Der Einheitskreis und seine Grundlagen
Der Einheitskreis ist ein zentrales Konzept in der Trigonometrie. Er wird definiert als ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Diese einfache Definition ermöglicht es, komplexe trigonometrische Beziehungen anschaulich darzustellen.
Definition: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Im Einheitskreis werden Sinus und Cosinus eines Winkels α durch die Koordinaten eines Punktes Pxp;yp auf dem Kreisumfang repräsentiert. Dabei gilt:
Diese Beziehungen basieren auf den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck:
Highlight: Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, während Cosinus das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse darstellt.
Der Einheitskreis ermöglicht es, die Werte dieser Funktionen für alle Winkel zwischen 0° und 360° abzulesen. Wichtige Werte sind:
- sin0° = 0, sin90° = 1, sin180° = 0, sin270° = -1, sin360° = 0
- cos0° = 1, cos90° = 0, cos180° = -1, cos270° = 0, cos360° = 1
Example: Bei einem Winkel von 45° sind sowohl Sinus als auch Cosinus gleich √2/2.
Eine wichtige Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen ist ihre Periodizität:
sinα = sinα+360° = sinα−360°
cosα = cosα+360° = cos360°−α
Diese Eigenschaften machen den Einheitskreis zu einem mächtigen Werkzeug für das Verständnis und die Berechnung trigonometrischer Funktionen.
