Seite 5: Krümmungsverhalten und Wendestellen

Diese Seite vertieft das Thema Wendestellen und behandelt das Krümmungsverhalten von Funktionen. Es werden notwendige und hinreichende Kriterien für Wendestellen vorgestellt.

Definition: Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen lässt sich mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmen. Für f''(x) > 0 liegt eine Linkskurve vor, für f''(x) < 0 eine Rechtskurve.

Highlight: Für Wendestellen gilt als notwendiges Kriterium f''(x₀) = 0 und als hinreichendes Kriterium, dass f'' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel hat.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = x³ - 6x² + 1 werden die Intervalle mit Links- und Rechtskurve bestimmt.

Diese Seite ist besonders relevant für das Berechnen von Wendepunkten und zeigt die Verbindung zwischen dem Krümmungsverhalten und den Wendestellen einer Funktion auf.

Seite 6: Praktische Anwendung

Diese Seite demonstriert die praktische Anwendung der zuvor gelernten Konzepte anhand eines konkreten Beispiels.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = x³ + 1 werden die Koordinaten des Wendepunktes und die Gleichung der Wendetangente bestimmt.

Highlight: Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten: Bestimmung der Ableitungen, Lösen der Gleichung f''(x) = 0, Berechnung der Funktionswerte und Aufstellen der Tangentengleichung.

Diese Seite bietet ein ausführliches Beispiel zum Berechnen von Extrempunkten und zeigt, wie man die Gleichung der Wendetangente bestimmt.

Seite 4: Wendestellen

Diese Seite führt das Konzept der Wendestellen ein und erläutert deren Bedeutung für den Funktionsverlauf.

Definition: Eine Wendestelle ist eine Stelle x₀, an der der Graph einer Funktion f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht (oder umgekehrt).

Highlight: An einer Wendestelle ist die Steigung der Funktion (also f') maximal oder minimal. Das bedeutet, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle Null sein muss: f''(x₀) = 0.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist der Punkt W(x₀, f(x₀)) auf dem Funktionsgraphen an einer Wendestelle.

Die Seite vermittelt grundlegende Kenntnisse zum Berechnen von Wendepunkten und zeigt den Zusammenhang zwischen Wendestellen und dem Krümmungsverhalten einer Funktion auf.