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Ebene und deren mathematische Darstellung

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Mailin

25.12.2021

Mathe

Ebenen

Ebene und deren mathematische Darstellung

In der analytischen Geometrie sind Ebenen und ihre verschiedenen Darstellungsformen ein zentrales Thema. Die Umwandlung zwischen Parameterform, Normalenform und Koordinatenform ist essentiell für die Analyse von Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung behandelt umfassend, wie man Ebenen darstellt, Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen berechnet, Normalenvektoren bestimmt und die verschiedenen Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten analysiert. Besonders wichtig sind dabei die mathematischen Methoden zur Umwandlung der verschiedenen Darstellungsformen und die Analyse von Schnittmengen.

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25.12.2021

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·= ( :) + r ( i ) +² (; )
Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
^ . ( ² ) . ñ.

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Grundformen von Ebenen

Die Ebene kann in verschiedenen mathematischen Formen dargestellt werden:

  • Parameterform der Ebene: E: $\vec{x} = \vec{a} + r\vec{b} + s\vec{c}$
  • Normalengleichung: E: $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$
  • Koordinatengleichung: E: $ax + by + cz = d$; mit $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}$
  • Dreipunktgleichung: E: $\vec{x} = \vec{a} + r(\vec{b} - \vec{a}) + s(\vec{c} - \vec{a})$
  • Achsenabschnittsform: E: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Besondere Bedingungen: Ein Punkt liegt in einem Dreieck ABC, wenn seine Parameterwerte $r$ und $s$ folgende Bedingungen erfüllen: $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq s \leq 1$ und $0 \leq r + s \leq 1$.

Für ein Parallelogramm ABCD gelten einfachere Bedingungen:

  • $0 \leq r \leq 1$ und $0 \leq s \leq 1$

Umwandlungen zwischen den verschiedenen Darstellungsformen:

  1. Parameterform in Normalenform:

    • Bestimme den Normalenvektor durch Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
    • Übernimm den Stützvektor, setze den Normalenvektor ein
  2. Normalenform in Parameterform:

    • Bestimme die Richtungsvektoren orthogonal zum Normalenvektor
    • Behalte den Stützvektor bei
  3. Normalenform in Koordinatenform:

    • Vereinfache zu $\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$
    • Schreibe als $ax + by + cz = d$
  4. Koordinatenform in Normalenform:

    • Drücke die linke Seite als Skalarprodukt aus
    • Wähle einen geeigneten Stützvektor

Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene kann sein:

  • Parallel: Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor sind orthogonal
  • Gerade liegt in der Ebene: Parallel und Stützvektor liegt in der Ebene
  • Schnitt in einem Punkt: Berechnung durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung
·= ( :) + r ( i ) +² (; )
Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
^ . ( ² ) . ñ.

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Winkelberechnung und Lagebeziehungen

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Punktprobe mit Parameterform:

  1. Punkt mit Ebene gleichsetzen
  2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
  3. Ist das System lösbar → Punkt liegt in der Ebene
  4. Ergibt sich ein Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(1|1|4|4), E: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix}$

Punktprobe mit Koordinatenform:

  1. Punkt für x, y, z in die Ebenengleichung einsetzen
  2. Wahre Aussage → Punkt liegt in der Ebene
  3. Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(2|-1|-1), E: 2x + y - 3z = 5 2 · 2 + (-1) - 3 · (-1) = 5 4 - 1 + 3 = 6 ≠ 5 → P liegt nicht in E

Schlüsselformeln für Winkel: Die Winkelberechnung zwischen geometrischen Objekten ist entscheidend für die Bestimmung ihrer Lagebeziehungen und erfolgt über das Skalarprodukt ihrer charakteristischen Vektoren.

Winkelberechnung zwischen geometrischen Objekten:

  1. Allgemeine Formel: $\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

  2. Zwischen zwei Geraden: Für Geraden $\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u}$ und $\vec{h}: \vec{x} = \vec{b} + r\vec{v}$ $\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

  3. Zwischen zwei Ebenen: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$

  4. Zwischen Gerade und Ebene: Für Ebene E: $(\vec{x} - \vec{x}_0) \cdot \vec{n} = 0$ und Gerade $\vec{h}: \vec{x} = \vec{b} + r\vec{v}$ $\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

Mittelwertberechnung von Vektoren:

$\vec{x} = \vec{a} + r\vec{AB}$ $\vec{x} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ $\vec{x} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{\vec{b}}{2}$

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Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
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Punktprobe und Schnittpunktberechnung

Punktprobe mit Normalenform

  1. Punkt in die Normalengleichung einsetzen
  2. Wahre Aussage → Punkt liegt in der Ebene
  3. Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(1|4|0), E: $(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$

P in E: $(\begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$ $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$ → P liegt in E

Wichtige Methode: Die Berechnung des Schnittpunkts zwischen Gerade und Ebene ist einer der wichtigsten Schritte bei der Analyse von Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum.

Schnittpunktberechnung zwischen Gerade und Ebene

  1. Ebene in Koordinatenform umwandeln
  2. Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen
  3. Nach dem Parameter r auflösen
  4. Parameterwert in die Geradengleichung einsetzen → Schnittpunkt S

Beispiel für die Schnittpunktberechnung: g: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -2 \end{pmatrix}$ E: $(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$

Einsetzen und auflösen ergibt r = -2, Schnittpunkt F(0|-1|5)

Untersuchung auf Parallelität zwischen Gerade und Ebene

  • Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist
  • Mathematisch: $\vec{RV_g} \cdot \vec{n_E} = 0$

Beispiel: Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$ Normalenvektor: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}$ Skalarprodukt: $1 + 4 - 3 = 2 \neq 0$ → nicht parallel

Definition paralleler Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn:

  • Sie in einer Ebene liegen
  • Sie sich nicht schneiden
  • Zwei Geraden sind "echt parallel", wenn sie parallel, aber nicht identisch sind
·= ( :) + r ( i ) +² (; )
Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
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Schnittpunkt und Lagebeziehungen von Ebenen

Schnittpunkt von zwei Ebenen

  1. E₁ in Koordinatenform, E₂ in Parameterform
  2. E₂ in E₁ einsetzen für x, y, z
  3. Parameter r und s bestimmen
  4. In E₂ einsetzen → Schnittgerade

Methode zur Lagebestimmung: Um die Lagebeziehung Ebene Ebene zu bestimmen, untersucht man das Verhältnis ihrer Normalenvektoren und prüft, ob bestimmte Punkte in beiden Ebenen liegen.

Parallele und identische Ebenen

  1. Schnittgerade ermitteln
  2. Führt dies zu einer wahren Aussage → E₁ und E₂ identisch
  3. Führt es zu einem Widerspruch → E₁ und E₂ echt parallel

Kennzeichen paralleler Ebenen:

  • Normalenvektoren sind kollinear (proportional zueinander)
  • Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene

Orthogonale Ebenen

  • Die Normalenvektoren stehen senkrecht aufeinander (Skalarprodukt = 0)

Beispiel: E₁: 2x - y - z = -1 E₂: Ebene durch A(3|4|2) orthogonal zu E₁

  • Normalenvektor von E₂ muss orthogonal zu Normalenvektor von E₁ sein

Spurgeraden

  • Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen
  • Ansatz für g_xy: z = 0 in die Ebenengleichung einsetzen
  • Ansatz für g_xz: y = 0 einsetzen
  • Ansatz für g_yz: x = 0 einsetzen

Ebenenscharen

Eine Ebenenschar E_λ besteht aus unendlich vielen parallelen oder sich in einer Gerade schneidenden Ebenen:

  • Punktprobe: P in E_λ einsetzen
  • Orthogonalität: n_E_λ = k · RV_g
  • Ursprungsebene: λ = 0, wenn Koordinatenursprung in der Ebene

Beispiel: E: 2x + 2y + z = 2λ + 4 Koordinatenursprung in E: 2λ + 4 = 0 → λ = -2

·= ( :) + r ( i ) +² (; )
Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
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Kreuzprodukt und Lagebeziehungen

Kreuzprodukt

Formel: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

Entscheidende Formel: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Diese Normalenvektor Formel ist fundamental für die Umwandlung von Parameterform in Normalenform einer Ebene.

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Gegeben: Zwei Ebenen E und F mit Normalenvektoren $\vec{n_E}$ und $\vec{n_F}$ Gesucht: Lagebeziehung

Fall 1: $\vec{n_E} \times \vec{n_F} \neq \vec{0}$

  • E und F schneiden sich in einer Schnittgeraden

Fall 2: $\vec{n_E} \parallel \vec{n_F}$

  • Überprüfen, ob die Koordinatengleichungen ein Vielfaches voneinander sind
    • Fall 2a: Vielfache voneinander → E und F sind identisch
    • Fall 2b: Kein Vielfaches → E und F sind echt parallel

Beispiel: $\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$

Prüfung auf Kollinearität: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$

Dies führt zu den Gleichungen:

  • 1 = r · (-0,5)
  • 2 = r · (-1)
  • 4 = r · (-2)

Alle Gleichungen führen zu r = -2, daher sind die Normalenvektoren kollinear.

Systematische Übersicht aller Lagebeziehungen

Die Lagebeziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten lassen sich wie folgt kategorisieren:

  1. Punkt - Gerade: Punkt liegt auf oder nicht auf der Geraden
  2. Punkt - Ebene: Punkt liegt in oder nicht in der Ebene
  3. Gerade - Gerade: parallel, identisch, schneidend oder windschief
  4. Gerade - Ebene: parallel, in der Ebene liegend oder schneidend
  5. Ebene - Ebene: parallel, identisch oder schneidend in einer Geraden

Gefälle

Die Steigung (Gefälle) wird berechnet als: $\tan \alpha = \frac{|CB|}{|AB|}$

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Mathe

2.726

25. Dez. 2021

6 Seiten

Ebene und deren mathematische Darstellung

M

Mailin

@mailin_higv

In der analytischen Geometrie sind Ebenen und ihre verschiedenen Darstellungsformen ein zentrales Thema. Die Umwandlung zwischen Parameterform, Normalenform und Koordinatenform ist essentiell für die Analyse von Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum. Diese Zusammenfassung behandelt umfassend, wie man Ebenen darstellt, Schnittpunkte zwischen

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·= ( :) + r ( i ) +² (; )
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Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
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Grundformen von Ebenen

Die Ebene kann in verschiedenen mathematischen Formen dargestellt werden:

  • Parameterform der Ebene: E: $\vec{x} = \vec{a} + r\vec{b} + s\vec{c}$
  • Normalengleichung: E: $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$
  • Koordinatengleichung: E: $ax + by + cz = d$; mit $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}$
  • Dreipunktgleichung: E: $\vec{x} = \vec{a} + r(\vec{b} - \vec{a}) + s(\vec{c} - \vec{a})$
  • Achsenabschnittsform: E: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Besondere Bedingungen: Ein Punkt liegt in einem Dreieck ABC, wenn seine Parameterwerte $r$ und $s$ folgende Bedingungen erfüllen: $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq s \leq 1$ und $0 \leq r + s \leq 1$.

Für ein Parallelogramm ABCD gelten einfachere Bedingungen:

  • $0 \leq r \leq 1$ und $0 \leq s \leq 1$

Umwandlungen zwischen den verschiedenen Darstellungsformen:

  1. Parameterform in Normalenform:

    • Bestimme den Normalenvektor durch Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
    • Übernimm den Stützvektor, setze den Normalenvektor ein
  2. Normalenform in Parameterform:

    • Bestimme die Richtungsvektoren orthogonal zum Normalenvektor
    • Behalte den Stützvektor bei
  3. Normalenform in Koordinatenform:

    • Vereinfache zu $\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$
    • Schreibe als $ax + by + cz = d$
  4. Koordinatenform in Normalenform:

    • Drücke die linke Seite als Skalarprodukt aus
    • Wähle einen geeigneten Stützvektor

Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene kann sein:

  • Parallel: Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor sind orthogonal
  • Gerade liegt in der Ebene: Parallel und Stützvektor liegt in der Ebene
  • Schnitt in einem Punkt: Berechnung durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung
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Winkelberechnung und Lagebeziehungen

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Punktprobe mit Parameterform:

  1. Punkt mit Ebene gleichsetzen
  2. Gleichungssystem aufstellen und lösen
  3. Ist das System lösbar → Punkt liegt in der Ebene
  4. Ergibt sich ein Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(1|1|4|4), E: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{pmatrix}$

Punktprobe mit Koordinatenform:

  1. Punkt für x, y, z in die Ebenengleichung einsetzen
  2. Wahre Aussage → Punkt liegt in der Ebene
  3. Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(2|-1|-1), E: 2x + y - 3z = 5 2 · 2 + (-1) - 3 · (-1) = 5 4 - 1 + 3 = 6 ≠ 5 → P liegt nicht in E

Schlüsselformeln für Winkel: Die Winkelberechnung zwischen geometrischen Objekten ist entscheidend für die Bestimmung ihrer Lagebeziehungen und erfolgt über das Skalarprodukt ihrer charakteristischen Vektoren.

Winkelberechnung zwischen geometrischen Objekten:

  1. Allgemeine Formel: $\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

  2. Zwischen zwei Geraden: Für Geraden $\vec{g}: \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u}$ und $\vec{h}: \vec{x} = \vec{b} + r\vec{v}$ $\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

  3. Zwischen zwei Ebenen: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$

  4. Zwischen Gerade und Ebene: Für Ebene E: $(\vec{x} - \vec{x}_0) \cdot \vec{n} = 0$ und Gerade $\vec{h}: \vec{x} = \vec{b} + r\vec{v}$ $\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

Mittelwertberechnung von Vektoren:

$\vec{x} = \vec{a} + r\vec{AB}$ $\vec{x} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ $\vec{x} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{\vec{b}}{2}$

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Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
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Punktprobe und Schnittpunktberechnung

Punktprobe mit Normalenform

  1. Punkt in die Normalengleichung einsetzen
  2. Wahre Aussage → Punkt liegt in der Ebene
  3. Widerspruch → Punkt liegt nicht in der Ebene

Beispiel: P(1|4|0), E: $(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$

P in E: $(\begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$ $\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$ → P liegt in E

Wichtige Methode: Die Berechnung des Schnittpunkts zwischen Gerade und Ebene ist einer der wichtigsten Schritte bei der Analyse von Lagebeziehungen im dreidimensionalen Raum.

Schnittpunktberechnung zwischen Gerade und Ebene

  1. Ebene in Koordinatenform umwandeln
  2. Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen
  3. Nach dem Parameter r auflösen
  4. Parameterwert in die Geradengleichung einsetzen → Schnittpunkt S

Beispiel für die Schnittpunktberechnung: g: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -2 \end{pmatrix}$ E: $(\vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 0 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} -1 \ 3 \ 2 \end{pmatrix} = 0$

Einsetzen und auflösen ergibt r = -2, Schnittpunkt F(0|-1|5)

Untersuchung auf Parallelität zwischen Gerade und Ebene

  • Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist
  • Mathematisch: $\vec{RV_g} \cdot \vec{n_E} = 0$

Beispiel: Richtungsvektor: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}$ Normalenvektor: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -1 \end{pmatrix}$ Skalarprodukt: $1 + 4 - 3 = 2 \neq 0$ → nicht parallel

Definition paralleler Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn:

  • Sie in einer Ebene liegen
  • Sie sich nicht schneiden
  • Zwei Geraden sind "echt parallel", wenn sie parallel, aber nicht identisch sind
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Schnittpunkt und Lagebeziehungen von Ebenen

Schnittpunkt von zwei Ebenen

  1. E₁ in Koordinatenform, E₂ in Parameterform
  2. E₂ in E₁ einsetzen für x, y, z
  3. Parameter r und s bestimmen
  4. In E₂ einsetzen → Schnittgerade

Methode zur Lagebestimmung: Um die Lagebeziehung Ebene Ebene zu bestimmen, untersucht man das Verhältnis ihrer Normalenvektoren und prüft, ob bestimmte Punkte in beiden Ebenen liegen.

Parallele und identische Ebenen

  1. Schnittgerade ermitteln
  2. Führt dies zu einer wahren Aussage → E₁ und E₂ identisch
  3. Führt es zu einem Widerspruch → E₁ und E₂ echt parallel

Kennzeichen paralleler Ebenen:

  • Normalenvektoren sind kollinear (proportional zueinander)
  • Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene

Orthogonale Ebenen

  • Die Normalenvektoren stehen senkrecht aufeinander (Skalarprodukt = 0)

Beispiel: E₁: 2x - y - z = -1 E₂: Ebene durch A(3|4|2) orthogonal zu E₁

  • Normalenvektor von E₂ muss orthogonal zu Normalenvektor von E₁ sein

Spurgeraden

  • Spurgeraden sind die Schnittlinien einer Ebene mit den Koordinatenebenen
  • Ansatz für g_xy: z = 0 in die Ebenengleichung einsetzen
  • Ansatz für g_xz: y = 0 einsetzen
  • Ansatz für g_yz: x = 0 einsetzen

Ebenenscharen

Eine Ebenenschar E_λ besteht aus unendlich vielen parallelen oder sich in einer Gerade schneidenden Ebenen:

  • Punktprobe: P in E_λ einsetzen
  • Orthogonalität: n_E_λ = k · RV_g
  • Ursprungsebene: λ = 0, wenn Koordinatenursprung in der Ebene

Beispiel: E: 2x + 2y + z = 2λ + 4 Koordinatenursprung in E: 2λ + 4 = 0 → λ = -2

·= ( :) + r ( i ) +² (; )
Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
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Kreuzprodukt und Lagebeziehungen

Kreuzprodukt

Formel: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$

Entscheidende Formel: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Diese Normalenvektor Formel ist fundamental für die Umwandlung von Parameterform in Normalenform einer Ebene.

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Gegeben: Zwei Ebenen E und F mit Normalenvektoren $\vec{n_E}$ und $\vec{n_F}$ Gesucht: Lagebeziehung

Fall 1: $\vec{n_E} \times \vec{n_F} \neq \vec{0}$

  • E und F schneiden sich in einer Schnittgeraden

Fall 2: $\vec{n_E} \parallel \vec{n_F}$

  • Überprüfen, ob die Koordinatengleichungen ein Vielfaches voneinander sind
    • Fall 2a: Vielfache voneinander → E und F sind identisch
    • Fall 2b: Kein Vielfaches → E und F sind echt parallel

Beispiel: $\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$

Prüfung auf Kollinearität: $\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 4 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -0,5 \ -1 \ -2 \end{pmatrix}$

Dies führt zu den Gleichungen:

  • 1 = r · (-0,5)
  • 2 = r · (-1)
  • 4 = r · (-2)

Alle Gleichungen führen zu r = -2, daher sind die Normalenvektoren kollinear.

Systematische Übersicht aller Lagebeziehungen

Die Lagebeziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten lassen sich wie folgt kategorisieren:

  1. Punkt - Gerade: Punkt liegt auf oder nicht auf der Geraden
  2. Punkt - Ebene: Punkt liegt in oder nicht in der Ebene
  3. Gerade - Gerade: parallel, identisch, schneidend oder windschief
  4. Gerade - Ebene: parallel, in der Ebene liegend oder schneidend
  5. Ebene - Ebene: parallel, identisch oder schneidend in einer Geraden

Gefälle

Die Steigung (Gefälle) wird berechnet als: $\tan \alpha = \frac{|CB|}{|AB|}$

·= ( :) + r ( i ) +² (; )
Parameter form : E: x² =
Normalengleichung: E: (²-a)· 7:0
Koordinatengleichung: E. ax + by + cz = d
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Flächeninhalt-Formeln

Quadrat

  • Umfang: U = 4a
  • Flächeninhalt: A = a²

Rechteck

  • Umfang: U = 2(a+b)
  • Flächeninhalt: A = ab

Parallelogramm

  • Umfang: U = 2(a+b)
  • Flächeninhalt: A = a·h = |a×b|

Vektorrechnung in der Flächenberechnung: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms kann als Betrag des Kreuzprodukts seiner Seitenvektoren |a×b| berechnet werden. Diese Methode verbindet die Vektorrechnung mit der Flächenberechnung und ist besonders nützlich in der analytischen Geometrie.

Dreieck

  • Umfang: U = a+b+c
  • Flächeninhalt: A = $\frac{c·h}{2}$ = $\frac{|a×b|}{2}$

Gleichschenkliges Dreieck

  • Umfang: U = 2a+c

Raute

  • Umfang: U = 4a
  • Flächeninhalt: A = $\frac{d_1·d_2}{2}$, wobei d₁ und d₂ die Diagonalen sind

Trapez

  • Umfang: U = a+b+c+d
  • Flächeninhalt: A = $\frac{a+c}{2}$·h, wobei a und c die parallelen Seiten sind

Drache

  • Umfang: U = 2(a+b)
  • Flächeninhalt: A = $\frac{d_1·d_2}{2}$, wobei d₁ und d₂ die Diagonalen sind

Dreidimensionale Körper

Spat

  • Volumen: V = |(a×b)·c|, wobei a, b und c die drei Kantenvektoren sind

Pyramide

  • Volumen: V = $\frac{G·h}{3}$, wobei G die Grundfläche und h die Höhe ist

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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