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Exponentialfunktion

E funktion

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29. Apr. 2021

•

2 Seiten

Exponentialfunktion Formel und Ableitung: Einfache Erklärungen mit Beispielen

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Johanna

@johanna_egr

Hier ist die optimierte Zusammenfassung in Deutsch:

Exponentialfunktionen sind mathematische... Mehr anzeigen

Allgemein P (0150);Q (3110,8) f(x) = c.a* 10,8 = 50-a³ 0,216 = 2³ 0,6 = a 4 -Wachstumsfaktor a ermitteln *g(x) = 50.0,6* 50-0,6* = 5 1:50 IN

Natürliche Exponentialfunktion und Ableitungen

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, hat die Form fxx = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl mit dem Wert etwa 2,71828 ist. Diese Funktion hat besondere Eigenschaften, die sie in der Mathematik und den Naturwissenschaften sehr nützlich machen.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion fxx = eˣ ist eine Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e als Basis.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft der e-Funktion ist, dass sie mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt:

Highlight: Für fxx = eˣ gilt: f'xx = eˣ = fxx

Die Ableitung Exponentialfunktion folgt bestimmten Regeln:

  1. Für fxx = c · aˣ gilt: f'xx = c · lnaa · aˣ
  2. Für fxx = eˣ gilt: f'xx = eˣ
  3. Für fxx = c · eᵏˣ gilt: f'xx = c · k · eᵏˣ

Example: Die Ableitung von fxx = 3 · 3ˣ ist f'xx = 3 · ln33 · 3ˣ

Diese Ableitungsregeln sind besonders nützlich in der Analysis und finden Anwendung in vielen praktischen Problemen, wie zum Beispiel bei der Modellierung von Wachstumsprozessen oder der Berechnung von Zerfallsraten.

Vocabulary: Die Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung. Für fxx = eˣ ist die Stammfunktion Fxx = eˣ + C.

Mithilfe des natürlichen Logarithmus lässt sich jede Exponentialfunktion auf eine e-Funktion zurückführen: aˣ = e^x⋅ln(ax·ln(a). Diese Umformung ist oft hilfreich bei der Lösung komplexerer Exponentialgleichungen.

Quote: "Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt."

Die Potenzgesetze spielen eine wichtige Rolle bei der Arbeit mit Exponentialfunktionen und ihren Ableitungen. Einige wichtige Regeln sind:

  • aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ
  • aˣ / aʸ = aˣ⁻ʸ
  • axaˣʸ = aˣʸ
  • a⋅ba · bˣ = aˣ · bˣ

Diese Regeln erleichtern das Rechnen mit Exponentialfunktionen und sind unerlässlich für das Verständnis und die Anwendung von Exponentialfunktion Rechenregeln in komplexeren mathematischen Kontexten.

Allgemein P (0150);Q (3110,8) f(x) = c.a* 10,8 = 50-a³ 0,216 = 2³ 0,6 = a 4 -Wachstumsfaktor a ermitteln *g(x) = 50.0,6* 50-0,6* = 5 1:50 IN

Grundlagen der Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind ein zentrales Konzept in der Mathematik und beschreiben Wachstums- oder Abnahmeprozesse. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion Formel lautet fxx = c · aˣ, wobei c der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor ist.

Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable x im Exponenten steht und eine konstante Basis a hat.

Die Exponentialfunktion Eigenschaften sind vielfältig und charakteristisch:

  1. Der Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse.
  2. Es gibt keine Nullstellen.
  3. Für a > 1 beschreibt die Funktion ein exponentielles Wachstum.
  4. Für 0 < a < 1 beschreibt die Funktion eine exponentielle Abnahme.

Example: Bei der Corona-Pandemie zeigte sich ein exponentielles Wachstum der Infektionszahlen, wenn der Reproduktionsfaktor größer als 1 war.

Um eine Exponentialfunktion aufzustellen, benötigt man oft zwei Punkte. Beispielsweise kann man mit den Punkten P0∣500|50 und Q3∣10,83|10,8 die Funktion gxx = 50 · 0,6ˣ herleiten.

Highlight: Der Faktor c entspricht immer dem Anfangsbestand zum Zeitpunkt x=0, also c = f00.

Bei Exponentialgleichungen steht die gesuchte Variable im Exponenten. Um diese zu lösen, verwendet man oft den Logarithmus:

Vocabulary: Eine Exponentialgleichung hat die Form aˣ = b und wird gelöst durch x = log_abb.



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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Exponentialfunktion Formel und Ableitung: Einfache Erklärungen mit Beispielen

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Exponentialfunktionen sind mathematische Funktionen, bei denen eine Basis mit einer variablen Potenz versehen wird. Sie beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse und haben charakteristische Eigenschaften wie einen stets positiven Wertebereich und keine Nullstellen. Die Exponentialfunktion... Mehr anzeigen

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Natürliche Exponentialfunktion und Ableitungen

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion genannt, hat die Form fxx = eˣ, wobei e die Eulersche Zahl mit dem Wert etwa 2,71828 ist. Diese Funktion hat besondere Eigenschaften, die sie in der Mathematik und den Naturwissenschaften sehr nützlich machen.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion fxx = eˣ ist eine Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e als Basis.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft der e-Funktion ist, dass sie mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt:

Highlight: Für fxx = eˣ gilt: f'xx = eˣ = fxx

Die Ableitung Exponentialfunktion folgt bestimmten Regeln:

  1. Für fxx = c · aˣ gilt: f'xx = c · lnaa · aˣ
  2. Für fxx = eˣ gilt: f'xx = eˣ
  3. Für fxx = c · eᵏˣ gilt: f'xx = c · k · eᵏˣ

Example: Die Ableitung von fxx = 3 · 3ˣ ist f'xx = 3 · ln33 · 3ˣ

Diese Ableitungsregeln sind besonders nützlich in der Analysis und finden Anwendung in vielen praktischen Problemen, wie zum Beispiel bei der Modellierung von Wachstumsprozessen oder der Berechnung von Zerfallsraten.

Vocabulary: Die Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung. Für fxx = eˣ ist die Stammfunktion Fxx = eˣ + C.

Mithilfe des natürlichen Logarithmus lässt sich jede Exponentialfunktion auf eine e-Funktion zurückführen: aˣ = e^x⋅ln(ax·ln(a). Diese Umformung ist oft hilfreich bei der Lösung komplexerer Exponentialgleichungen.

Quote: "Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt."

Die Potenzgesetze spielen eine wichtige Rolle bei der Arbeit mit Exponentialfunktionen und ihren Ableitungen. Einige wichtige Regeln sind:

  • aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ
  • aˣ / aʸ = aˣ⁻ʸ
  • axaˣʸ = aˣʸ
  • a⋅ba · bˣ = aˣ · bˣ

Diese Regeln erleichtern das Rechnen mit Exponentialfunktionen und sind unerlässlich für das Verständnis und die Anwendung von Exponentialfunktion Rechenregeln in komplexeren mathematischen Kontexten.

Allgemein P (0150);Q (3110,8) f(x) = c.a* 10,8 = 50-a³ 0,216 = 2³ 0,6 = a 4 -Wachstumsfaktor a ermitteln *g(x) = 50.0,6* 50-0,6* = 5 1:50 IN

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Grundlagen der Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind ein zentrales Konzept in der Mathematik und beschreiben Wachstums- oder Abnahmeprozesse. Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion Formel lautet fxx = c · aˣ, wobei c der Anfangsbestand und a der Wachstumsfaktor ist.

Definition: Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Variable x im Exponenten steht und eine konstante Basis a hat.

Die Exponentialfunktion Eigenschaften sind vielfältig und charakteristisch:

  1. Der Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse.
  2. Es gibt keine Nullstellen.
  3. Für a > 1 beschreibt die Funktion ein exponentielles Wachstum.
  4. Für 0 < a < 1 beschreibt die Funktion eine exponentielle Abnahme.

Example: Bei der Corona-Pandemie zeigte sich ein exponentielles Wachstum der Infektionszahlen, wenn der Reproduktionsfaktor größer als 1 war.

Um eine Exponentialfunktion aufzustellen, benötigt man oft zwei Punkte. Beispielsweise kann man mit den Punkten P0∣500|50 und Q3∣10,83|10,8 die Funktion gxx = 50 · 0,6ˣ herleiten.

Highlight: Der Faktor c entspricht immer dem Anfangsbestand zum Zeitpunkt x=0, also c = f00.

Bei Exponentialgleichungen steht die gesuchte Variable im Exponenten. Um diese zu lösen, verwendet man oft den Logarithmus:

Vocabulary: Eine Exponentialgleichung hat die Form aˣ = b und wird gelöst durch x = log_abb.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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