Seite 3: Nachweis von Extremstellen

Diese Seite behandelt den Nachweis von Extremstellen und stellt zwei wichtige Sätze vor: den Vorzeichenwechselsatz und den Satz über die hinreichende Bedingung für Extremstellen.

Highlight: Der Vorzeichenwechselsatz besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f'(x₀) = 0 ist und f' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat. Für ein lokales Minimum gilt der umgekehrte Vorzeichenwechsel.

Definition: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 gilt. Für ein lokales Minimum muss f''(x₀) > 0 sein.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = -⅓x³ + x² werden mögliche Extremstellen bestimmt und untersucht. Es wird gezeigt, wie man Sattelpunkte identifiziert und die Koordinaten von Extrempunkten berechnet.

Diese Seite ist besonders wichtig für das Berechnen von Extremstellen ohne 2. Ableitung und liefert ein anschauliches Beispiel für die hinreichende Bedingung von Extremstellen.

Seite 1: Monotonie und Extremstellen

Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Monotonie und Extremstellen ein. Die Monotonie einer Funktion wird definiert und der Monotoniesatz vorgestellt. Anhand eines Beispiels wird die praktische Anwendung zur Bestimmung von Monotoniebereichen demonstriert.

Definition: Eine Funktion heißt streng monoton wachsend auf einem Intervall I, wenn für alle x₁ und x₂ mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂).

Highlight: Der Monotoniesatz besagt, dass eine Funktion streng monoton wachsend ist, wenn ihre erste Ableitung positiv ist, und streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung negativ ist.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = -⅓x³ - 3x² - 5x wird die Monotonie im Intervall [-5; -1] untersucht. Die erste Ableitung wird berechnet, Nullstellen bestimmt und das Vorzeichen in den resultierenden Abschnitten geprüft.

Die Seite vermittelt wichtige Grundlagen für das Berechnen von Extremstellen und das Verständnis des Monotonieverhaltens von Funktionen.