Winkelberechnung und Lagebeziehungen

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Punktprobe mit Parameterform:

1. Punkt mit Ebene gleichsetzen
2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
3. Ist das System lösbar → Punkt liegt in der Ebene
4. Ergibt sich ein Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(1|1|4|4), E: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix}$

Punktprobe mit Koordinatenform:

1. Punkt für x, y, z in die Ebenengleichung einsetzen
2. Wahre Aussage → Punkt liegt in der Ebene
3. Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(2|-1|-1), E: 2x + y - 3z = 5 2 · 2 + (-1) - 3 · (-1) = 5 4 - 1 + 3 = 6 ≠ 5 → P liegt nicht in E

Schlüsselformeln für Winkel: Die Winkelberechnung zwischen geometrischen Objekten ist entscheidend für die Bestimmung ihrer Lagebeziehungen und erfolgt über das Skalarprodukt ihrer charakteristischen Vektoren.

Winkelberechnung zwischen geometrischen Objekten:

1. Allgemeine Formel: $\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

2. Zwischen zwei Geraden: Für Geraden $\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u}$ und $\vec{h}: \vec{x} = \vec{b} + r\vec{v}$ $\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

3. Zwischen zwei Ebenen: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$

4. Zwischen Gerade und Ebene: Für Ebene E: $(\vec{x} - \vec{x}_0) \cdot \vec{n} = 0$ und Gerade $\vec{h}: \vec{x} = \vec{b} + r\vec{v}$ $\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

Mittelwertberechnung von Vektoren:

$\vec{x} = \vec{a} + r\vec{AB}$ $\vec{x} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ $\vec{x} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{\vec{b}}{2}$

Schnittpunkt und Lagebeziehungen von Ebenen

Schnittpunkt von zwei Ebenen

1. E₁ in Koordinatenform, E₂ in Parameterform
2. E₂ in E₁ einsetzen für x, y, z
3. Parameter r und s bestimmen
4. In E₂ einsetzen → Schnittgerade

Methode zur Lagebestimmung: Um die Lagebeziehung Ebene Ebene zu bestimmen, untersucht man das Verhältnis ihrer Normalenvektoren und prüft, ob bestimmte Punkte in beiden Ebenen liegen.

Parallele und identische Ebenen

1. Schnittgerade ermitteln
2. Führt dies zu einer wahren Aussage → E₁ und E₂ identisch
3. Führt es zu einem Widerspruch → E₁ und E₂ echt parallel

Kennzeichen paralleler Ebenen:

• Normalenvektoren sind kollinear (proportional zueinander)
• Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene

Orthogonale Ebenen

• Die Normalenvektoren stehen senkrecht aufeinander (Skalarprodukt = 0)

Beispiel: E₁: 2x - y - z = -1 E₂: Ebene durch A(3|4|2) orthogonal zu E₁

• Normalenvektor von E₂ muss orthogonal zu Normalenvektor von E₁ sein

Spurgeraden

• Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen
• Ansatz für g_xy: z = 0 in die Ebenengleichung einsetzen
• Ansatz für g_xz: y = 0 einsetzen
• Ansatz für g_yz: x = 0 einsetzen

Ebenenscharen

Eine Ebenenschar E_λ besteht aus unendlich vielen parallelen oder sich in einer Gerade schneidenden Ebenen:

• Punktprobe: P in E_λ einsetzen
• Orthogonalität: n_E_λ = k · RV_g
• Ursprungsebene: λ = 0, wenn Koordinatenursprung in der Ebene

Beispiel: E: 2x + 2y + z = 2λ + 4 Koordinatenursprung in E: 2λ + 4 = 0 → λ = -2

Kreuzprodukt und Lagebeziehungen

Kreuzprodukt

Formel: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

Entscheidende Formel: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Diese Normalenvektor Formel ist fundamental für die Umwandlung von Parameterform in Normalenform einer Ebene.

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Gegeben: Zwei Ebenen E und F mit Normalenvektoren $\vec{n_E}$ und $\vec{n_F}$ Gesucht: Lagebeziehung

Fall 1: $\vec{n_E} \times \vec{n_F} \neq \vec{0}$

• E und F schneiden sich in einer Schnittgeraden

Fall 2: $\vec{n_E} \parallel \vec{n_F}$

• Überprüfen, ob die Koordinatengleichungen ein Vielfaches voneinander sind
  • Fall 2a: Vielfache voneinander → E und F sind identisch
  • Fall 2b: Kein Vielfaches → E und F sind echt parallel

Beispiel: $\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$

Prüfung auf Kollinearität: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$

Dies führt zu den Gleichungen:

• 1 = r · (-0,5)
• 2 = r · (-1)
• 4 = r · (-2)

Alle Gleichungen führen zu r = -2, daher sind die Normalenvektoren kollinear.

Systematische Übersicht aller Lagebeziehungen

Die Lagebeziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten lassen sich wie folgt kategorisieren:

1. Punkt - Gerade: Punkt liegt auf oder nicht auf der Geraden
2. Punkt - Ebene: Punkt liegt in oder nicht in der Ebene
3. Gerade - Gerade: parallel, identisch, schneidend oder windschief
4. Gerade - Ebene: parallel, in der Ebene liegend oder schneidend
5. Ebene - Ebene: parallel, identisch oder schneidend in einer Geraden

Gefälle

Die Steigung (Gefälle) wird berechnet als: $\tan \alpha = \frac{|CB|}{|AB|}$