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Einfacher Einheitskreis: Sinus, Cosinus und Tangens verstehen mit Animationen

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liam

31.1.2022

Mathe

Einheitskreis (Trigonometrie)

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Trigonometrische funktionen

Einfacher Einheitskreis: Sinus, Cosinus und Tangens verstehen mit Animationen

Der Einheitskreis ist ein fundamentales Konzept in der Trigonometrie, das die Beziehungen zwischen Winkeln und trigonometrischen Funktionen visualisiert. Er ermöglicht ein tieferes Verständnis von Sinus, Cosinus und Tangens.

  • Der Einheitskreis hat einen Radius von 1 und seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
  • Sinus und Cosinus eines Winkels entsprechen den y- bzw. x-Koordinaten eines Punktes auf dem Kreisumfang.
  • Der Tangens wird durch den Schnittpunkt der verlängerten Hypotenuse mit der Tangente am Kreis definiert.
  • Die trigonometrischen Funktionen wiederholen sich alle 360°.
...

31.1.2022

2313

Einheitskreis (Trigonometrie): Definition: En Enheits kreis ursprung liegt. Sinus und Definition: Yp := sin (a) Xp == los (α) Gegenkathele ⇒

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Tangens im Einheitskreis

Der Tangens im Einheitskreis wird etwas anders definiert als Sinus und Cosinus. Während Sinus und Cosinus direkt aus den Koordinaten eines Punktes auf dem Kreisumfang abgelesen werden können, erfordert der Tangens eine zusätzliche Konstruktion.

Definition: Der Tangens eines Winkels α ist definiert als die y-Koordinate des Schnittpunkts P' der verlängerten Hypotenuse mit der Tangente am Punkt R'1;01;0 des Einheitskreises.

Diese Definition führt zu der bekannten Formel:

tanαα = sinαα / cosαα

Im Einheitskreis lässt sich der Tangens geometrisch wie folgt konstruieren:

  1. Man verlängert die Hypotenuse des durch den Winkel α gebildeten Dreiecks.
  2. Am Punkt R'1;01;0 wird eine Tangente an den Kreis gelegt.
  3. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der verlängerten Hypotenuse ergibt den Punkt P'.
  4. Die y-Koordinate von P' entspricht dem Tangens des Winkels α.

Highlight: Der Tangens ist nicht für alle Winkel definiert. Bei 90°, 270° und deren Vielfachen gibt es keinen Schnittpunkt mit der Tangente.

Wichtige Werte des Tangens im Einheitskreis sind:

  • tan0°0° = 0
  • tan90°90° = nicht definiert
  • tan180°180° = 0
  • tan270°270° = nicht definiert
  • tan360°360° = 0

Example: Bei einem Winkel von 45° ist der Tangens gleich 1, da die Tangente in diesem Fall genau durch den Punkt 1;11;1 verläuft.

Die Besonderheit des Tangens liegt in seiner Undefiniertheit bei bestimmten Winkeln. Dies macht ihn zu einer komplexeren, aber auch interessanten trigonometrischen Funktion im Kontext des Einheitskreises.

Vocabulary: Tangente - Eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt.

Das Verständnis des Tangens im Einheitskreis ist entscheidend für fortgeschrittene trigonometrische Berechnungen und findet Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

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liam

@mb0

Der Einheitskreis ist ein fundamentales Konzept in der Trigonometrie, das die Beziehungen zwischen Winkeln und trigonometrischen Funktionen visualisiert. Er ermöglicht ein tieferes Verständnis von Sinus, Cosinus und Tangens.

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Tangens im Einheitskreis

Der Tangens im Einheitskreis wird etwas anders definiert als Sinus und Cosinus. Während Sinus und Cosinus direkt aus den Koordinaten eines Punktes auf dem Kreisumfang abgelesen werden können, erfordert der Tangens eine zusätzliche Konstruktion.

Definition: Der Tangens eines Winkels α ist definiert als die y-Koordinate des Schnittpunkts P' der verlängerten Hypotenuse mit der Tangente am Punkt R'1;01;0 des Einheitskreises.

Diese Definition führt zu der bekannten Formel:

tanαα = sinαα / cosαα

Im Einheitskreis lässt sich der Tangens geometrisch wie folgt konstruieren:

  1. Man verlängert die Hypotenuse des durch den Winkel α gebildeten Dreiecks.
  2. Am Punkt R'1;01;0 wird eine Tangente an den Kreis gelegt.
  3. Der Schnittpunkt dieser Tangente mit der verlängerten Hypotenuse ergibt den Punkt P'.
  4. Die y-Koordinate von P' entspricht dem Tangens des Winkels α.

Highlight: Der Tangens ist nicht für alle Winkel definiert. Bei 90°, 270° und deren Vielfachen gibt es keinen Schnittpunkt mit der Tangente.

Wichtige Werte des Tangens im Einheitskreis sind:

  • tan0°0° = 0
  • tan90°90° = nicht definiert
  • tan180°180° = 0
  • tan270°270° = nicht definiert
  • tan360°360° = 0

Example: Bei einem Winkel von 45° ist der Tangens gleich 1, da die Tangente in diesem Fall genau durch den Punkt 1;11;1 verläuft.

Die Besonderheit des Tangens liegt in seiner Undefiniertheit bei bestimmten Winkeln. Dies macht ihn zu einer komplexeren, aber auch interessanten trigonometrischen Funktion im Kontext des Einheitskreises.

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Der Einheitskreis und seine Grundlagen

Der Einheitskreis ist ein zentrales Konzept in der Trigonometrie. Er wird definiert als ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Diese einfache Definition ermöglicht es, komplexe trigonometrische Beziehungen anschaulich darzustellen.

Definition: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

Im Einheitskreis werden Sinus und Cosinus eines Winkels α durch die Koordinaten eines Punktes Pxp;ypxp; yp auf dem Kreisumfang repräsentiert. Dabei gilt:

  • cosαα = xp
  • sinαα = yp

Diese Beziehungen basieren auf den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck:

Highlight: Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, während Cosinus das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse darstellt.

Der Einheitskreis ermöglicht es, die Werte dieser Funktionen für alle Winkel zwischen 0° und 360° abzulesen. Wichtige Werte sind:

  • sin0°0° = 0, sin90°90° = 1, sin180°180° = 0, sin270°270° = -1, sin360°360° = 0
  • cos0°0° = 1, cos90°90° = 0, cos180°180° = -1, cos270°270° = 0, cos360°360° = 1

Example: Bei einem Winkel von 45° sind sowohl Sinus als auch Cosinus gleich √2/2.

Eine wichtige Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen ist ihre Periodizität:

sinαα = sinα+360°α + 360° = sinα−360°α - 360° cosαα = cosα+360°α + 360° = cos360°−α360° - α

Diese Eigenschaften machen den Einheitskreis zu einem mächtigen Werkzeug für das Verständnis und die Berechnung trigonometrischer Funktionen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

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Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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