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Extrem-und Wendestellen

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Extrem I wendesteulen.
1) Monotonie
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geg.: Funktion f
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Marlene

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Zusammenfassung für eine Klassenarbeit. Beinhaltet: -Monotonie -Lokale Extremstellen -Nachweis von Extremstellen -Wendestellen -Vom Funktionsterm zum Funktionsgraphen

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= ₁) zusammenfa 3SUNG 1942 Ra ZUCAMMEN ITACCLINIC MATUC VA mathe ka Extrem I wendesteulen. 1) Monotonie geg.: geg.: Funktion f Interval I x und X₂ aus I . I heißt streng monaton wachsend auf I, wenn für aue X₁ und X₂ mit x₁ < x₂ gilt: + (x₁) < f(x₂). • heißt monoton wachsend (...) f(xi)≤ f(x₂) •f heißt streng manoton fallend (...) f(x₁) > F(X₂) Monotoniesatz: Wenn f'(x) >0 ist, dann ist f ton wachsend. Bsp.: f(x)= -₁x²-3x²-5x ; I= [- 5 ; -1] Wenn f'(x) <0 ist, dann ist f fallend. f '(x) = -x² - 6x-5 2) f'(x) = 0 0=-x²-6x-5 X112²6 ± √√4.(-1)-(-5) X4/2= 6±120 X₁2-5 X₂x-1 1-5 3) X=-2: f'(-2) - (-2)²-6-(-2)-5 ↑ streng -1 ↑ =-4+12-5 <=30 mono- 1) 1. Ableitung 2) 1. Ableitung = Null setzen und mit Mitternachts formel auflösen → streng monoton 3) Prüfen, ob die Ableitung in den gefundenen Ab- Schnitten >0 oder <0 ist. → auf diesem Abschnitt ist & (x) streng monoton wachsend. 1 Extrem- werte 2) Lokale Extremstellen Y + 1 4 Extremstellen Graph von f In (a; b) ist f(1) = 1 der kleinste Funktionswert In (c; d) ist f(4) = 2 der größte Funktionswert X Def.: Der Funktionswert f(x₁) heißt lokales Maximum von fo wenn es eine umgebung u von xo gibt, sodass für alle Werte x EU gilt: f(x) ≤ f(x₂). Der Funktionswert f(xo) heißt lokales Minimum von f, wenn es eine umgebung u von xo gibt, sodass für gilt: f(x) = f (x₂). alle werte xe U Die Funktion f ist auf einem Intervau I differenzierbar und Xo eine innere Stelle von I. Wenn...

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f an der Stelle xo ein lokales Extremum besitzt, dann gilt f'(x₂)=0. Umkehrung gilt nicht, denn : t Erklärung differenzierbar": → Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die darüber Auskunft gibt ob und wo sich eine Funktion ab- leiten lässt. 1st die Funktion also auf einem Interval I differenzierbar, lässt sie sich dort ableiten. THAT I bu a te awa na 3) Der Nachweis von Extremstellen Die Funktion & ist auf dem Intervall I differenzierbar und Xo eine innere Steve von I. Wenn f'(X) = 0 ist und f' bei Xo einen Vorzeichenwechsel (Vzw) von + nach hat, dann hat die Funktion lokales Maximum an der Stelle xo. ww Die Funktion f ist auf dem intervau I zweimal differenz- gilt, Terbar und xo eine innere Stelle von I. -Wenn f'(x) = 01 und f" (xo) <0 tion f an der Steve xo ein lokales Maximum! 2 - ₁. Ableiten: f'(x) = _ ^ x² = x² 2 1"(x) = -1,5x²2x 2.mögl. Extremstellen: 1. Abl. (0 setzen nach + hat, f ein gilt, • Wenn f'(X) = 0 und f"(x) > 0 gilt, dann hat die Funktion f an der Stelle xo ein lokales Minimum. lokales Minimum an der Stelle Xo. 4 dann ist Satz 1 } Faus f" (x₂) = 0 wie z. B. bei x anzuwenden; also zu prüfen, gibt es einen VZW und welcher Art. 2 0=4x-x -1x²-x² 2 0 = x² (-1× -1) X₂₁₂ Maxxssssssssss il Arra AAAAAN 8 3 Bsp: f(x) = _ 1 x ² _ 1 x³² +1 3. mögl Extremsteuen untersuchen: 1x₁² x₁ = 0; f(0) -0 & perrosten dann hat die Funk- → VWK anwenden f^(-1) = _ 1. (-1) ²³ - (-1² 2 f'(-1) = -1 <0 f'( 1) = -4 -1 = - 3 <0 2 ↓ ↓ Bei X₁ = 0 gibt es keine Extremstelle, sondern einen Sattelpunkt nach -). Einsetzen, dann s(011). (0) (da X₂: X₂=-2 { (-2)=5 ⇒H(-2/§) 3 f"(-2) = -1,5 (-2)² - 2.(-2) f"(-2)=-2 <0 →lokales Maximum (4) wendestellen ↑ V Linkskurve 0<(x)" rechtsgekt wendesteue Maximum immt 0532 + Rechtskurve \f → k → f C B 4 Satz & Def.: Wendestelle: Eine Stelle xo, an der der Graph einer Funktion & von einer dinkskurve in eine Rechtskurve übergent, heißt wendestelle. Satz 1 wende punto Wendepunkt heißt der zugehörige Punkt w(X, 1 f (x₂) Für wendestellen gilt: hier ist die Steigung von f (also f') maximal oder minimal, d.h. £" (x₂) = 0. notwendiges Kriterium und f" hat bei Xo einen VZW hinreichendes Priterium Krūmmungsverhaltens Das Krümmungsverhalten des: Graphen von & lässt sich mit der 2. Ableitung bestimmen. f S 1² (x) > 0 #xEI → Linkskurve f" (x) < 0 #XEI → Rechtskurve Bay: 1) Sattelpunkte sind Wendepunkte mit + (x₂) = 0 2) Wendetangenten sind Tangenten an den Graphen in einem Wendepunkt Bsp.: 1) Intervalle mit Links- und Rechtskurve bestimmen: + f(x) = x² - 6x² +1 f(x)=3x-12x 1²(x) = 6x - 12 = 6(x-2) Es gilt:ol (x) <0 für x<2; der Graph von If ist im Intervall (-0.2] eine Rechtskurve •f">0 für x>2; der Graph von f ist im Intervall [2:00) eine Linkskurve. S

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