!
Der Hochpunkt liegt bei (μ | 1/(σ√2π)), die Wendepunkte bei . Mit dem GTR normcdf für Wahrscheinlichkeiten!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Entdecken Sie die Sigma-Umgebung des Erwartungswertes in der Stochastik. Diese Zusammenfassung behandelt die Laplace-Bedingung, die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen und deren Signifikanz. Ideal für Studierende der Statistik, die ein tieferes Verständnis für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und deren Anwendung suchen.
MatheErfahren Sie, wie Prognoseintervalle in der Statistik verwendet werden, um Vorhersagen über Stichprobenergebnisse zu treffen. Diese Zusammenfassung behandelt die Sigma-Regeln, die Berechnung von Prognoseintervallen für verschiedene Vertrauensniveaus (90%, 95%, 99%) und bietet ein praktisches Beispiel zur Anwendung der Konzepte. Ideal für Studierende der Statistik.
MatheEntdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Stochastik, einschließlich Zufallsexperimente, Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Bernoulli-Ketten und Hypothesentests. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über statistische Grundlagen, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.
MatheVertiefte Lernressourcen zu Stochastik: Entdecken Sie die Konzepte von Laplace-Ereignissen, Baumdiagrammen, bedingter Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung und Normalverteilung. Ideal für Mathematik LK Abiturvorbereitung. Enthält Beispiele, Formeln und Erklärungen zu Wahrscheinlichkeitsdichte und Signifikanztests.
MatheDiese umfassende Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Stochastik, einschließlich stochastischer Unabhängigkeit, binomialer Verteilung, Hypothesentests und mehr. Ideal für das Abitur im Leistungskurs (LK) in NRW. Erfahren Sie alles über Wahrscheinlichkeiten, Diagramme, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Anwendung der Sigma-Regeln. Perfekt für die Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Normalverteilung, Bionomialverteilung, Standardabweichung und Kombinatorik. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte wie Zufallsexperimente, Dichtefunktionen und die empirische Regel. Ideal für Schüler im Mathematik-Leistungskurs und zur Vorbereitung auf das Abitur.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Hannah
@hannanna.banana.
Signifikanztests, Normalverteilung und E-Funktionen sind wichtige Werkzeuge der Stochastik, die euch helfen, Hypothesen zu prüfen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Diese Konzepte bauen aufeinander auf und sind essentiell für euer Mathe-Abi.
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Signifikanztests helfen euch zu entscheiden, ob eure Vermutung (Nullhypothese H₀) stimmt oder nicht. Dabei legt ihr zuerst den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau (meist 5%) fest.
Bei zweiseitigen Tests bestimmt ihr den Annahmebereich - entweder über Tabellen oder das 2σ-Intervall . Liegt euer Messwert im Annahmebereich, nehmt ihr die Hypothese an.
Linksseitige Tests haben den Annahmebereich mit P(X≤a) > 5%, rechtsseitige Tests mit P(X≥b) > 95%. Wichtig: Es gibt zwei Fehlerarten - Fehler 1. Art (H₀ verworfen, obwohl wahr) und Fehler 2. Art (H₀ angenommen, obwohl falsch).
💡 Merktipp: Um Fehler zu verringern, erhöht den Stichprobenumfang - dann wird die Standardabweichung kleiner!
Bei normalverteilten Tests berechnet ihr: Standardabweichung σₓ = σz/√n, dann den Annahmebereich und prüft, ob euer Mittelwert reinpasst.
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Die E-Funktion f(x) = eᵏˣ ist super praktisch, weil sie beim Ableiten fast unverändert bleibt. Die Ableitung ist f'(x) = k·eᵏˣ, die Stammfunktion F(x) = ·eᵏˣ.
Für komplexere Funktionen braucht ihr die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) und die Produktregel f'(x) = v'(x)·u(x) + u'(x)·v(x). Diese Regeln sind euer Werkzeug für schwierige Ableitungen.
Beim Integrieren helfen euch partielle Integration ∫u(x)·v'(x)dx = - ∫u'(x)·v(x)dx und Substitution. Das Beispiel ∫ln(x)dx zeigt: u = x, v' = 1/x führt zu x·ln(x) - x.
💡 GTR-Tipp: Nutzt binomcdf(n,p,k,r) für Binomialverteilung und normcdf(k,r,μ,σ) für Normalverteilung!
Bestimmte Integrale berechnet ihr mit ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) - das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
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Der Erwartungswert μ = ∫₋∞^∞ x·f(x)dx ist die stetige Version der diskreten Formel μ = x₁·P + ... + xₙ·P. Statt alles zu summieren, integriert ihr - das macht die Sache elegant!
Die Standardabweichung σ = √∫₋∞^∞ ²·f(x)dx folgt dem gleichen Prinzip. Bei stetigen Verteilungen entspricht die Fläche P = p·Δx der Wahrscheinlichkeit.
Die Herleitung des Erwartungswerts der Normalverteilung ist ein Paradebeispiel: Mit der Substitution z = x-μ wird aus dem komplexen Integral ∫₋∞^∞ x·φ(x)dx = μ. Das erste Integral wird null (ungerade Funktion), das zweite ergibt μ.
💡 Verständnis-Tipp: Stetige Verteilungen sind wie diskrete, nur dass aus Summen Integrale werden!
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Die Normalverteilung ist der Übergang von diskreten zu stetigen Verteilungen. Während ihr bei Würfeln nur ganze Zahlen habt, könnt ihr hier auch 150,3g messen. Rechnen geht dann über Flächeninhalte mit Integralen.
Die Gauß-Funktion φμ,σ(x) = (1/σ√2π)·e^ beschreibt die berühmte Glockenkurve. Der Parameter μ verschiebt sie horizontal, σ bestimmt die Breite, und 1/(σ√2π) sorgt dafür, dass die Gesamtfläche = 1 bleibt.
Praktisches Rechnen: Ihr approximiert binomialverteilte Probleme mit μ = n·p und σ = √. Die Stetigkeitskorrektur ±0,5 bei den Grenzen ist wichtig, weil ihr von diskreten zu stetigen Werten wechselt.
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Entdecken Sie die Sigma-Umgebung des Erwartungswertes in der Stochastik. Diese Zusammenfassung behandelt die Laplace-Bedingung, die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen und deren Signifikanz. Ideal für Studierende der Statistik, die ein tieferes Verständnis für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und deren Anwendung suchen.
MatheErfahren Sie, wie Prognoseintervalle in der Statistik verwendet werden, um Vorhersagen über Stichprobenergebnisse zu treffen. Diese Zusammenfassung behandelt die Sigma-Regeln, die Berechnung von Prognoseintervallen für verschiedene Vertrauensniveaus (90%, 95%, 99%) und bietet ein praktisches Beispiel zur Anwendung der Konzepte. Ideal für Studierende der Statistik.
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MatheVertiefte Lernressourcen zu Stochastik: Entdecken Sie die Konzepte von Laplace-Ereignissen, Baumdiagrammen, bedingter Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung und Normalverteilung. Ideal für Mathematik LK Abiturvorbereitung. Enthält Beispiele, Formeln und Erklärungen zu Wahrscheinlichkeitsdichte und Signifikanztests.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Lena M
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Sudenaz Ocak
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Julia S
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