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Exponentialfunktion
6.2.2021
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Teil 1: hilfsmittelfrei (max. 25 min) Sobald Sie mit der Bearbeitung fertig sind, können Sie diesen Teil der Klausur abgeben und mit der Bearbeitung von Teil 2 beginnen. Aufgabe 1 (3+3+3+3+3+1+2=18 Punkte) Vereinfachen und berechnen Sie: 2.31 a) (2²) ³ = 2²:3 — 2²-64✓ -32/ 2+3√ b) 22.23= 2 2+2 = 25 = 3^²:3¹5-319-15-32 = 9² c) 375 = d) 5ª 2ª = (5.2)² - 108 100000000 58.28 e) 72²2 = 74 ³:37 ³ = (74:37)² = 2²0-8 74³ f) 7-¹ = =1/ ✓ 8) 27³ = ²√27 = 3 P(D/3), Q (2/12) 3 = f(0) = (⋅ a ° = (²·1=C -12 = F(2)² = 3·α² 12 = 3·a²1:3√ Viel a²=415V a = √4=±2V f(x)=3.2* (C=> 3 313 Aufgabe (5 Punkte) Der Graph der Exponentialfunktion f mit f(x) = c. a* verläuft durch die Punkte P(013) und Q(2/12). Geben Sie die Funktionsgleichung von f an. Erfolg! 313 313 3 (3 111 212 Pedelt (18118 Perfekt 515 Nach einem Jahr und 47 Wochen wären nach diesem Modell alle Menschen der Erde infiziert. Aufgabe 5 (7+2+5=14 Punkte) Um die Funktionsgleichung für die Körperkerntemperatur möglichst einfach aufstellen zu können, wähle ich für 12:00 mittags den Wert x = 0 und messe x in Stunden. Dann ergeben sich aus den beiden Messungen des Gerichtsmediziners die Punkte P(014,3) und Q(1|3,0). a) Ansatz: f(x) = c•a* P(014,3) einsetzen: 4,3 = caº=c∙1= c => c = 4,3 4,3 30 Q(1/3,0) einsetzen: 3,0 = 4,3. a* 43 f(x) = 4,3. , x in Stunden, x = 0 entspricht 12:00 mittags. b) Nach meiner...
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Alternativer Bildtext:
Wahl von x entspricht 11:00 dem Wert x = -1 und 14:00 dem Wert x = 2. -1 2 f(-1) = 4,3. ≈ 6,16; f(2)= 4,3- 2,09 Um 11:00 betrug die Körperkerntemperatur circa 6,2°C und um 14:00 wird sie circa 2,1°C betragen. (Der Körper kühlt also weiter aus, wobei die Abkühlungsrate immer weiter abnimmt.) c) Gleichsetzen und auflösen: a= 36,7 4,3. 367 43 Aufgabe 6 (2+2+2=6 Punkte) -(₁) (30 43 h(x) = -x³ + 3x + 2; k(x) = - 30 log30 43 43 x-5,95596 Diese Stunden müssen nun von 12:00 subtrahiert werden: 12-5,95596 = 6,04404 und anschließend in Zeiten umrechnen. 1: 4,3 | log30 43 Um 6:02:39 betrug die Körperkerntemperatur noch 36,7°C. Das ist der vermeintliche Todeszeitpunkt. = x +3(); g(x) = −(x - 5)³ + 3(x − 5) Aufgabe 7 (2+2+2+2=8 Punkte) a) Man muss den Graphen von f um 5 Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschieben. b) Man muss den Graphen von f um 3 Einheiten entlang der x-Achse nach rechts verschieben. c) Man muss den Graphen von f auf das 5-fache in Richtung der x-Achse strecken. d) Man muss den Graphen von f auf das 2-fache in Richtung der y-Achse strecken. Aufgabe 8 (2+3+3=8 Punkte) Eine Funktion f hat den Hochpunkt H (6|42). a) f wurde um 4 Einheiten entlang der y -Achse nach oben verschoben. b) Die Funktion f muss um 4 Einheiten entlang der x-Achse nach links verschoben werden. h(x) = f(x+4). c) Die Funktion f muss auf das Dreifache in Richtung der y-Achse gestreckt werden. k(x) = 3f(x). Musterlösung b) c) Aufgabe 1 (3+3+3+3+3+1+2=18 Punkte) Mit den Potenzgesetzen kann man die Aufgaben recht schnell ausrechnen. a) (22)3 = 22-3 =26=2-2-2-2-2-2=4-2-2-2-2=8-2-2-2 = 16-2-2=32- 2 = 64 22.23 22+3 = 25 = 32 = 317-15= 3² = 9 e) 317 c) 315 d) 58.28 (52)8 = 108 = 100.000.000 = 2³ = 8 f) 7-¹ = 8) 27(¹/3) = √27 = 3 3. Klausur EF Ma GK1 Teil 1: hilfsmittelfrei Aufgabe 2 (5 Punkte) Ansatz laut Aufgabe f(x) = c.a*. P(013) einsetzen: 3 = f(0) = caº = c.1= c ⇒ c = 3 Q(2/12) einsetzen: Aufgabe 3 (1+3+3+4=11 Punkte) a) ±2 = a Die Basis a in einer Exponentialfunktion kann nur positiv sein und damit ist a = 2: f(x) = 3.2*. Teil 2 E = 170 4³ = 10880 0,262144 = a6 +0,8 = a 12 = f(2)= 3a² 12 = 3a² 1:3 4= a² √ 40,96= 156,25-a6:156,25 Ň b) d) Q(312) einsetzen: 2 = 1. a³ = a³ = a = √2 10125 = c. 1,54 |: 1,54 10125 = C 1,54 2000 = C log2,7 (19,683) = x 3 = x 06.03.2020 49207,5 = 2500- 2,7* |: 2500 19,683 = 2,7* | log2,7 Aufgabe 4 (5+3+4=12 Punkte) a) Die Variable x kann in verschiedenen Einheiten gemessen werden. Ich wähle die Einheit Wochen. Damit ergeben sich die beiden Punkte P(011) und Q(312). Ansatz: f(x) = c • a* P(0/1) einsetzen: 1 = c·aº = c.1= c ⇒ c = 1 f(x) =(√2)*, x in Wochen. log(7.780.000.000) = x 98,5714≈ x 9 b) f(9) =(√2)² = 8; ƒ (52) =(√2)5² = 165140 Nach 9 Wochen gäbe es 8 und nach einem Jahr 165140 Infizierte. c) Gleichsetzen und auflösen: 7.780.000.000 =(√2)* | log/ (67) Name: EF 3. Klausur EF Ma GK1 Teil 2: (Gesamtdauer 90 min) Erlaubte Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung Notieren Sie bei allen Aufgaben ihren vollständigen Lösungs-/rechenweg! 06.03.2020 Aufgabe (1+3+3+4=11 Punkte) Bestimmen sie jeweils rechnerisch x: a) Berechnen Sie E= 170.4³. b) Bestimmen Sie den Anfangswert c aus der Gleichung 10125 = c. 1,54. c) Bestimmen Sie die Basis a aus der Gleichung 40,96 = 156,25. aº. d) Bestimmen Sie den Exponenten x aus der Gleichung 49207,5 = 2500 -2,7*. Aufgabe (5+3+4=12 Punkte) Ohne entsprechende Gegenmaßnahmen könnte sich eine lokale Epidemie wie das Coronavirus zu einer weltweiten Pandemie entwickeln. Die Zahl der infizierten Personen würde sich dann annähernd exponentiell verhalten. 1 Anfang nach a) Angenommen es gibt am Anfang eine und nach 3 Wochen zwei mit dem Virus infizierte Personen. Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Anzahl der infizierten Personen nachbildet. b) Berechnen Sie, wie viele Infizierte es dann nach 9 Wochen und nach einem Jahr gäbe. c) Im Moment gibt es auf der Welt etwa 7,78 Milliarden Menschen. Nach wie vielen Jahren und Wochen wären nach diesem Modell alle Menschen der Erde infiziert? Aufgabe/(10+2+5=17 Punkte) 35 52 Wochen wochen 2 3 Wochen. Ein Mann wird in einem Kühlhaus ermordet. Seine Körperkerntemperatur hat beim Mord 36,7°C betragen und sich dann in dem Kühlhaus, in dem eine konstante Temperatur von 0°C herrscht, abgekühlt. Der Gerichtsmediziner erscheint am Tatort um 12:00 mittags und misst eine Körperkerntemperatur von 4,3°C. Er wiederholt die Messung noch einmal um 13:00, um zu sehen, wie schnell der Körper abkühlt und misst dann eine Körperkerntemperatur von 3,0°C. Es ist bekannt, dass sich die Körpertemperatur beim Abkühlen exponentiell verhält. a) Stelle eine Funktionsgleichung für die Körperkerntemperatur auf. b) Bestimme wie groß die Körperkerntemperatur um 11:00 war und um 14:00 sein wird. c) Bestimme den Todeszeitpunkt, das heißt die Zeit, wo die Körperkerntemperatur 36,7°C war. Bitte wenden! 64,5/21 Paukle 15.03.2020 sehr gut (oft.) 1 Tolle Arbeit. Weiter so 9 212 Der Graph von f muss um den Faktor 5 es auf dea in auf x der #x-Achse gestredt werden, um den Graphen 212 der Funktion le zu erhalten. d) Der Graph von f muss. um den Fakfor 2 auf der y-Achse gestreckt werden, um den Graphen der Funktion ( zu er- halten. 212 67 Der Graph von f muss um 3 nach rechts auf der x-Achse verschoben werden, um den Graphen der Funktion h halten. zu er- (818) a а нежном m₂ Um g(x) = f(x) 4 zu erhalten, muss man f(x) om 4 nach oben, also 212 in y-Richtung verschieben... 4513 (6) h(x²= f(x-4) Text 0₁3 c) k( x ) = f(x) + 84 Text.. (2,518) stecken 12 f(3) = 6,14 0,7³ = 6,14. 0343 2212 Nicht so stark rends (A₂) Om 14 Ohr wird die for perlerntemperatur bei ca. 2, 12°C sein. (V c) 36,7 = 6,14·0,7° 6,14~ 36 0,7 = 3,14 | logo, 1.6/14- Члодая xolog0₁7 (144) X2² -5,013 3-41-3-2-10/123 22 i ca 6,14°C. gension 8 9 10 11 12 13 14 Uhrzeit A. Um ca 6 Ohr war die körperkerntemperatur bei 36,7°C, dh.ee/ um 6 Uhr ca. ister War sein Todeszeitpunkt. 515 3 g(x) = - (x - 5)³ + 3. (Xx-5) b(x) = -x ²³ + 3x + 2 ✓ ((x)=-(金)+3(13) A. 7 al ber Graph von f muss also in y-Richtung, um 5 nach oben verschoben werden, um den Graphen der, Funktion g zu erhalten. Sehrgut 14118 (616) 212 3 A.S Rohr شهری به رواں رله 13 Uhr 3,0°C th Jy Pla 14,3 / 62 (1312) 10:4512X6² 4₁3 = 10²4 Ther: 3 = f(3) =(.a²²³ 3 Ca 13 14,3 = 0 6 12 yo I eins. 143 13 Ubr (PCM/ 4,3), Q(213) I P: 4₁3=f(1) =C-a^V IQ: 3 =f(2) = 2J 1:1 2C+a₁² 3-6a² √ liat 0712 > bi P 10,7~a air I eins. 4₁3 = C² 0,7² 10,71 4,3 C = 0,²= 6,14 717 f(x)=6/14-0,7* |✓ 6) f(0) = 6,14-0,7° V =6,141 v V €6,14 Ai Om 11. Chr war die f(3) = 6 (Az). Om Torperle ca. 2 c136,7 0₁7 холодат 5- TAJUK die Um War A6 gcs hC Korperberntemperatur bei ca. 6,14. 2.H. 1. Matheklausur: Teil 2: (432) € = 170.4³ ✓ 170.64 ✓ = 10880 6) 10125= C• 1,59 1:1,5° / 10125 C = 7,54 10125 5,0625= 2000 40,96 7156,258 C 313 c) 40,96= 156,25-a² |: 156,25 640,96 a=156,25 -0,8 313 d) 49207,5=2500-2,7* 1:2500 49207,5 M 24 2₁7 = 2500 x = logra (49209,5) ✓ F X=3 (A.4) a) 2 = 1 a ³ 1:1 ² a²=27³7 a = ³2 (f(x) = 1.52 X Alogzia b) f(9) = 1·52 ~ = 1.8✓ =8 f(52)=1.42 152 EF 152 V 114 513 Answerbak fehlten 06.03.2020 (9:34) Anzahl der Wochen in der wel een nach infiziert waren X Anzahl der Wochen 2 99:52=1 geinem Jahr (A) Nach ca diesem Jahr a comandan Rechnung: Pekelt mussten alle infiziert ✓ worden sein. ✓ 414 11/12 Tage(normalerweise (außer schaltfahre) in einem Jahr 27 Anzahl der 365: 12230,42-1 Tage (vener 130,427=(4,35 einem Monat TA 11/11 =1165/40,4 J 213 c) 7.780000000= 1.³√2-1 7780000000-3√2 llogar2 (77800000001 x = log²/2 √ ( Nach ca. 99 Woche. -> Tage in (4,35.12 $52,2) ✓ einer (4,35-1252,2 ->Anzahl der Wochenc in einem Monat (ungefähr) hach > Wochen ✓ "Welf vom Coronavirus nach diese inficien