Seite 1: Aufgabenstellung der Vektoren-Klausur

Die erste Seite der Vektoren Klausur mit Lösungen enthält die Aufgabenstellungen für fünf komplexe Aufgaben im Bereich der analytischen Geometrie.

Highlight: Die Klausur deckt ein breites Spektrum an Themen ab, von Ebenengleichungen bis hin zu Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen.

Aufgabe 1 fordert das Aufstellen einer Parametergleichung für eine durch drei Punkte gegebene Ebene.

Example: Eine Ebene E ist durch die Punkte A(1|-1|2), B(4|-5|8) und C(-3|0|1) festgelegt.

Aufgabe 2 beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene, wobei der Schnittpunkt ermittelt werden soll.

Aufgabe 3 verlangt eine Erläuterung, wie man anhand der Gleichungen erkennen kann, ob eine Gerade eine Ebene orthogonal schneidet.

Vocabulary: Orthogonal bedeutet im rechten Winkel zueinander stehend.

In Aufgabe 4 sollen Schnittpunkte und Schnittgeraden von Ebenen bestimmt werden.

Die letzte Aufgabe erfordert die Zuordnung von Ebenengleichungen zu grafischen Darstellungen und eine Begründung der Entscheidung.

Definition: Eine Ebenengleichung ist eine mathematische Formel, die alle Punkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt.

Seite 3: Fortsetzung der Lösungen für Aufgabe 2 und 3

Diese Seite setzt die Lösungen der Mathe Klausur Klasse 12 Analysis fort, mit Fokus auf Aufgabe 2b und Aufgabe 3.

Für Aufgabe 2b wird detailliert gezeigt, wie man beweist, dass die Gerade h parallel zur Ebene E verläuft:

1. Die Koordinaten der Geradengleichung werden in die Ebenengleichung eingesetzt.
2. Es wird gezeigt, dass dies zu einer falschen Aussage führt, unabhängig vom Parameter r.
3. Daraus wird geschlossen, dass die Gerade h parallel zur Ebene E verläuft.

Highlight: Die Parallelität von Gerade und Ebene wird durch eine Widerspruchsbeweisführung nachgewiesen.

Aufgabe 3 erfordert eine Erläuterung, wie man an den Gleichungen einer Geraden und einer Ebene erkennen kann, ob sie sich orthogonal schneiden:

1. Es wird erklärt, dass man aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ermitteln kann.
2. Wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel sind (also Vielfache voneinander), schneiden sie sich orthogonal.

Definition: Orthogonalität bedeutet, dass zwei Vektoren oder geometrische Objekte im rechten Winkel zueinander stehen.

Vocabulary: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene liegen.

Diese Aufgabe demonstriert das Verständnis für die geometrische Bedeutung der algebraischen Darstellungen von Geraden und Ebenen.