Seite 2: Lokale Extremstellen

Diese Seite widmet sich den lokalen Extremstellen einer Funktion. Es werden die Definitionen für lokale Maxima und Minima vorgestellt sowie notwendige Bedingungen für deren Existenz erläutert.

Definition: Ein Funktionswert f(x₀) heißt lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U von x₀ gibt, sodass für alle x ∈ U gilt: f(x) ≤ f(x₀). Analog wird ein lokales Minimum definiert.

Highlight: Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum an einer Stelle x₀ ist, dass die erste Ableitung an dieser Stelle Null ist: f'(x₀) = 0.

Vocabulary: "Differenzierbar" bedeutet, dass sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle oder in einem Intervall ableiten lässt.

Die Seite legt den Grundstein für das Berechnen von Extrempunkten und erklärt die Bedingungen für Extrempunkte. Diese Konzepte sind essentiell für das Verständnis von lokalen Maxima und Minima sowie globalen und lokalen Extremstellen.

Seite 3: Nachweis von Extremstellen

Diese Seite behandelt den Nachweis von Extremstellen und stellt zwei wichtige Sätze vor: den Vorzeichenwechselsatz und den Satz über die hinreichende Bedingung für Extremstellen.

Highlight: Der Vorzeichenwechselsatz besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f'(x₀) = 0 ist und f' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat. Für ein lokales Minimum gilt der umgekehrte Vorzeichenwechsel.

Definition: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 gilt. Für ein lokales Minimum muss f''(x₀) > 0 sein.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = -⅓x³ + x² werden mögliche Extremstellen bestimmt und untersucht. Es wird gezeigt, wie man Sattelpunkte identifiziert und die Koordinaten von Extrempunkten berechnet.

Diese Seite ist besonders wichtig für das Berechnen von Extremstellen ohne 2. Ableitung und liefert ein anschauliches Beispiel für die hinreichende Bedingung von Extremstellen.