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Step-by-Step Guide to Exponential Functions: Using Product and Chain Rules

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@emy_bspr

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I'll help create SEO-optimized summaries for this mathematical content about exponential functions. Let me break this down according to your guidelines.

A comprehensive guide to exponential functions and their derivatives, focusing on Ableitung von Exponentialfunktionen Schritt für Schritt. This material covers essential calculus concepts including differentiation rules, solving equations, and curve analysis.

• The content extensively covers the differentiation of exponential functions, particularly e-functions
• Detailed explanations of Produktregel und Kettenregel für e-Funktionen anwenden are provided
• Methods for e-Funktion Gleichung lösen mit natürlichem Logarithmus are thoroughly explained
• Advanced topics include symmetry analysis and curve discussion
• Practical examples and step-by-step solutions are included throughout

9.5.2023

3208

MATHE exponential-Funktionen zur Basis a f(x) = a* = ex in (a); a so [eº = ^ ; e^² = e ; ex .ey = ex+y] f(x) = ekt f'(x)= k·ekk F(x) = 1ekx

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Page 1: Fundamentals of Exponential Functions

This page introduces the fundamental concepts of exponential functions and their derivatives. The content focuses on the basic rules for differentiating exponential functions, including the product rule and chain rule.

Definition: An exponential function with base a is defined as f(x) = aˣ, where a is any positive number. When a = e, it's called the natural exponential function.

Example: For f(x) = eᵏᵗ, the derivative is f'(x) = k·eᵏᵗ

Highlight: The product rule and chain rule are essential tools for differentiating complex exponential functions.

Vocabulary: The terms "innere" and "äußere" refer to the inner and outer functions in chain rule applications.

MATHE exponential-Funktionen zur Basis a f(x) = a* = ex in (a); a so [eº = ^ ; e^² = e ; ex .ey = ex+y] f(x) = ekt f'(x)= k·ekk F(x) = 1ekx

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Page 2: Advanced Differentiation Techniques

This page delves deeper into the application of differentiation rules for exponential functions, providing detailed examples and specific techniques for solving complex problems.

Example: For f(x) = (x²-2)e⁻²ˣ, the derivative is calculated using both the product rule and chain rule.

Highlight: When dealing with natural logarithm functions, the derivative follows the rule f'(x) = 1/x.

Definition: The second derivative f"(x) is found by applying the differentiation rules to the first derivative.

MATHE exponential-Funktionen zur Basis a f(x) = a* = ex in (a); a so [eº = ^ ; e^² = e ; ex .ey = ex+y] f(x) = ekt f'(x)= k·ekk F(x) = 1ekx

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Page 3: Solving Exponential Equations

This page covers methods for solving equations involving exponential functions, particularly focusing on using the natural logarithm as the inverse function.

Definition: The natural logarithm is the inverse function of eˣ, denoted as ln(x).

Example: For the equation e²ˣ(x²-2) = 0, the solution involves factoring and using logarithmic properties.

Highlight: When solving exponential equations, the natural logarithm is a key tool for isolating variables.

MATHE exponential-Funktionen zur Basis a f(x) = a* = ex in (a); a so [eº = ^ ; e^² = e ; ex .ey = ex+y] f(x) = ekt f'(x)= k·ekk F(x) = 1ekx

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Page 4: Symmetry in Exponential Functions

This page explores symmetry properties of various functions, including exponential and rational functions.

Definition: A function is axially symmetric if f(-x) = f(x), and point symmetric if f(-x) = -f(x).

Example: For f(x) = x²e⁻ˣ², the function demonstrates axial symmetry.

Vocabulary: "Achsensymmetrisch" refers to axial symmetry, while "Punktsymmetrisch" refers to point symmetry.

MATHE exponential-Funktionen zur Basis a f(x) = a* = ex in (a); a so [eº = ^ ; e^² = e ; ex .ey = ex+y] f(x) = ekt f'(x)= k·ekk F(x) = 1ekx

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Page 5: Curve Analysis

This page details the process of analyzing curves, including finding extreme points and inflection points.

Definition: Critical points are found by setting the first derivative equal to zero: f'(x) = 0.

Highlight: The second derivative test determines whether critical points are maxima or minima.

Example: The process involves finding derivatives, critical points, and determining the nature of extrema.

MATHE exponential-Funktionen zur Basis a f(x) = a* = ex in (a); a so [eº = ^ ; e^² = e ; ex .ey = ex+y] f(x) = ekt f'(x)= k·ekk F(x) = 1ekx

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Definition: An exponential function with base a is defined as f(x) = aˣ, where a is any positive number. When a = e, it's called the natural exponential function.

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Definition: The second derivative f"(x) is found by applying the differentiation rules to the first derivative.

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