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25. Jan. 2026
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Hannah
@hannanna.banana.
Signifikanztests, Normalverteilung und E-Funktionen sind wichtige Werkzeuge der Stochastik, die... Mehr anzeigen
Signifikanztests helfen euch zu entscheiden, ob eure Vermutung (Nullhypothese H₀) stimmt oder nicht. Dabei legt ihr zuerst den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau (meist 5%) fest.
Bei zweiseitigen Tests bestimmt ihr den Annahmebereich [a,b] - entweder über Tabellen oder das 2σ-Intervall [μ-1,96σ; μ+1,96σ]. Liegt euer Messwert im Annahmebereich, nehmt ihr die Hypothese an.
Linksseitige Tests haben den Annahmebereich [a;∞] mit P(X≤a) > 5%, rechtsseitige Tests [0;b] mit P(X≥b) > 95%. Wichtig: Es gibt zwei Fehlerarten - Fehler 1. Art (H₀ verworfen, obwohl wahr) und Fehler 2. Art (H₀ angenommen, obwohl falsch).
💡 Merktipp: Um Fehler zu verringern, erhöht den Stichprobenumfang - dann wird die Standardabweichung kleiner!
Bei normalverteilten Tests berechnet ihr: Standardabweichung σₓ = σz/√n, dann den Annahmebereich und prüft, ob euer Mittelwert reinpasst.
Die E-Funktion f(x) = eᵏˣ ist super praktisch, weil sie beim Ableiten fast unverändert bleibt. Die Ableitung ist f'(x) = k·eᵏˣ, die Stammfunktion F(x) = ·eᵏˣ.
Für komplexere Funktionen braucht ihr die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) und die Produktregel f'(x) = v'(x)·u(x) + u'(x)·v(x). Diese Regeln sind euer Werkzeug für schwierige Ableitungen.
Beim Integrieren helfen euch partielle Integration ∫u(x)·v'(x)dx = [u(x)v(x)] - ∫u'(x)·v(x)dx und Substitution. Das Beispiel ∫ln(x)dx zeigt: u = x, v' = 1/x führt zu x·ln(x) - x.
💡 GTR-Tipp: Nutzt binomcdf(n,p,k,r) für Binomialverteilung und normcdf(k,r,μ,σ) für Normalverteilung!
Bestimmte Integrale berechnet ihr mit ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) - das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Der Erwartungswert μ = ∫₋∞^∞ x·f(x)dx ist die stetige Version der diskreten Formel μ = x₁·P + ... + xₙ·P. Statt alles zu summieren, integriert ihr - das macht die Sache elegant!
Die Standardabweichung σ = √∫₋∞^∞ ²·f(x)dx folgt dem gleichen Prinzip. Bei stetigen Verteilungen entspricht die Fläche P = p·Δx der Wahrscheinlichkeit.
Die Herleitung des Erwartungswerts der Normalverteilung ist ein Paradebeispiel: Mit der Substitution z = x-μ wird aus dem komplexen Integral ∫₋∞^∞ x·φ(x)dx = μ. Das erste Integral wird null (ungerade Funktion), das zweite ergibt μ.
💡 Verständnis-Tipp: Stetige Verteilungen sind wie diskrete, nur dass aus Summen Integrale werden!
Diese Herleitungen zeigen euch, dass alle Formeln logisch aufeinander aufbauen - keine Zauberei, sondern pure Mathematik!
Die Normalverteilung ist der Übergang von diskreten zu stetigen Verteilungen. Während ihr bei Würfeln nur ganze Zahlen habt, könnt ihr hier auch 150,3g messen. Rechnen geht dann über Flächeninhalte mit Integralen.
Die Gauß-Funktion φμ,σ(x) = (1/σ√2π)·e^ beschreibt die berühmte Glockenkurve. Der Parameter μ verschiebt sie horizontal, σ bestimmt die Breite, und 1/(σ√2π) sorgt dafür, dass die Gesamtfläche = 1 bleibt.
Praktisches Rechnen: Ihr approximiert binomialverteilte Probleme mit μ = n·p und σ = √. Die Stetigkeitskorrektur ±0,5 bei den Grenzen ist wichtig, weil ihr von diskreten zu stetigen Werten wechselt.
💡 Sigma-Regeln: 68% liegen in [μ-σ; μ+σ], 95% in [μ-2σ; μ+2σ] - das hilft beim Abschätzen!
Der Hochpunkt liegt bei (μ | 1/(σ√2π)), die Wendepunkte bei . Mit dem GTR: normcdf für Wahrscheinlichkeiten!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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App Store
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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Elisha
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Paul T
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Hannah
@hannanna.banana.
Signifikanztests, Normalverteilung und E-Funktionen sind wichtige Werkzeuge der Stochastik, die euch helfen, Hypothesen zu prüfen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Diese Konzepte bauen aufeinander auf und sind essentiell für euer Mathe-Abi.
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Signifikanztests helfen euch zu entscheiden, ob eure Vermutung (Nullhypothese H₀) stimmt oder nicht. Dabei legt ihr zuerst den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau (meist 5%) fest.
Bei zweiseitigen Tests bestimmt ihr den Annahmebereich [a,b] - entweder über Tabellen oder das 2σ-Intervall [μ-1,96σ; μ+1,96σ]. Liegt euer Messwert im Annahmebereich, nehmt ihr die Hypothese an.
Linksseitige Tests haben den Annahmebereich [a;∞] mit P(X≤a) > 5%, rechtsseitige Tests [0;b] mit P(X≥b) > 95%. Wichtig: Es gibt zwei Fehlerarten - Fehler 1. Art (H₀ verworfen, obwohl wahr) und Fehler 2. Art (H₀ angenommen, obwohl falsch).
💡 Merktipp: Um Fehler zu verringern, erhöht den Stichprobenumfang - dann wird die Standardabweichung kleiner!
Bei normalverteilten Tests berechnet ihr: Standardabweichung σₓ = σz/√n, dann den Annahmebereich und prüft, ob euer Mittelwert reinpasst.
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Die E-Funktion f(x) = eᵏˣ ist super praktisch, weil sie beim Ableiten fast unverändert bleibt. Die Ableitung ist f'(x) = k·eᵏˣ, die Stammfunktion F(x) = ·eᵏˣ.
Für komplexere Funktionen braucht ihr die Kettenregel f'(x) = u'(v(x))·v'(x) und die Produktregel f'(x) = v'(x)·u(x) + u'(x)·v(x). Diese Regeln sind euer Werkzeug für schwierige Ableitungen.
Beim Integrieren helfen euch partielle Integration ∫u(x)·v'(x)dx = [u(x)v(x)] - ∫u'(x)·v(x)dx und Substitution. Das Beispiel ∫ln(x)dx zeigt: u = x, v' = 1/x führt zu x·ln(x) - x.
💡 GTR-Tipp: Nutzt binomcdf(n,p,k,r) für Binomialverteilung und normcdf(k,r,μ,σ) für Normalverteilung!
Bestimmte Integrale berechnet ihr mit ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) - das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
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Der Erwartungswert μ = ∫₋∞^∞ x·f(x)dx ist die stetige Version der diskreten Formel μ = x₁·P + ... + xₙ·P. Statt alles zu summieren, integriert ihr - das macht die Sache elegant!
Die Standardabweichung σ = √∫₋∞^∞ ²·f(x)dx folgt dem gleichen Prinzip. Bei stetigen Verteilungen entspricht die Fläche P = p·Δx der Wahrscheinlichkeit.
Die Herleitung des Erwartungswerts der Normalverteilung ist ein Paradebeispiel: Mit der Substitution z = x-μ wird aus dem komplexen Integral ∫₋∞^∞ x·φ(x)dx = μ. Das erste Integral wird null (ungerade Funktion), das zweite ergibt μ.
💡 Verständnis-Tipp: Stetige Verteilungen sind wie diskrete, nur dass aus Summen Integrale werden!
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Die Normalverteilung ist der Übergang von diskreten zu stetigen Verteilungen. Während ihr bei Würfeln nur ganze Zahlen habt, könnt ihr hier auch 150,3g messen. Rechnen geht dann über Flächeninhalte mit Integralen.
Die Gauß-Funktion φμ,σ(x) = (1/σ√2π)·e^ beschreibt die berühmte Glockenkurve. Der Parameter μ verschiebt sie horizontal, σ bestimmt die Breite, und 1/(σ√2π) sorgt dafür, dass die Gesamtfläche = 1 bleibt.
Praktisches Rechnen: Ihr approximiert binomialverteilte Probleme mit μ = n·p und σ = √. Die Stetigkeitskorrektur ±0,5 bei den Grenzen ist wichtig, weil ihr von diskreten zu stetigen Werten wechselt.
💡 Sigma-Regeln: 68% liegen in [μ-σ; μ+σ], 95% in [μ-2σ; μ+2σ] - das hilft beim Abschätzen!
Der Hochpunkt liegt bei (μ | 1/(σ√2π)), die Wendepunkte bei . Mit dem GTR: normcdf für Wahrscheinlichkeiten!
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
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David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Anna
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Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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