Kreuzprodukt und Lagebeziehungen
Kreuzprodukt
Formel:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$
Entscheidende Formel: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Diese Normalenvektor Formel ist fundamental für die Umwandlung von Parameterform in Normalenform einer Ebene.
Lagebeziehungen zwischen Ebenen
Gegeben: Zwei Ebenen E und F mit Normalenvektoren $\vec{n_E}$ und $\vec{n_F}$
Gesucht: Lagebeziehung
Fall 1: $\vec{n_E} \times \vec{n_F} \neq \vec{0}$
- E und F schneiden sich in einer Schnittgeraden
Fall 2: $\vec{n_E} \parallel \vec{n_F}$
- Überprüfen, ob die Koordinatengleichungen ein Vielfaches voneinander sind
- Fall 2a: Vielfache voneinander → E und F sind identisch
- Fall 2b: Kein Vielfaches → E und F sind echt parallel
Beispiel:
$\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$
Prüfung auf Kollinearität:
$\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$
Dies führt zu den Gleichungen:
- 1 = r · (-0,5)
- 2 = r · (-1)
- 4 = r · (-2)
Alle Gleichungen führen zu r = -2, daher sind die Normalenvektoren kollinear.
Systematische Übersicht aller Lagebeziehungen
Die Lagebeziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten lassen sich wie folgt kategorisieren:
- Punkt - Gerade: Punkt liegt auf oder nicht auf der Geraden
- Punkt - Ebene: Punkt liegt in oder nicht in der Ebene
- Gerade - Gerade: parallel, identisch, schneidend oder windschief
- Gerade - Ebene: parallel, in der Ebene liegend oder schneidend
- Ebene - Ebene: parallel, identisch oder schneidend in einer Geraden
Gefälle
Die Steigung (Gefälle) wird berechnet als:
$\tan \alpha = \frac{|CB|}{|AB|}$