Extrem-und Wendestellen

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f an der Stelle xo ein lokales Extremum besitzt, dann gilt f'(x₂)=0. Umkehrung gilt nicht, denn : t Erklärung differenzierbar": → Differenzierbarkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, die darüber Auskunft gibt ob und wo sich eine Funktion ab- leiten lässt. 1st die Funktion also auf einem Interval I differenzierbar, lässt sie sich dort ableiten. THAT I bu a te awa na 3) Der Nachweis von Extremstellen Die Funktion & ist auf dem Intervall I differenzierbar und Xo eine innere Steve von I. Wenn f'(X) = 0 ist und f' bei Xo einen Vorzeichenwechsel (Vzw) von + nach hat, dann hat die Funktion lokales Maximum an der Stelle xo. ww Die Funktion f ist auf dem intervau I zweimal differenz- gilt, Terbar und xo eine innere Stelle von I. -Wenn f'(x) = 01 und f" (xo) <0 tion f an der Steve xo ein lokales Maximum! 2 - ₁. Ableiten: f'(x) = _ ^ x² = x² 2 1"(x) = -1,5x²2x 2.mögl. Extremstellen: 1. Abl. (0 setzen nach + hat, f ein gilt, • Wenn f'(X) = 0 und f"(x) > 0 gilt, dann hat die Funktion f an der Stelle xo ein lokales Minimum. lokales Minimum an der Stelle Xo. 4 dann ist Satz 1 } Faus f" (x₂) = 0 wie z. B. bei x anzuwenden; also zu prüfen, gibt es einen VZW und welcher Art. 2 0=4x-x -1x²-x² 2 0 = x² (-1× -1) X₂₁₂ Maxxssssssssss il Arra AAAAAN 8 3 Bsp: f(x) = _ 1 x ² _ 1 x³² +1 3. mögl Extremsteuen untersuchen: 1x₁² x₁ = 0; f(0) -0 & perrosten dann hat die Funk- → VWK anwenden f^(-1) = _ 1. (-1) ²³ - (-1² 2 f'(-1) = -1 <0 f'( 1) = -4 -1 = - 3 <0 2 ↓ ↓ Bei X₁ = 0 gibt es keine Extremstelle, sondern einen Sattelpunkt nach -). Einsetzen, dann s(011). (0) (da X₂: X₂=-2 { (-2)=5 ⇒H(-2/§) 3 f"(-2) = -1,5 (-2)² - 2.(-2) f"(-2)=-2 <0 →lokales Maximum (4) wendestellen ↑ V Linkskurve 0<(x)" rechtsgekt wendesteue Maximum immt 0532 + Rechtskurve \f → k → f C B 4 Satz & Def.: Wendestelle: Eine Stelle xo, an der der Graph einer Funktion & von einer dinkskurve in eine Rechtskurve übergent, heißt wendestelle. Satz 1 wende punto Wendepunkt heißt der zugehörige Punkt w(X, 1 f (x₂) Für wendestellen gilt: hier ist die Steigung von f (also f') maximal oder minimal, d.h. £" (x₂) = 0. notwendiges Kriterium und f" hat bei Xo einen VZW hinreichendes Priterium Krūmmungsverhaltens Das Krümmungsverhalten des: Graphen von & lässt sich mit der 2. Ableitung bestimmen. f S 1² (x) > 0 #xEI → Linkskurve f" (x) < 0 #XEI → Rechtskurve Bay: 1) Sattelpunkte sind Wendepunkte mit + (x₂) = 0 2) Wendetangenten sind Tangenten an den Graphen in einem Wendepunkt Bsp.: 1) Intervalle mit Links- und Rechtskurve bestimmen: + f(x) = x² - 6x² +1 f(x)=3x-12x 1²(x) = 6x - 12 = 6(x-2) Es gilt:ol (x) <0 für x<2; der Graph von If ist im Intervall (-0.2] eine Rechtskurve •f">0 für x>2; der Graph von f ist im Intervall [2:00) eine Linkskurve. S 2) C bestimmen: W einsetzen: 1 = 0·0+1 ⇒ C=1 0=w < 0 =,0 -8 =(0), + : vәШШнэ ш (r Танавиот с r-(0}+ W(0/1 0 9-(0)8 0=x+ X9=0 v=h← 9 = (x) *9=(x). F 0=(x) + ~XS=(X), + {@bun#0 qр f(x)=x3+1 2. mögl. Wendestellen. Bestimmung Koordinaten des Wendepunktes & Gleichung wendetangente Tangentengleichung: y=-2x-1 Punktprobe mit w(-1(1) : 4=-2+(-1)+c und c=-1 2+x2-=br эвход 8-=(r-), F-WAN =во 2+x+w=r билишндар (т Es ist f(-1) = 1 and w(-111) ein wendepunkt. →хот-1 ist eine Wendesteue. r - = X + (r+x)9 = 0 9+x9=0 хо=-1 sluntersuchung möge. Wendestellen: f"(x)=0 0 9 = (1-) з (x)-6 9+*9= (x), F f'(x)=3x2+6x+1 svobunt1219 ( иатангэриэм хвош (ч т и ижкабианасиет бито! каторим в notar Gegeben ist die Funktion f(x) = x² + 3x² + x datuam & Hyundapuan (2 suudbrosuount unge wrasubiunt wol (S a runing ( V + ₁ (2-x) = (x) J Z- y=g(x) 1- VA N Z 2) Linearfaktorolarstellung: für X→→∞0 f(x) →. HIB Too- +1B (x)+=h Für X→→6 x< 3) Polynomdarstellung: 1 100 mb C X< X Für x to gilt f(x) → too иол oben f(x) = (x + 2)(x-1)(x-3) / gilt f(x) + Nullstellen: x₁= -2 Für X→ +∞o ● 6 грои / pun sирал ири е un um f(x) = x³ + 2x Y = ²X Verhalten von f für x → ±∞o: wie bei x' xz> 3 wie bei X³. a sa n bumidran unzent wor • Schnittpunkt des Graphen von f mit der X-Achse: N (oro) : FEx in & von amoun AaaaaaaarevaarannsarnansnavAAAN AARZANAAAAAAAA δυνquæμα της Jump you δρυοκομowJotulina ypero -шоикое это заро биткоронаи онхитнить -tall - ирон избипна ни гото изиион ' you Биттэнгстор und Wendepunkde bestimmt, sowie eine Weretabele erstellt werden: 7 TA TA TA TA TA Bsp.: Eigenschaften des Graphen einer Funktion erkennen: F: Begründen Sie ohne Verwendung der Ableitung: der Steue x₁ = -2 einen Schnittpunkt mit der x-Achse und an der Stelle X₂=3 einen Extrempunkt. Bunse VO X0Y (E-XXC + x) = (x)} time & funt a Mithilfe des Satzes vom Nullprodukt erkennt man die Nullstellen von f: x₁=-2 und x₂-3. Da x₂ = 3 eine doppelte Mustelle ist, hat f bei x₂ eine Extremsteue. a wa wa geg.: f mit f(x)=2x³-3x² a)F: Ermitteln Sie die Nuustellen der Funktion & sowie das Verhalten von f für x→±00. 6) F: Bestimmen Sie Hoch- und Tiefpunkt des Graphen von f. Losung (a)- Nuustellen: f(x)=0 ⇒ 2x ³²-3x²=0 x (2x-3)=0 0=1x :valumseye 6) Ableitungen: f(x)=6x²¹-6x 9-xxl-(x) + X₂= 1,5 Da x₁=0 eine doppelte Nullstelle ist, hat f bei x₁=0 eine extremstelle. -Far x→-∞0 gilt 00+ 4x100-4X) + H!! Hom+ 0='X : volunsox. → Untersuchung extrem stellen : 0>9- <10), t nn am unin ang : 0< 9 = (1) f(x)→ +∞ mb 0-(x), answ x9-2x9-0 X₂=1 0=6x(x-1) (0/0) H 0=(0) + 12 ! (v-√√²1² v==(r) + 1 8 6) Differenzialrechnung in Sachzusammenhängen → Die Funktion & beschreibt die Höhe einer Sonnenblume in m in Abhängigkeit von der Zeit & (in wochen). 4: Wrach zwei Wochen ist die Pflanze 0,3 m hoch. burach 20 Wochen wächst sie nicht mehr. c) In den ersten fünf Wochen wächst sie um 0,6 m. d) Die Wachstumsgeschwindigkeit ist nach acht Wochen am höchsten. L: a) f(2)= 0,3 b) f(t) ist konstant für t.z 20 c) f (5) - f(0) = 0,6 d) Der Graph von f hat bei (81 f(8)) einen Wendepunkt mit positiver Steigung.