Sigma-Umgebung des Erwartungswertes in der Stochastik

Die Sigma-Umgebung ist ein zentrales Konzept in der Stochastik, das die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X um ihren Erwartungswert μ beschreibt. Sie definiert Intervalle, in denen die Werte von X mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten fallen.

Definition: Die σ-Umgebung ist der Bereich um den Erwartungswert μ, der durch die Standardabweichung σ definiert wird.

Für die Anwendung der Sigma-Regeln Binomialverteilung muss zunächst die Laplace-Bedingung erfüllt sein:

Highlight: Die Laplace-Bedingung lautet: σ(x) = √(n·p·(1-p)) > 3

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, gelten folgende Sigma-Regeln Normalverteilung:

1. Etwa 68% der Werte fallen in das 1σ-Intervall [μ-σ, μ+σ]
2. Etwa 95,5% der Werte fallen in das 2σ-Intervall [μ-2σ, μ+2σ]
3. Etwa 99,7% der Werte fallen in das 3σ-Intervall [μ-3σ, μ+3σ]

Example: Bei einer Normalverteilung mit μ = 100 und σ = 10 liegen etwa 68% der Werte zwischen 90 und 110, 95,5% zwischen 80 und 120, und 99,7% zwischen 70 und 130.

Diese Regeln sind besonders nützlich, um die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen vom Erwartungswert einzuschätzen.

Vocabulary:

• Signifikante Abweichung: Werte, die außerhalb der 2σ-Umgebung liegen (nur in etwa 4,5% aller Fälle)
• Hochsignifikante Abweichung: Werte, die außerhalb der 3σ-Umgebung liegen (nur in etwa 0,3% aller Fälle)

Die Sigma Stochastik Formel für die Berechnung der Intervalle lautet:

• 1σ-Intervall: [μ-σ, μ+σ]
• 2σ-Intervall: [μ-2σ, μ+2σ]
• 3σ-Intervall: [μ-3σ, μ+3σ]

Highlight: Die 1 Sigma-Umgebung Prozent beträgt etwa 68%, was bedeutet, dass ungefähr zwei Drittel aller Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen.

Die Sigma-Umgebung Tabelle ist ein nützliches Werkzeug, um diese Wahrscheinlichkeiten schnell nachzuschlagen und zu visualisieren. Sie zeigt die kumulativen Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Sigma-Intervalle.

Quote: "Die Werte von X fallen zu etwa 68% in das 1-σ-Intervall, 95,5% in das 2-σ-Intervall und 99,7% in das 3-σ-Intervall."

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von statistischen Analysen und die Interpretation von Daten in vielen wissenschaftlichen und praktischen Anwendungen. Sie helfen bei der Beantwortung von Fragen wie "Was sind signifikante Abweichungen?" und "Ist 0.05 noch signifikant?" im Kontext der statistischen Inferenz.