Stochastik: Sigma-Umgebung und Laplace-Bedingung erklärt

σ-Umgebung des Erwartungswertes

In der Stochastik bezeichnet die σ-Umgebung die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsgröße X in einem bestimmten Intervall rund um den Erwartungswert μ liegt. Diese Sigma-Regeln gelten für Normalverteilungen und unter bestimmten Bedingungen auch für Binomialverteilungen.

Für die Anwendung bei der Binomialverteilung muss die Laplace-Bedingung erfüllt sein: σ(X) = √$n·p·(1-p)$ > 3. Warum gerade 3? Dies stellt sicher, dass die Binomialverteilung ausreichend gut durch die Normalverteilung angenähert werden kann.

Wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, gelten folgende Sigma-Regeln:

• Etwa 68% aller Werte liegen in der 1-Sigma-Umgebung $μ - σ, μ + σ$
• Etwa 95,5% aller Werte liegen in der 2-Sigma-Umgebung $μ - 2σ, μ + 2σ$
• Etwa 99,7% aller Werte liegen in der 3-Sigma-Umgebung $μ - 3σ, μ + 3σ$

Wichtig zu wissen: Werte, die außerhalb der 2-Sigma-Umgebung liegen, nennt man signifikante Abweichungen (kommen nur in 4,5% der Fälle vor). Werte außerhalb der 3-Sigma-Umgebung sind sogar hochsignifikante Abweichungen (treten nur in 0,3% der Fälle auf). Der p-Wert 0,05 (5%) wird oft als Grenze für Signifikanz verwendet.