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Lerne die Welt der Parameterformen und Ebenen kennen: Einfach erklärt!

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Amy

3.1.2022

Mathe

Ebenen Mathe Klausur

Lerne die Welt der Parameterformen und Ebenen kennen: Einfach erklärt!

Die Klausur behandelt verschiedene Aspekte der analytischen Geometrie, insbesondere die Parametergleichung der Ebene bestimmen, Normalen- und Koordinatengleichung einer Ebene sowie die Beziehungen zwischen Geraden und Ebenen.

  • Aufgaben umfassen die Bestimmung von Ebenengleichungen, Schnittpunkten und Schnittgeraden
  • Konzepte wie Normalenvektoren, Orthogonalität und Parallelität werden behandelt
  • Praktische Anwendungen beinhalten die Analyse von Lagebeziehungen zwischen Ebenen
...

3.1.2022

5600

M
N.
Viel Erfolg!
Zur vollständigen Lösung gehört ein nachvollziehbarer und gegebenenfalls kommentierter Lösungsweg.
Aufgabe 1
a) Eine Ebene

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Seite 2: Lösung der Aufgaben 1 und 2

Diese Seite enthält detaillierte Lösungsansätze für die ersten beiden Aufgaben der Klausur Vektoren Mathe LK.

Für Aufgabe 1 wird schrittweise die Parametergleichung der Ebene E hergeleitet:

  1. Zunächst werden die Spannvektoren AB und AC berechnet.
  2. Die allgemeine Form der Parametergleichung wird aufgestellt: E = a + r · AB + s · AC
  3. Der Normalenvektor wird bestimmt, indem die Orthogonalität zu den Spannvektoren ausgenutzt wird.

Example: Die resultierende Parametergleichung lautet: E = 1121|-1|2 + r · 3463|-4|6 + s · 411-4|1|-1

Für Aufgabe 2 wird die Schnittberechnung zwischen Gerade und Ebene durchgeführt:

  1. Die Geradengleichung wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
  2. Durch Auflösen der Gleichung wird der Parameter t bestimmt.
  3. Der Schnittpunkt wird durch Einsetzen von t in die Geradengleichung ermittelt.

Highlight: Der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E liegt bei 412134|12|-13.

Zusätzlich wird gezeigt, dass eine andere Gerade h parallel zur Ebene E verläuft, indem die Einsetzmethode zu einer falschen Aussage führt.

Vocabulary: Parallel bedeutet, dass zwei geometrische Objekte stets den gleichen Abstand zueinander haben und sich nie schneiden.

M
N.
Viel Erfolg!
Zur vollständigen Lösung gehört ein nachvollziehbarer und gegebenenfalls kommentierter Lösungsweg.
Aufgabe 1
a) Eine Ebene

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Seite 3: Fortsetzung der Lösungen für Aufgabe 2 und 3

Diese Seite setzt die Lösungen der Mathe Klausur Klasse 12 Analysis fort, mit Fokus auf Aufgabe 2b und Aufgabe 3.

Für Aufgabe 2b wird detailliert gezeigt, wie man beweist, dass die Gerade h parallel zur Ebene E verläuft:

  1. Die Koordinaten der Geradengleichung werden in die Ebenengleichung eingesetzt.
  2. Es wird gezeigt, dass dies zu einer falschen Aussage führt, unabhängig vom Parameter r.
  3. Daraus wird geschlossen, dass die Gerade h parallel zur Ebene E verläuft.

Highlight: Die Parallelität von Gerade und Ebene wird durch eine Widerspruchsbeweisführung nachgewiesen.

Aufgabe 3 erfordert eine Erläuterung, wie man an den Gleichungen einer Geraden und einer Ebene erkennen kann, ob sie sich orthogonal schneiden:

  1. Es wird erklärt, dass man aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ermitteln kann.
  2. Wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel sind alsoVielfachevoneinanderalso Vielfache voneinander, schneiden sie sich orthogonal.

Definition: Orthogonalität bedeutet, dass zwei Vektoren oder geometrische Objekte im rechten Winkel zueinander stehen.

Vocabulary: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene liegen.

Diese Aufgabe demonstriert das Verständnis für die geometrische Bedeutung der algebraischen Darstellungen von Geraden und Ebenen.

M
N.
Viel Erfolg!
Zur vollständigen Lösung gehört ein nachvollziehbarer und gegebenenfalls kommentierter Lösungsweg.
Aufgabe 1
a) Eine Ebene

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Seite 4: Lösung der Aufgabe 4

Diese Seite widmet sich der Lösung von Aufgabe 4 der Klausur Vektoren Grundkurs, die sich mit Schnittberechnungen von Ebenen befasst.

Aufgabe 4a verlangt den Nachweis, dass ein gegebener Punkt P836-8|3|6 in der Ebene E₂ liegt:

  1. Die Koordinaten des Punktes werden in die Gleichung der Ebene E₂ eingesetzt.
  2. Es wird gezeigt, dass die Gleichung erfüllt ist, was beweist, dass der Punkt in der Ebene liegt.

Example: 6·8-8 + 12·3 + 8·6 = 36 ergibt eine wahre Aussage, also liegt P in E₂.

Aufgabe 4b erfordert die Bestimmung der Schnittgeraden der Ebenen E₁ und E₂:

  1. Ein Ansatz mit Parametern wird gewählt: x₁ = 4 + 5t, x₂ = 4t, x₃ = 9 + 3s - 3t
  2. Diese Ansätze werden in die Gleichungen beider Ebenen eingesetzt.
  3. Durch Gleichsetzen und Auflösen wird der Parameter t bestimmt.
  4. Die Gleichung der Schnittgeraden wird aufgestellt.

Highlight: Die resultierende Gleichung der Schnittgeraden lautet: g: x = 4094|0|9 + t · 5435|4|-3

Diese Aufgabe demonstriert die Anwendung von Ebenengleichungen zur Lösung komplexer geometrischer Probleme und die Fähigkeit, Schnittmengen von Ebenen zu berechnen.

Vocabulary: Eine Schnittgerade ist die Menge aller Punkte, in denen sich zwei Ebenen schneiden.

M
N.
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Aufgabe 1
a) Eine Ebene

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Seite 5: Lösung der Aufgabe 5 und Bewertung

Die letzte Seite enthält die Lösung der Aufgabe 5 und eine kurze Bewertung der Klausur, die typisch für eine Stochastik Klausur Oberstufe mit Lösungen ist.

Aufgabe 5 erfordert die Zuordnung von Ebenengleichungen zu grafischen Darstellungen:

  1. Figur 2 wird der Gleichung B zugeordnet, da die Normalenvektoren der Ebenen parallel sind, was auf parallele Ebenen hindeutet.
  2. Figur 3 wird der Gleichung A zugeordnet, da das Skalarprodukt der Normalenvektoren null ergibt, was auf orthogonale Ebenen hinweist.
  3. Figur 1 wird der Gleichung C zugeordnet, da die Normalenvektoren weder parallel noch orthogonal sind, was auf eine allgemeine Schnittlage hindeutet.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist null, wenn diese orthogonal zueinander stehen.

Highlight: Diese Aufgabe demonstriert das Verständnis für die geometrische Interpretation von Ebenengleichungen.

Die Klausur wird mit 15 MSS-Punkten bewertet, was einer sehr guten Leistung entspricht.

Quote: "Klasse, Amelie! Das Ergebnis entspricht diesmal a. Es freut mich!"

Diese abschließende Bewertung zeigt, dass die Schülerin ein tiefes Verständnis der analytischen Geometrie und ihrer Anwendungen demonstriert hat.

Vocabulary: MSS-Punkte beziehen sich auf das Punktesystem der gymnasialen Oberstufe in Deutschland.

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Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

5.600

3. Jan. 2022

5 Seiten

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Amy

@studyingwithamy

Die Klausur behandelt verschiedene Aspekte der analytischen Geometrie, insbesondere die Parametergleichung der Ebene bestimmen, Normalen- und Koordinatengleichung einer Ebene sowie die Beziehungen zwischen Geraden und Ebenen.

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Seite 2: Lösung der Aufgaben 1 und 2

Diese Seite enthält detaillierte Lösungsansätze für die ersten beiden Aufgaben der Klausur Vektoren Mathe LK.

Für Aufgabe 1 wird schrittweise die Parametergleichung der Ebene E hergeleitet:

  1. Zunächst werden die Spannvektoren AB und AC berechnet.
  2. Die allgemeine Form der Parametergleichung wird aufgestellt: E = a + r · AB + s · AC
  3. Der Normalenvektor wird bestimmt, indem die Orthogonalität zu den Spannvektoren ausgenutzt wird.

Example: Die resultierende Parametergleichung lautet: E = 1121|-1|2 + r · 3463|-4|6 + s · 411-4|1|-1

Für Aufgabe 2 wird die Schnittberechnung zwischen Gerade und Ebene durchgeführt:

  1. Die Geradengleichung wird in die Ebenengleichung eingesetzt.
  2. Durch Auflösen der Gleichung wird der Parameter t bestimmt.
  3. Der Schnittpunkt wird durch Einsetzen von t in die Geradengleichung ermittelt.

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Diese Seite setzt die Lösungen der Mathe Klausur Klasse 12 Analysis fort, mit Fokus auf Aufgabe 2b und Aufgabe 3.

Für Aufgabe 2b wird detailliert gezeigt, wie man beweist, dass die Gerade h parallel zur Ebene E verläuft:

  1. Die Koordinaten der Geradengleichung werden in die Ebenengleichung eingesetzt.
  2. Es wird gezeigt, dass dies zu einer falschen Aussage führt, unabhängig vom Parameter r.
  3. Daraus wird geschlossen, dass die Gerade h parallel zur Ebene E verläuft.

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  1. Es wird erklärt, dass man aus der Koordinatengleichung der Ebene den Normalenvektor ermitteln kann.
  2. Wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel sind alsoVielfachevoneinanderalso Vielfache voneinander, schneiden sie sich orthogonal.

Definition: Orthogonalität bedeutet, dass zwei Vektoren oder geometrische Objekte im rechten Winkel zueinander stehen.

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Aufgabe 4a verlangt den Nachweis, dass ein gegebener Punkt P836-8|3|6 in der Ebene E₂ liegt:

  1. Die Koordinaten des Punktes werden in die Gleichung der Ebene E₂ eingesetzt.
  2. Es wird gezeigt, dass die Gleichung erfüllt ist, was beweist, dass der Punkt in der Ebene liegt.

Example: 6·8-8 + 12·3 + 8·6 = 36 ergibt eine wahre Aussage, also liegt P in E₂.

Aufgabe 4b erfordert die Bestimmung der Schnittgeraden der Ebenen E₁ und E₂:

  1. Ein Ansatz mit Parametern wird gewählt: x₁ = 4 + 5t, x₂ = 4t, x₃ = 9 + 3s - 3t
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Aufgabe 5 erfordert die Zuordnung von Ebenengleichungen zu grafischen Darstellungen:

  1. Figur 2 wird der Gleichung B zugeordnet, da die Normalenvektoren der Ebenen parallel sind, was auf parallele Ebenen hindeutet.
  2. Figur 3 wird der Gleichung A zugeordnet, da das Skalarprodukt der Normalenvektoren null ergibt, was auf orthogonale Ebenen hinweist.
  3. Figur 1 wird der Gleichung C zugeordnet, da die Normalenvektoren weder parallel noch orthogonal sind, was auf eine allgemeine Schnittlage hindeutet.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist null, wenn diese orthogonal zueinander stehen.

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Seite 1: Aufgabenstellung der Vektoren-Klausur

Die erste Seite der Vektoren Klausur mit Lösungen enthält die Aufgabenstellungen für fünf komplexe Aufgaben im Bereich der analytischen Geometrie.

Highlight: Die Klausur deckt ein breites Spektrum an Themen ab, von Ebenengleichungen bis hin zu Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen.

Aufgabe 1 fordert das Aufstellen einer Parametergleichung für eine durch drei Punkte gegebene Ebene.

Example: Eine Ebene E ist durch die Punkte A1121|-1|2, B4584|-5|8 und C301-3|0|1 festgelegt.

Aufgabe 2 beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene, wobei der Schnittpunkt ermittelt werden soll.

Aufgabe 3 verlangt eine Erläuterung, wie man anhand der Gleichungen erkennen kann, ob eine Gerade eine Ebene orthogonal schneidet.

Vocabulary: Orthogonal bedeutet im rechten Winkel zueinander stehend.

In Aufgabe 4 sollen Schnittpunkte und Schnittgeraden von Ebenen bestimmt werden.

Die letzte Aufgabe erfordert die Zuordnung von Ebenengleichungen zu grafischen Darstellungen und eine Begründung der Entscheidung.

Definition: Eine Ebenengleichung ist eine mathematische Formel, die alle Punkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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