Stochastik

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elementaren Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. (Bsp Würfel oder Münze) statische Wahrscheinlichkeit: Durch beliebig oftes wiederholen der Versuchs, lässt sich die relative Häufigkeit berechnen. Der Grenzwert dieses Bruchs bau die relative wahrscheinlichkeit nach unendlich ofter Ausführung des Versuchs, ist die gesuchte wahrscheinlichkeit. Das arithmetische Mittel: Ist die Summe aller Daten dividiert durch die Anzahl aller Daten. 6sp X = 5₁6 +5₁7+5₁5 3 /E(X)=(x₁+x₂+x3+...+Xn) = A - Exi n i=1 → Man kann das arithmetische Mittel auch mithilfe der absoluten Häufigkeiten errechnen. X = 5,5-2 +5,6·3+5₁7-5+5₁8 2 +5,9·3+ 6,0-2 +6₁1·1 Bsp.: 18 empirische Standardabweichung: May dafür, wie stark die Daten um das Mittel streuen. S = (X₁-X)²-3₁+ (x₂+ -X) ² + ... S = √(x₁-x) ³² - h₁ + (x₂-x) ² h₂+...+ n empirische Varianz: Messwert für die Streuung 3²= (x₁-x)²-3₁ + (x₂-x)²- a₂ + — + (x₂-x)² - au r(E) 3. Wskin bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Baumdiagramm 1-P(E) 2. Pfadregel E MI P(E) (mit der alosoluten Häufigkeit) ( X1, X₂ usw = verschiedene Ausprägungen des Merkmals (mit der relativen Häufigkeit) A-P(E) P(E) 1-P(E) S=Startpunkt E = Ereignis E-Gegenereignis Jay, az usw. = absolute Häufigkeit huhe usw = relative Häufigkeit n = Gesamtzahl der Daten. Pfadregeln 1. Pfadregel: Entlang eines Plades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. P (EE)=P(E) P(E) Die Wahrscheinlichkeit aller Pfade, die zu einem Ereignis fuhren, werden addiert. Bzw. Wann kommt zweimal das gleiche Ereignis hintereinander?/Wenn zwei Pfade bzw. verschiedene Pfade die Vorgabe erfüllen, werden diese addiert. P (2x gleiches Ereignis hintereinander) = P(EE) + P(EE) → Aufgabentypen Falls die Signalwörter, mindestens "oder höchstens" auftreten, können diese Aufgaben oftmals mit dem Gegenereignis bearbeitet werden. Baumdiagramme können verkleinert werden, indem für die Aufgabe irrelevante Farben zusammengefasst werden. Man arbeitet dann nur noch mit zwei Resultaten lospw. </F 1 4. Bedingte Wahrscheinlichkeiten: → Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB (A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A unter der Bedingung, dass Ereignis B gilt: PB (A) = mit P(B) #0 Bsp: Baumdiagramm PA (6) P(A) A PA(B) PA (B) PA(E) → Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist: P(A) Ā - P(ANB) P(B) L B P (ANB) B P (AMB) B P(ANG) BP(A MB) B B 0,4 |P (ANB) = P(A) · P(B) / PA (B) =P (B) ⇒ Andernfalls nennt man A und B stochashsch abhängig / PA (B) / P(B) Beispiel: Es sind folgende Wahrscheinlichkeiten a) Vierfeldertafel aufstellen b) Berechnen von PB (A) c) Untersuchen, ob eine stochastische Abhängigkeit vorliegt. A A 0,2 0,1 0,3 0,3 0,7 0,6 0,4 1 Viergeldertafel (2)- 8 B A A P(AMB) P(ANB) P(B) P(ANB) P(B) P(ANB) P (A) P(A) ^ gegeben c) P(ANB) = 0₁² / P = : b) PB (A) = P(ANB) P(B) P(A) = 0₁6; P(B) = 0,3,P(ANB) = 0,3 P(A) P(B) = 0₁6-0₁3-0₁18 5. Kombinatorik Bsp.: aus einer Urne mit n kugeln wird k-mal mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen: 0,1 A H 0,3 => P (ANB) P(A). P(B) Die Ereignisse A und B sind stochastisch abhangig. nu gunshige ↳ Es gibt n Moglichkeiten. nk mögliche Bsp: Aus einer Ume mit n Kugeln wird k-mal ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen:" neuen Formel. n! /P= siehe oben, nur mit der 4 Es gibt n. (n-^).. (n-k)! Bsp.: Aus einer Urne mit n Kugeln werden k Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (bzw. mit einem Griff ) gezogen. n! Möglichkeiten (Ausdruck heißt Binomialkoeffizient) k! (n-k)! = 0,3333 33,33% 3 • (n-k+1) Möglichkeiten. ⇒> P = 4 ( (27 mögliche not ge 6. Wahrscheinlichkeitsverteilung? Zufallsgröße: Eine Größe X, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs genau eine reelle Zahl Zuordnet, heißt fallsgröße oder Zufallsvariable. Mit X-Xi wird das Ereignis bezeichnet, dessen Ergebnisse alle dazu führen, dass die Zufallsgröße X den Wert x; annimmt. Ordnet man jedem möglichen Wert xi, den die Zufallsgroße Xannehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(x-xi) au, so erhält man eine Zuordnungstabelle, die man als wahrscheinlichkeitsverteilung von x bezeichnet. XA X₂ Xn P(X-X) | X₁ | X² | . | Xx P₁ P2 Pn → Die Veranschaulichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch ein Stabdiagramm oder ein Histogramm erfolgen. 2 - Erwartungswert: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X gibt an, welcher Mittelwert bei oftmaliger Wiederholung des Zufallsexperiments zu erwarten ist. M = E(X)= Xi Pi = x₁- P₁ +...+ Xn Pn i=1 -> Dabei muss die Summe der Wahrscheinlichkeiter stets 1 ergeben: P₁+p²+.-- + pn=1 E (X) = (x₁+x₂ + X3 + ... + Xn) n Varianz und Standardabweichung: Geben die Streuung an; sind ein Maß für die Streuung. V(x)= Σ (xi-μ)². pi = (x₁-μ)². pi + ... + (xn-M) ² - pn i=1 0 (X) = √V (X) Kenngrößen: 4 = E(X)=n-P 8. Bx Mindestens -Aufgaben losen. → Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 9(%) mindestens einmal zu gewinnen, wenn die Wahrscheinlichkeit für einmal gewinnen p beträgt? (immer mit zurücklegen) V(x) = n-p- (^-p) (1-P)" <1-9 (7) | en... n. ln (1-P) < ln (1-9) 1- en (1-p) n > en (1-q) negativ! en (1-P) S o(x) = √n-p. (1-P) 9. Binomialverteilte Zufallsgrößen E(x) = n²p=u V(x) = np.(^-p) → Varianz · 0(x) = √n-p² (1-p) ¹ → Standardabweichung (Interpretation: Maß für Streuung um den Erwar- tungsvert. geringes o = mit hoher wsun werte in der unmittelbaren Nähe von u, wenn o großer dann auch entfernte Werte von u möglich.) →>Analysieren von Histogrammen: Breite der Rechtecke entspricht den gebildeten Intervallen. (Rechtecke grenzen direkt aneinander an.) allgemeiner Kurvenverlauf P(X=k)=B (n; p;k) ₁ y(P (X=k)) >> Antwort: Man muss mindestens mal ziehen. •Erwartungswert (Interpretation: Es können durchschnittlich X Treffer erzielt werden) → je großer n, desto breiter und flacher ist das Histogramm. desto weiter rechts, ist das Maximum. je großer p je großer n, desto weiter rechts, ist das Maximum. je großer n, desto symmetrischer ist das Verteilungsbild. *x (k) → für p=0,5 liegt das Verteilungs maximum mittig. → Die kumullerte (aufsummierte) Binomial verteilung P(X ≤k) gibt für jeden möglichen Wert der Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeit an, oder ein geringerer Wert als dieser angenommen wird. → Aufgabentypen: 1. ,, genau k Treffer." P(X=k) } Binomial verteilung! 2., höchstens k Treffer." P(X ≤k) Binomialverteilung berechnet beispielsweise die genaue Trefferanzahl von 4 Treffern, während die kuumulierte Binomialverteilung die Treffer wahrscheinlichkeit von 0 bis 4 Treffern berechnet und diese miteinander addiert. dass dieser 3. mindestens & Treffer. "P(xzk) = 1 - P(X≤k-1) (1 4. „, mindestens k und höchstens "ʼn Treffer" P(k≤X=h) = P(X ≤h) - P(X≤k-1) kumulierte Binomialverteilung! Beispiel Ein Spieler kann gegen einen Einsatz von 4€ an folgendem Spiel teilnehmen = Er würfelt ein Mal. Bei einer geraden Zahl erhält er 3€. Bei einer ungeraden Zahl erhält er den doppelten Betrag der gewürfelten Augenzahl. Ist es gunstig für den Spieler, bei diesem Spiel teilzunehmen? → Hinweis Gewinn - Anzahlungsbetrag - Einsatz = Zugehörige Ergebnisse (2); (4). (6) X₁ -1 (=3-4) P(X=Xi) 4 + 4 + 4 = ³ (5) (3) (1) 6 (=10-4) 2(= 6-4) -2(=2-4) 승 승 승 => Erwartungswert der Zufallsvariablen · E(X)= (-1)3 +64 + 2 ⋅ 1/2 + (-2) · 4 = 0,5 => Interpretation und Ergebnis X gibt den Gewinn des Spielers pro Spiel an. Somit gibt E(X) den zu erwartenden Gewinn pro Spiel an, den der Spieler bei vielen Spielen durchschnittlich erhalten würde. Der Spieler erreicht hier durch seine Teilnahme einen erwarteten Durchschnittsgewinn von 0,50 € pro Spieldurchgang. Da dieser positiv ist, ist das Spiel gunstig für den Spieler, Übersicht: => Ein faires Spiel hat den Erwartungswert 0! >> X: Auszahlungsbetrag an Spieler • E(X) > Einsatz, günstig für Spieler E(X) = Einsatz, faires Spiel E (x) < Einsatz, günstig für Anbieter Beispiele-Werfen einer Münze (kopf oder Zahl) 7. Die Bernoulli-Ketten. → Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) heißt Bernovilli- →> Wahrscheinlichkeits- verteilung der Zufallsvariablen. =>X Gewinn des Spielers E(X) >0, günstig für Spieler E(X)= 0, faires Spiel E (X)<0, günstig für Anbieter . Experiment. Treffer wahrscheinlichkeit=P; Wahrscheinlichkeit für eine Niete q=1-p → Die n-fache Wiederholung eines Bernoulli-Experiments heißt Bernoulli-Kette der Längen. Die Treffer wahrscheinlichkeit bleibt hierbei konstant. (ziehen ohne zurücklegen, kein Bernoulli- Experiment!) Werfen eines Würfels (Sechs oder keine Sechs) Uberprüfen einer Bauteils (defekt oder nicht defekt) - P(Z = k) = (n)- pk. (1-p)n-k h: Anzahl der Versuche (Durchführungen) k: Anzahl der Treffer" 1 P: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer" 11 → Formel für die Binomial verteilung / Bernoulliformel 10. normal verteilte Zufallsgrößen: Dichtefunktion: Yu₁o (t) = мо 5 V 9 →>>> a Mb ^ 0-121 diskrete Zufallsgröße: → Eine Zufallsgröße, die nur ganz bestimmte, isolierte Werte oder Zahlenwerte annehmen kann, bezeichnet man als diskrete Zufallsgroßse. (Augenzahl beim Wurfeln usw.) → Im Gegensatz hiera, spricht man von einer Stehgen Zufallsgröße, wenn diese innerhallo eines bestimmten Bereichs jeden reellen Zahlenwert annehmen kann. (Körpergewicht, Länge einer Schraube usw.) diese stetigen Zufallsgrößen X besitzen als Verteilungs kurve off die Normalverteilungskurve. Standard normal verteilung Sonderfall, wenn u=0 und 0 = 1, denn dann ist die Verteilungskurve die Gaußsche Glockenkurve y selbst. Тумет P(a≤X b) e -0,5 (x)→ Gaußsche Glockerfunktion Nahrscheinlichkeitsdichte bei einer Normalverteilung. → gute Annäherungsmethode 4 kann zur Annaherung der Binomialverteilung genutzt werden. Glockenform Verteilungen sind annähernd normalverteilt. auf beiden Seiten des Erwartungswertes liegen 50% der Ergebnisse. = P(X≤K) = $ (^_^) => Gaußsche Integralfunktion: =>Die Normalverteilung als Alternative für binomialverteille Probleme nutzen: Bei vielen Durchführungen stehen Binomialverteilung und Normalverteilung ähnlich zusammen. Bzw Sie sehenähnlich aus. 1 J.127¹ Aufgaben mit einer binomialverteilten zufallsvariablen können so bearbeitet werden, wie wenn die Zufallsvariable normalverteilt wäre. (Satz von De Moivre Laplace) Bedingung: 0=1n p. (1-P) 3, dann ist es moglich die Normalverteilung u = n⋅p statt der Binomialverteilung zu nutzen. ⇒da es erst dann annähernd sinnvoll ist! →Aufgabentypen! 1. Wert von k bis h: P(k≤x≤h) = $ ( h-u) - $(^-^) (mind k, hidhst. h) 2. Wert maximal k (höchstens 4) 3. Wert größer als : P (X>k) (mindestensk) 4. Wert kleiner als k und großer als h: P(X<k od. Xzh) = 1-P (k≤ x ≤h) Je = 2: (+-+-+-) 1 + $(²4) 1-0 (^-^) = 1- P(x≤k) Die Stetigheitskorrektur kommt ins Spiel, wenn es um Gegenstande geht, die nur als Ganzes auftreten bau. genutzt werden können. (Bsp: Münzen, Autos, Rosinen usw.) → Hierbei wird 0,5 rechts addiert werden bau links subtrahiert werden! Z = k-u±0₁5 o Binomialverteilung vs. Normalverteilury Skizze : 0 1 2 3 4 Stetigheitskorrektur Binomialverteilung, streng genommen an jedem Punkt 0, da Wslun erst durch ganzes Rechteck, intervall entsteht. 5 6 Normalverteiluy, Flache unter der Kurve kann berechnet werden. M. Hypothesentests: => grundlegende Begriffe: Hypothese: Annahme, Vermutung Alternativtest: Test, welcher zeigt, welche der zwei Alternativen der Wahrheit entspricht. einseitiger Hypothesentest: Die Gegenhypothese ist entweder kleiner oder größer als die Nullhypothese. Verwerfungsbereich: Annahme bereich von H₁, somit wird Ho in dem Bereich verworfen. Entscheidungsregel: Die Entscheidungsregeln sind Ho und H. Fehler A. Art: -Fehler, Ho ist wahr, dennoch entscheidet man sich für H₁. => rctumswahrscheinlichkeit. Fehler 2. Art: ß-Fenler, H ist wahr, aber die Entscheidung fällt auf Ho. ⇒ Irrtumswahrscheinlichkeit. => Ausführliche Erklärung: Hypothesentest (einseitig) • Ein Hersteller eines Medikaments behauptet, dass dieses bei mindestens 90%- der Patienten wirkt. Ein Konkurrent vermutet, dass diese Wahrscheinlichkeit zu hoch ist, und testet das Medikament bei 50 Personen. Es wirkt bei 42 Personen signifikantniveau ar-SY.. 1. Schritt: Testart erkennen und Aufstellen der Nullhypothese linksseitiger Hypothesentest liegt vor: Mindest wahrscheinlichkeit ist gegeben Vermutung, dass wirkliche Wahrscheinlichkeit geringer ist. Nullhypothese Ho: Po = 0,9; Gegenhypothese H₁: P₁ <0,9 2. Schritt: Stichprobenumfang ni Signifikanzhiveau of • n = so • α = 5% 3. Schritt Definition zufallsvariable; Ermittlung von Ablehnungs- und Annahmebereich. • X-Anzahl der Patienten, bei denen das Medikament wirkt: P(X≤k) ≤ 0,05 • TR/Tabelle: kum. BV (n=50, p=0,9) → Ablehnungsbereich von 0-40 (≤57) => Annahmebereich von 41-50 4 Schritt Entscheidungsregel; Entscheidung. Entscheidungsregel: Falls das Medikament bei 40 oder weniger Personen wirkt, wird die Hypothese des Herstellers abgelehnt. Falls es bei 41 oder mehr Personen wirkt, wird die Hypothese angenommen. •Entscheidung Da es bei 42 Personen wirkt, sollte die Hypothese des Herstellers angenommen werden. Skizze 0 10 20 30 Ablehnungsbereich Ho (or-fehler) Grenze = -5%⇒Das Signifikanzniveau soll hierbei 5% betragen (d.h. die Summe aller Wskn aus dem Ablehnungsbereich Ho darf maximal 5% betrågen.) hochster Wert voraussichtlich bei 45! 40 50 Annahme bereich Ho (B-Fehler) ->Berechnen von Irrtumswahrscheinlichkeiten: Realität Allgemein: Ho ist wahr Hoist falsch Ho an- genomm richtig B-Fehler en Ho ab- gelelint ar-Fehler richtig ✓ Anhand eines Beispiels: Der Hersteller eines Medikamentes behauptet, dass dieses nur bei höchstens 8% der Patienten z Nebenwirkungen führt. Ein Konkurrent vermutet, dass diese Wisken tu gerigo ist und testet das Medikament bei 70 Personen. Bei 14 Personen treten Nebenwirkungen auf. → Rechtsseitiger Hypothesentest po ≤ 0,08 p*= 0₁2; Ã (11-70); A (0-10) •a-Fehler Man, glaubt " dem Hersteller nicht, dass bei höchstens 8%. Nebenwirkungen auftreten, obwohl dies eigentlich stimmt. Ppo=0,68 (X≥11) = 1- P₁o=0;08 (X≤ 10) = 1 - 0,9772=0,0228 •B-Fehler: Man glaubt" dem Hersteller, obwohl seine Aussage nicht stimmt. 10 p*=20%. Wskin, das Nebenwirkungen auftreten. PP² X ≤10) +0₁ 1468 => Bei linksseitigem Hypothesentest genau. andersrum Hinweis: Ein geringerer Wert des Signifiuanzniveaus or (z. B. (r = 1x) führt zu einem kleineren Ablehnungsbereich. Hierdurch verringert sich die Gefahr, einer or- Fehler zu begehen. ⇒ Zweiseitiger Hypothesentest: •Nun wird in der Aufgabenstellung ein konkreter Wahrscheinlichkeitswert und keine Mindest-bozw. Höchstwahrscheinlichkeit behauptet /angegeben. Somit widersprechen Sowohl sehr große Werte, als auch sehr kleine werte dieser Behauptung/Angabe. Hierbei existiert also ein links- und rechtsseitiger Aldehnungsbereich. Allgemeines Vorgehen. 1. Schritt: Testart "erkennen und Aufstellen der Nullhypothese. Behauptung: Konkrete Wahrscheinlichkeit ist gegeben (Nullhypothere: Ho: Vermutung: Wirkliche Wahrscheinlichkeit ist geringer oder höher als po (Gegenhypothere: H₁ Po...) "Po=...) Skizze: Ablehnungs bereich (links) Ablehnungsbereich (rechts) 2. Schritt: Ablesen des Stichprobenumfangs n (Anzahl der Durchführungen) und der Signifikantniveaus or aus der Aufgabenstellung. (zB: n=30; x = 5%; P₁ = 0₁4) →Geringe und hohe Werte sprechen gegen die Behauptung. 3. Schritt Ermittlung des Ablehnungs- und Annahmebereichs Gegen die Behauptung sprechen geringe Werte Linksseitiger Ablehnungsbereich →Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer darf nicht höher als or/2 sein. P(X≤k) ≤ (Bsp.: 0-6) S und hohe Werte: Rechtsseitiger Ablehnungsbereich Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer darf nicht höher als sein. P(X=k) ≤ (Bsp.: 18-30) 4. Schritt: Ermittlung der Entscheidungsregel. Der Vergleich mit dem konkreten Stichprobenergelonis (siehe Aufgabenstellung) führt zur Entscheidung. (Bsp: Bei einem Wert zwischen 7 und 17 wird die Hypothese angenommen, sonst abgelehnt) 12. Bigma-Regeln (Prognose intervalle für relative Häufigkeiten) →Durch die Sigma-Regeln können ausgehend von der (bekannten), wahren Wahrschein- lichkeit (p) Aussagen in Bezug auf die Ergebnisse einer Stichprobe getätigt werden. wichtige Formeln 1.0-Regel - P (u-1-0 ≤ x ≤ 1 + 1 · 0) = 68,3%, 2.0-Regel P (u - 2. 0 ≤ x ≤ 1+2·0) = 95,47 3.0-Regel: P(4-30 ≤ x ≤ μ + 3·0) = 89,7%. -Anhand einer Skizze: P (X=k) 0 5 10 15 20 2S 30 10-Intervall : [4-1-0; 12+1-0] 20-Intervall: [u-20; U+20] 30-Intervall [u-30; M+38] Faustregel: O-Regeln gelten nur, falls σ>3! =>Beispiel: Ein von der Mikro AG hergestellter Mikrochip ist erfahrungsgemäßs mit einer Wahrscheinlichkeit van 201 fehlerhaft. En kunde bestellt 100 Mikrochips. x gibt die Anzahl der fehlerhaften Mikrochips in der Bestellung an. 1-05-Intervall [20-1-4; 20+1-4] = [16:24] 2-0-Intervall [20-2-4; 20+2-4] = [12; 28] 3-0-Intervall [20-34; 20+3·4] = [8; 32] → μ = n⋅p=100-0,2=20 o = √n-p-(1-P)=√100-0,2-0,8¹ = 4 ✓ Laplace-Bedingung erfullt. → Entsprechend konnen die Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, das mindestens 16 und hochstens 24 Mikrochips fehlerhaft sind, 68, 37.. 13. Prognose intervalle für weitere Wahrscheinlichkeiten bilden. → Entsprechend der Sigma-Regeln können Intervalle der Form [u-c-o; u + c²0] auch für weitere wahrscheinlichkeiten gebildet werden. -Anhand eines Beispiels. Der Hersteller eines Medikaments behauptet, dass diesen nur bei 3% der Patienten Nebenwirkungen verursacht. Die Medikamente werden bei 400 Personen getestet. In welchem Intervall musste die Anzahl an Personen mit Nebenwirkungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegen? → μ = n-p=400-0,03= 12 0=112 0,03-0,97=3₁41>3=> Laplace-Bedingung ist erfullt werden. Tabelle Y = 95² c = 1,96 1.960-Intervall [12-1,96-3,41; 12+1,96 3,41] = [5,32; 18,68] = [6;18] → Mit einer Wahrscheinlichkeit von 957. mussten mindestens 6 und hochstens 18 Personen Nebenwirkungen nachweisen. Tabelle: (Wahrscheinlichkeit) (Faktor für Intervallgrüse) 0,683 0,90 1 (10-Regel) Formel [h-c. The lat h-(1-h) n 120 1500 0,08 -1,64- 0,95 1,64 1,96 14. Vertrauensintervalle (Konfidenzintervalle) für Wahrscheinlichkeiten → In der Realität liegt häufig die wahre bzw. grundsätzliche Wahrscheinlichkeit p nicht vor und muss dementsprechend durch den prozentualen Anteil h in einer Stichprobe abgeschätzt werden. >> Vorgehen 1. Aus der Stichprobe wird der Wert des prozentualen Anteils hermittelt. Dieser Wert wird als erster Schätzwert für p angesehen, er stimmt aber in der Refel nicht genau mit puberein. ;h+c-1 • 2. Um die wahre Wahrscheinlichkeit p eingrenzen zu können, bildet man ein Intervall um h herum (dessen Mitte isth), welches p überdecken (beinhalten) soll. 3. Abhangig von der gewünschten Wahrscheinlichkeit y (Vertraventniveau), mit der das Intervall p überdeckt werden soll, wird dann dessen Große berechnet. P h-(4-6) n 0108-(1-0,08) 1500 0,954 2 (20-Regel) 2,58 7 0,99 0,997 Tabelle = 0,08 ; n = 1500; y=90% ⇒ c = 1,64 3 (30-Regel) 0,08 +1,64.1 Beispiel: •Eine Partei möchte ihr Ergebnis (prozentualer Stimmenanteil) (p) bei der nachsten Bundestagswahl abschätzen. Hierzu werden einige Tage vor der Wahl 1500 Personen nach ihrem Wahlverhalten befragt. 120 Befragte geben an, dass sie diene Partei Wählen werden. Geben Sie ein 90 - Vertrauensintervall für pan. ⇒ h = 0,999 3,29 h: proz. Anteil in Stichprobe n: Stichprobenumfany c: Faktor aus Tabelle (siehe oben) 0,08 (1-00) 1500 2¹] = [0, 069; 0,091] → Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ligt das Wahlergebnis der Partei bei der Bundestagswahl zwischen 6,9% und 9.17... 15. Stichproben umfang und Länge des Vertravens intervalls >> Grundsätzlich sollte eine geringe Große des Vertrauensintervalls angestrelot werden, da hierdurch der abzuschätzende p-Wert starker eingegrenzt wird therzu muss jedoch leider en entsprechend hoher Stichprobenumfang gewählt werden. Mit der nachfolgenden Formel istes möglich, zu einer gegebenen Höchstlänge des Vertrauensintervalls (e) und einem gegebenen C-Wert (aus Tabelle, entsprechendy) den hierfür benötigten Mindeststichprobenumfang (n) zu berechnen. Formel: nz c² (² - Beispiel Ein Kunde möchte die Wahrscheinlichkeit (p), dass ein bei der Mikro AG hergestellter Mikrochip fehlerhaft ist, durch ein 95%- Vertrauensintervall abschätzen. Das Intervall soll hierbei höchstens eine Länge von 10% besitzen. Wie viele Mikrochips müsste er hierfür überprüfen? Y = 0,95 Tabell nz C = 1₁⁹6 = 384,16 1,96 0,10² ⇒ Der Kunde müsste mindestens 385 Mikrochips überprüfen, Zusammenhang : Sigma-Regeln und Vertrauensintervall : Gesamtheit: • Prozentualer Anteil, Wahrscheinlich - 0-Regel keit, dass ein hergestellter Mikrochip fehlerhaft ist (p) ⇒>Wahre Wahrscheinlichkeit bzw. gesamter prozentualer Anteil p. vetravens- intervall Stichprobe Es werden 100 Mikrochips getestet • (Absolute) Anzahl an defekten Mikrochips. (Prozentualer) Anteil an defekten Mikrochips. => →0-Regeln (Absolute) Anzahl in Stichprobe ← Vertravensintervall - (Prozentualer) Anteil in Stichprobe h. ZUSATZ Die Normalverteilung Grundlagen. → Bei der Normalverteilung wird das zugrunde liegende Zufallsexperiment ein Mal durch- geführt. →Die Zufallsvariable gibt den Ausgang (körpergröße der Person) an und kann also sehr Viele verschiedene Werte (auch, Kommazahlen") annehmen. → Im Gegensatz dazu, hat das Zufallsexperiment bei der Binomialverteilung nur 2 mögliche Ausgänge (2.B. Munzwurf) und wird zudem mehrmals durchgeführt, wobel die zufalls- variable die gesamte Anzahl an Treffern (also nur ganzzahlige Werte) angibt. Normalverteilung Dichtefunktion & (Gauß-Kurve) Beispiel: Messung der Körpergröße bei einer zufällig ausgewählten männlichen Person 0,6 0,4 0,2- 1 0,8 0,6 014 0₁2- 0 140 150 160 170 180 190 208 240 220 →Über die Fläche unter der p-kurve können jedoch wahrscheinlichkeiten berechnet werden. (durch Integralfunktion au 4) » Kumulierte " Normalverteilung: Verteilungsfunktion & Ø 140 150 160 170 180 190 200 210 220 Der Bereich um den Erwartungswert (hier u=180cm) hat die größte Wahrscheinlichkeit. Die Standardabweichung (hier o=7,5) bestimmt die Breite der Verteilung Achtung: Funktionswerte von & stellen nicht die Wahr- Scheinlichkeiten der einzelnen Werte dar! → Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Wertes betragt 0% P(x=k)=0 →Grund: Z.B. beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jemand (auf unendlich viele Kommastellen) genau 1,70000000... Om groß ist, 07.. 3. mi Gibt für jeden möglichen Wert der Zufallsvariablen die wahrscheinlichkeit an, dass dieser oder ein geringerer Wert als dieser angenommen wird." P(x≤k) = 4(k)= $(x) dx - 1 *J $ (x) dx -80 BSP P(X≤ 174) = 4 (174)= → Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person höchstens 174 cm groß ist, betraft 21, 197.. ⇒> Unterschied bei den Aufgabentypen der Binomial-und Normalverteilung Bei der Normalverteilung ist der Aufgabentyp P(X=k) nicht aufgeführt, da stets P(X=k)=0 gilt. wegen P(X=k)=0 muss nicht zwischen P(x≤k) und P (X<k) unterschieden werden. Unterschied: Normalverteilung.: P(X= k) = 1- P(X<k) Binomialverteilung: P(xzu) = 1- P(X≤k-1) ~ 0,2119 => Grund: Bei der Binomialverteilung kann die Zufallsvarialde nur ganzzahlige Werte annehmen. Die Normalverteilung für binomialverteilte Probleme nutze 2.0 (mit Stetigkeit korrektur) 1. höchstens k Treffer P(X ≤k) = $ (K-M+0₁5) 2.…, mindestens & Treffer" · P(X2K) = 1- P(xsk-1) = 1 - 4 (4-1-4+0,5) k₁ & Kochst. K₂: P (k₁ ≤X = K₂) = P(X ≤k ₂) - P(X≤k₁) • $ (42-1+0₁5) - $ (41-4²-0,5) ZUSATZ: 1) Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: P(BIA) P(BIA) P(A) P(A) A P(GIA) P(BIA) 2.) Die Sigma-Regel: • μ = Erwartungswert 8 B P(ANB)=P(A) - P(BIA) P(ANB) = P(Ā)- P(BIĀ) diese zwei Pfade führen zu ereignis B => Multiplikationssatz P (B) = P(A) P(BIA) - P(Ā) - P(BIA) → u berechnet man mithilfe von u=n-p In-p-(-p) (meistens 68%) Satz der totalen Wahrscheinlichkeit! Standardabweichung, ist ein Maß dafür, wie stark die Werte einer Zufallsgröße X um den Erwartungswert u streven. Abweichungsgrenzen u-σ sowie μ+0 → Intervallwahrscheinlichkeit mithilfe der kumulierten Binomialverteilung (Werte für x immer die, die naher am Erwartungswert sind.)