Seite 3: Nachweis von Extremstellen

Diese Seite behandelt den Nachweis von Extremstellen und stellt zwei wichtige Sätze vor: den Vorzeichenwechselsatz und den Satz über die hinreichende Bedingung für Extremstellen.

Highlight: Der Vorzeichenwechselsatz besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f'(x₀) = 0 ist und f' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat. Für ein lokales Minimum gilt der umgekehrte Vorzeichenwechsel.

Definition: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0 gilt. Für ein lokales Minimum muss f''(x₀) > 0 sein.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = -⅓x³ + x² werden mögliche Extremstellen bestimmt und untersucht. Es wird gezeigt, wie man Sattelpunkte identifiziert und die Koordinaten von Extrempunkten berechnet.

Diese Seite ist besonders wichtig für das Berechnen von Extremstellen ohne 2. Ableitung und liefert ein anschauliches Beispiel für die hinreichende Bedingung von Extremstellen.

Seite 6: Praktische Anwendung

Diese Seite demonstriert die praktische Anwendung der zuvor gelernten Konzepte anhand eines konkreten Beispiels.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = x³ + 1 werden die Koordinaten des Wendepunktes und die Gleichung der Wendetangente bestimmt.

Highlight: Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten: Bestimmung der Ableitungen, Lösen der Gleichung f''(x) = 0, Berechnung der Funktionswerte und Aufstellen der Tangentengleichung.

Diese Seite bietet ein ausführliches Beispiel zum Berechnen von Extrempunkten und zeigt, wie man die Gleichung der Wendetangente bestimmt.