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E-Funktionen
31.3.2021
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Klasse 11 Name: Tanja MATHEMATIK LEISTUNGSFACH Aufgabe 2 KLAUSUR NR. 2 /30 VP NP mdl.: Teil A ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 a) Bilde die Ableitungsfunktion von f mit f(x) = (4 + e-³x)5. b) Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungen: i) (x³ 3x) (e5x - 2) = 0 ii) ex 5 = 4e²x 11.12.2019 0 Beachte: Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein! (5,5 VP) (2,5 VP) Eine Funktion f ist durch f(x) = 2 ex-1 mit x E IR gegeben. a) Ermittle die Nullstelle der Funktion f. b) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S(011) begrenzt mit den beiden Koordi- natenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. Aufgabe 3 Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit f(x) = ex + a) Begründe, dass der Graph von f und der Graph der in IR definierten Funktion g mit g(x)=x-1 keinen gemeinsamen Punkt besitzen. b) Zeige, dass die Funktion f auf IR streng monoton wachsend ist. (2 VP) Teil B: mit Hilfsmitteln Aufgabe 4 Untersuche den Graph der Funktion g mit g(x) = 5x e-2x² auf Symmetrie. Aufgabe 5 a) Untersuche für welchen Wert von a E IR besitzt der Graph der Funktion f mit f(x) = x².e-ax einen Extrempunkt an der Stelle x = 1. Bestimme, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt. b) Untersuche für welche Werte k E IR* der Graph der Funktion g mit g(x) = e...
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+ -x 2k²-6 k Aufgabe 6 Bestimme die Ortskurve, auf der alle Extrempunkte der Funktionenschar ft mit . ft(x) = 2x etx liegen. die Gerade y = 4 als waagrechte Asymptote besitzt. Aufgabe 7 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch f(x) = 8x ex und g(x) = 4x² · e-x . Deren Graphen sind in der nebenstehenden Abbildung c=f Viel Erfolg! (1,5 VP) (6 VP) (3 VP) (9,5 VP) dargestellt. a) Begründe, dass C der Graph von f und K der Graph von g ist. b) Gib die Gleichung der Asymptote von K für x → +∞ an und begründe dein Ergebnis. c) Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von C und K. 9 d) Untersuche, ob der Hochpunkt von K mit dem Wendepunkt von C zusammenfällt. Hinweis: Bei der Bestimmung des Wendepunkts genügt es, nur die 2. Ableitung von f zu betrachten. e) Die Gerade mit der Gleichung x = 1 schneidet K in P und C in Q. Die Punkte P und Q und der Ursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks. K= g Mathe Klausur тере а Aufgabe 1: a) f(x) = (4 + 2³x) ³ f'(x) = 5⋅ (U+e³x) • (-3e³x) F b) i) (x³-3x). (5x-2)=0 X-3X=0 x (x²-3) Z₁,2 X₂₁=OF = ex-2=0 esx=2 5X = n 2 Pn 2 Xu ² = 51 их ii) ex-5 = U2x = U±6 2 0=x²-3 3=x²² + √3 = X ₂₁,35 £ 2-√3; 0²-√3; 222} Tea еих - черх -5=0 z = ²x 2²-UZ-5=0 U+√4²-4³ (5)= 2 2,₁ = 10=5r e²x=5 Th ens 2x = X = n5( 2 en s L={5} 25130 NAB 12NP 132 4+√√16+20= U+√36 2 Øs fut 22₂2=²7=²== -1 • e²x +-15 M./12.19 тапза 5.5/5.5 2125 0,512 8/10 Aufgabe 2: f(x) = 2 · eªx -1 ; XER a) 0=2=e³²x-1 1=2-e³² x 1³2 110 1.2 1=e³²x h ₁² = 1 x 2·10 = = xr b) s (011) Skizze: K www y=x+1r 0=x+1 - 1 = x y = 0+1 US (2.ln/10) Tangente: y=mx+c f'(0)=m f'(x) = * ex f(0) = e = 1 y = x+c 1=C 10SP₂ (-110) Spy (011) und jetzt noch die sellussfolgery.. → Aufgabe 3: f(x)= ex + 1x es g b) vehaller f'(x)= ex + √r a 1 jaft was 2 Teil B ~17 g(x)= g²(x) =>@AS aur y-Achse g(x) = - g(x) => PS zum ursprung g(x) = 5x² 22x² g(x) + (9-x) g(x) = -5x²2²²² -9(x) = -5x₁₂2x² Aufgabe 53 a) f(x)=x²₂ax f(1) = 0 0(236) tersaver -ax f'(x) = 2x²e²x + x². eax (a) = kx.ex (2-ax) A 1₁12= g(x) = g(x) => + punktsyn. zum ursprung EP € bei X=1 0=2~a 9=2 r -ax f" (x) = 4²2. e^x + 2ו(-a.ex) + 2x. (a₁e²x) + x².9 ².29x =ex (2+2x² (-a) + 2xta) + x ² a ²) -200x f" (1) = ē (2 +2² (-2) + 2² (-2) + 12²) = 0=ea (2-a) O =e² (2-U-U+U) = e²² (-2) =-26² <0 =) | Maximum r Al b) KER²; y=4 U = 26²-6 lok 4wk=21²-6 1-4k 0=2k²-Uk-6 U±8 u 4± √√√4²-4-2-(-6) 4₁=3 Tanja - 1,5/1,5 9+√√16+48 1+√64 u и 1₂ = -1 (1) Tecat in Afgabe = 5,516 Aufgabe 6: 2 petex - (x) = 2x. e²x = xxx = x²e²x t *²(x) = (2+1+²^² + 2x - (-²3). e²x + (2x. +²^²) tetx = exx ( (2t^² + 2x² (4²) ) + (2x+²^2)++) = 6tx ( f (x) = ² · ²x + ²x. exp.t = Ze²x + 2x² etx = ²e²x (²/² + 2x) 0= exx (²+2x) #0 0= ² + 2x =-=-=—7/2=2 x 1/2/2 -1/2 = xr {"(x)= tex (²+2x) + etx=2 etx ((t₂ (²+2x) + 2) = etx (€2+2+x+2) = etx (2tx +4) +₂" (-4)= €²²-²) ( 24 ( 4 ) + 4) e f₂ ( 4 ) = ² · ( 4 ) , e ² (4) -^ er ---/7/2 · (²¹) x= -4 y=-2/2 ·é ¹/ €4 = è (2+4) e^₁ · 2 = 2 e^ >0 HP (-41-e¹)-) => 警 sehr gut! 313 XAR ²6=-1 2 -2 y= = ² ²₁ · ²¹ = ² · e ¹² = -2x²¹²² é1 1 7² Aufgabe 7: f(x)= 8x²2x g(x)=4x² ex a) zum von , well dieser g sof das kann way so thter nicht vaja Zwer Extrempuncte hat und die höchste Potenz ** 2 ist. C dan it) ( gehört zum Graph ven f, da de teren bel by Ax>-∞o f(x) →. -∞ gilt. Ajuurutation b) y=0 (waag, Asymptote), were der Graph von nicht AA Rin y-Richtung verschoben ist 8 f(x) = g(x) extor 8x¹ ex = Ux²₂ex 81=9x² 1-8x Dg c) 0-Ux²-8x = x (Ux-8) X₂₁ For f(0) = 0 f(2)= 16 e ² bex 0=UX-8 8=их ви 2x₂ SP, (010) r SP₂ (2116-e²) F d) f'(x) = 8³ex + 8x² (-ex) = 8 8ex (1+-x) f" (x) = -8ex (1-x) + 8ēו (-1) =-8ex (1-x) #-8ex =-8ē*(1-x+1) = -8e^(-x³²+2) g₁W) = 8x²ex + 4x ². ex =ex (8x-4x²) g" (x) = - e^ (8x - 4x²) + ex.: (8 −8×) = ex (€8x³+4x²+8-8x) ex (Ux²-16x+8) Du hast leider hat Kuud C veltaust. 719,5 weiter Aufgabe 73 00HP von K → f'(x)=0 f"(x) +0 f 17120 0= 8ex (1-x) #0 0=1-x X=1 f(1) = -8e1¹ (1+2) = -8e^ <0 => HP (118e^ f(1) = 8°ē^ WP von (→ ƒ" (x) = 0 0=ex (Ux²-16x+8) 0=4x²-16x+8 X ₁/2 = 16 ± √√16²-4.4-8 = 16 ± √√128 $ 8 8 X₁ = ~²13, 31(0) X₂~0,589 e) f(1) = 8² e^ g(1₁) = 4.e^ = 16 ± √256-128 118 8 KOPAS Ber Q (118e^) r P (114₂6¹)