Abi Prüfung 2018/19

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Funktion f mit f(x) = 3 für x>1 Für welchen Wert von a ist f an der Stelle x₁ = 1 stetig? 13 2 Kennzahl: 13 2 0 1 1.3 Welche Lagebeziehung haben die Geraden g und h mit g: y=2·x-4 (x≤R) sowie (9) + + (-²) (tER)? -1 Signatur 80/1 (x≤R;a=R). 2 Die Geraden g und h sind identisch. Die Geraden g und h verlaufen parallel zueinander, sind aber nicht identisch. Die Geraden g und h schneiden sich orthogonal. Die Geraden g und h schneiden sich, aber nicht orthogonal. Die Geraden g und h verlaufen windschief zueinander. Math-LK-NT/Ma Schulchiffre: 1.4 Der Punkt A(2|1|4) wird an der Ebene E mit E: y =3 gespiegelt. Der Spiegelpunkt A´ von A besitzt die Koordinaten: A (254) A (2|-1|4) A (4|1|2) A (4|5|2) A (-2-1-4) 1.5 Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit der Anzahl der Versuche n = 400 und der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,1. Die Standardabweichung dieser Zufallsgröße beträgt: 2 3 6 20 Kennzahl: 2 Für jeden Wert a (a ≤R,a>0) ist die Funktion ſå gegeben mit f (x)=ẹ¯ªx (XER). 2.1 Weisen Sie nach, dass få keine Extremstelle besitzt. Für jede reelle Zahl r sind die Vektoren a = Erreichbare BE-Anzahl: 02 2.2 Die Tangente an den Graphen von få im Punkt P(0|1) schneidet die Abszissenachse im Punkt B. Ermitteln Sie den Wert von a, für den B die Koordinaten B(3|0) besitzt. 36 Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10 2.r -1 und b 3.2 Untersuchen Sie, ob es einen Wert von r gibt, sodass Fortsetzung auf Seite 4 Math-LK-NT/Ma 3.1 Bestimmen Sie den Wert von r, für den a orthogonal zu bist. 40 2 5 gegeben. r Signatur 80/1 Erreichbare BE-Anzahl: 03 Bei einer Tombola werden Lose gezogen. Ein Los ist entweder ein Gewinnlos oder eine Niete. Bei jeder Ziehung eines Loses ist die Wahrscheinlichkeit p für das Ziehen eines Gewinnloses gleich. Es werden drei Lose zufällig gezogen. Erreichbare BE-Anzahl: 02 und 6 linear abhängig sind. Erreichbare BE-Anzahl: 03 4.1 Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen genau eines Gewinnloses mit dem Term 3.p³ -6.p² +3.p berechnet werden kann. Erreichbare BE-Anzahl: 02 4.2 Ermitteln Sie den Wert von p, für den die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen genau eines Gewinnloses am größten ist. Erreichbare BE-Anzahl: 03 Seite 3 von 10 Fortsetzung Teil A 5 Betrachtet wird das Prisma_ABCDEFGH_mit_der Grundfläche ABÂCÂDk für k≤R und k>0. Es gilt: A(0|0|0), B₁ (1|k|– k), Ck (5|2·k|k) und Dk (4|k|2·k). 5.1 Zeigen Sie, dass die Grundfläche ABCkDk für jeden Wert von k ein Parallelogramm ist. Erreichbare BE-Anzahl: 02 5.2 Begründen Sie, dass der Körper ABCDEFGH ein gerades Prisma ist, wenn gilt: ABK XADK= =S. ·AE (s≤R, s# 0). Seite 4 von 10 Signatur 80/1 Erreichbare BE-Anzahl: 03 Math-LK-NT/Ma Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 2018/19 Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik Geltungsbereich: - allgemeinbildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - schulfremde Prüfungsteilnehmer -NACHTERMIN- Math-LK-NT/Ma Teil B Material für den Prüfungsteilnehmer - Allgemeine Arbeitshinweise Ihre Arbeitszeit einschließlich der Zeit für das Lesen der Aufgabentexte für den Prüfungsteil B beträgt 240 Minuten. Im Teil B sind 90 Bewertungseinheiten (BE) erreichbar. Zugelassene Hilfsmittel: entsprechend den getroffenen Festlegungen der Schule entweder grafikfähiger, programmierbarer Taschenrechner mit beziehungsweise ohne Computer-Algebra- System oder ein Computer-Algebra-System auf der Grundlage einer anderen geschlossenen Plattform Tabellen- und Formelsammlung Zeichengeräte beiliegende Materialien für Aufgaben zur Stochastik" Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung zweisprachiges Wörterbuch für Prüfungsteilnehmer mit Migrationshintergrund, deren Herkunftssprache nicht Deutsch ist (Deutsch-Herkunftssprache/Herkunftssprache-Deutsch) Handelt es sich bei den Hilfsmitteln um Wörterbücher, sind jeweils nichtelektronische und elektronische Wörterbücher zugelassen, sofern sie geschlossene Systeme ohne Möglichkeit der Speichererweiterung sind. Eventuell vorhandene Speicher müssen gesperrt oder gelöscht werden. Internetfähige Hilfsmittel sind ausgeschlossen. Signatur 80/1 Seite 5 von 10 Prüfungsinhalt Aufgabe B 1 Ein Geländeabschnitt besteht aus einem Berg und einem See. Ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O (1 Längeneinheit entspricht 100 Meter) wird in den Querschnitt dieses Geländeabschnitts gelegt. Die 20 durch den Graphen Profillinie dieses Geländeabschnitts wird von O bis zum Punkt S 3 3 (XER;0≤x≤20) beschrieben (siehe 50 der Funktion f mit f(x) = Abbildung 1). Der Punkt R besitzt die Koordinaten R(5|f( 5 )). Die Profillinie der Wasseroberfläche ist eine zur Abszissenachse parallele Strecke. Die Wassertiefe im See wird parallel zur Ordinatenachse zwischen der Profillinie der Wasseroberfläche und dem tiefsten Punkt der Profillinie des Geländeabschnitts gemessen. Y x³ Berg - 7 10 . Fortsetzung auf Seite 7 Seite 6 von 10 x² +2.x Wasser- oberfläche R Abbildung 1 (nicht maßstäblich) 20 1.1 Betrachtet wird die Funktion f im Intervall 0≤x≤² ‹s ²009 3 3 See S Bestimmen Sie den Anstieg im Wendepunkt des Graphen von f. Ermitteln Sie das Intervall x₁≤x≤X₂, in dem der Anstieg von f höchstens –0,7 beträgt. X Erreichbare BE-Anzahl: 06 1.2 Die maximale Wassertiefe im See ist erreicht, wenn die Profillinie der Wasseroberfläche der Strecke RS entspricht. Zeigen Sie, dass die maximale Wassertiefe näherungsweise 24 m beträgt. Ermitteln Sie für die Wassertiefe von 20 m die Länge der Profillinie der Wasseroberfläche. Signatur 80/1 Erreichbare BE-Anzahl: 06 1.3 Ein Klettersteig beginnt in R und endet im Punkt T(2,65|f (2,65)). Die Länge dieses Klettersteiges ist um 25 % größer als die Länge der Profillinie des Geländeabschnitts von R nach T. Ermitteln Sie die Länge des Klettersteiges. Erreichbare BE-Anzahl: 05 1.4 Auf dem Berg steht ein Sendemast. Der Sendemast entspricht einer Strecke, die parallel zur Ordinatenachse verläuft. Der Fußpunkt des Sendemastes ist P(1,6|f(1,6)). Die Spitze des Sendemastes ist vom Punkt A(6,7|0,03) aus sichtbar. Ermitteln Sie die Mindesthöhe des Sendemastes in Meter. Erreichbare BE-Anzahl: 07 Math-LK-NT/Ma Fortsetzung Aufgabe B 1 Im Geländeabschnitt werden Erdarbeiten durchgeführt. Dazu wird eine geradlinig verlaufende Rinne ausgebaggert. Die Profillinie der Rinne wird durch den Graphen der 140 beschrieben. Die Querschnittsfläche Funktion g mit g(x)= (XER, a ≤x≤ b) 105-x-224 der Rinne wird durch die Graphen der Funktionen f und g vollständig begrenzt (siehe Abbildung 2). Jede Ebene, welche die 50 m lange Rinne senkrecht zu ihrem Verlauf schneidet, erzeugt die gleiche Querschnittsfläche der Rinne. y g Rinne a b Abbildung 2 (nicht maßstäblich) kg 1.5 Das auszubaggernde Material besitzt eine durchschnittliche Dichte von 2700 Berechnen Sie die Masse des auszubaggernden Materials in Tonnen. Erreichbare BE-Anzahl: 06 1.6 Die Tiefe der Rinne wird im Intervall a ≤x≤ b parallel zur Ordinatenachse zwischen der ursprünglichen Profillinie des Geländeabschnitts und der Profillinie der Rinne gemessen. Ermitteln Sie die größte Tiefe der Rinne. Ereignis A: Ereignis B: Erreichbare BE-Anzahl: 03 1.7 Die Profillinie des Geländeabschnitts wird im weiteren Verlauf durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion h zweiten Grades beschrieben. 20 Der Graph von h soll für x ≥ folgende Eigenschaften besitzen: 3 X (1) Der Graph von f geht im Punkt S tangential in den Graphen von h über. 1 20 (2) h´´(x) = XER,X> X = R₁ x ≥ ²0). 5 3 Ermitteln Sie die Koordinaten des Extrempunktes des Graphen von h. Math-LK-NT/Ma Skifahren ist ein beliebter Wintersport, bei dem es leider immer wieder zu Unfällen kommt. 1.8 Aufgrund einer statistischen Erhebung ist bekannt, dass der Anteil von Kindern an den Unfallverursachern bei 8 % liegt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: Erreichbare BE-Anzahl: 07 Höchstens vier der nächsten 20 Unfälle werden von Kindern verursacht. Bei den nächsten 20 Unfällen wird kein Unfall von Kindern verursacht. Erreichbare BE-Anzahl: 04 1.9 Eine Analyse der ärztlich behandelten Unfälle in der letzten Wintersaison unterscheidet die Verletzungen bei Frauen und Männern. Es wurde festgestellt, dass bei den verletzten Frauen der Anteil der Knieverletzungen 44,2 % betrug. Bei den verletzten Männern betrug dieser Anteil 23,4 %. Insgesamt 31,6 % aller Verletzungen waren Knieverletzungen. Bestimmen Sie den Anteil der verletzten Frauen an allen Verletzten. Signatur 80/1 Erreichbare BE-Anzahl: 05 Seite 7 von 10 Die Abbildung zeigt den Turm einer Kirche. Der Turm besteht aus dem Quader ABCDEFGH und der geraden regelmäßigen sechseckigen Pyramide IJKLMNS. In den Turm wird ein kartesisches Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter) gelegt. Der Punkt D liegt im Koordinatenursprung, der Punkt A auf der x-Achse. Die Grundfläche des Quaders liegt in der x-y-Ebene. Es gilt: F(6|6|40) und J(3+1,5-√√3|4,5|40). Der Punkt K ist Mittelpunkt der Kante FG. Der Punkt N ist Mittelpunkt der Kante EH. 2.1 Begründen Sie, dass der Punkt K die Koordinaten K(3|6|40) besitzt. | 3 6 40 COS α = 3 Bestimmen Sie die Länge einer Seite der Grundfläche der Pyramide IJKLMNS. Erreichbare BE-Anzahl: 04 2.2 Die Spitze S besitzt die Koordinaten S(3|3|67). Berechnen Sie den Neigungswinkel der Fläche JKS gegenüber der Grundfläche der Pyramide. 67 Hi 3 - 27 0 Aufgabe B 2 Erreichbare BE-Anzahl: 04 2.3 Auf dem Dach eines Nachbargebäudes befindet sich im Punkt T(-15|y₁|ZT) ein Strahler, der den Turm beleuchtet. Der Schattenpunkt der Spitze S befindet sich auf der Hauswand eines weiteren Gebäudes und besitzt die Koordinaten (48-19,5 34,5). Bestimmen Sie die Koordinaten von T. Erreichbare BE-Anzahl: 05 2.4 Die Rechenschritte I bis III liefern im Zusammenhang mit dem Turm die Lösung einer Aufgabe: O - 27 GK -27 03 Fortsetzung auf Seite 9 Seite 8 von 10 1,5-√3 1,5 - 27 1,5-√3 1,5 -27 →> || α~ E NA 6,3° Formulieren Sie eine zugehörige Aufgabenstellung. Erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. Signatur 80/1 N D 3+1,5-√3 4,5 40 S XA B Abbildung (nicht maßstäblich) y G* 3 1,5-√√3 1,5 -27 Erreichbare BE-Anzahl: 04 Math-LK-NT/Ma Fortsetzung Aufgabe B 2 2.5 Die Fläche EFP begrenzt eine Mauer, in die eine Turmuhr eingebaut werden soll (siehe Abbildung). Der Punkt P besitzt die Koordinaten P(6|3|45). Das Ziffernblatt dieser Turmuhr soll vollständig in der Fläche EFP liegen und folgende Eigenschaften besitzen: (1) Das Ziffernblatt ist rechteckig. (2) Zwei Seiten des Ziffernblattes verlaufen senkrecht zur Kante EF. (3) Das Ziffernblatt besitzt maximalen Flächeninhalt. Ermitteln Sie die Seitenlängen des Ziffernblattes. 2.6 Im Punkt C ist ein Laser angebracht, der im Inneren des Turms die Stabilität dieses Turms überwacht. Erreichbare BE-Anzahl: 06 Auf der Kante AE befinden sich die Kontrollpunkte U und V, welche voneinander einen Abstand von 15,0 m besitzen. Von C nach U und von C nach V verlaufen Messstrahlen. Diese Messstrahlen schließen einen Winkel von 30,0° ein. Ermitteln Sie die Koordinaten von U und V. Die Kirche befindet sich in einer Verkehrszone, in der für alle Fahrzeuge die zugelassene km km Höchstgeschwindigkeit am Tag auf 30- und in der Nacht auf 50 begrenzt ist. Die h h Geschwindigkeiten der Fahrzeuge in dieser Verkehrszone werden am Tag und in der Nacht jeweils als normalverteilt betrachtet. Erreichbare BE-Anzahl: 07 2.7 Die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge sind am Tag normalverteilt mit dem km Erwartungswert 32 und der Standardabweichung 7. h km h In der Verkehrszone wird am Tag ein Fahrzeug zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeit dieses km Fahrzeugs mehr als 34 beträgt. h Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeit dieses Fahrzeugs nicht mehr als 12,5 % vom Erwartungswert abweicht. Math-LK-NT/Ma Signatur 80/1 2.8 Die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge sind in der Nacht normalverteilt mit der km Standardabweichung 10- In der Nacht überschreiten erfahrungsgemäß 30 % aller h Fahrzeuge die zugelassene Höchstgeschwindigkeit. Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Geschwindigkeit der Fahrzeuge in der Nacht. Erreichbare BE-Anzahl: 04 Erreichbare BE-Anzahl: 07 Seite 9 von 10 Materialien für Aufgaben zur Stochastik Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 1+2 2 (z)= je е 1 2π -∞ ¢(-z)=1-Þ(z) 1 0 2 3 4 5 Z 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6293 0,6331 0,6664 0,6700 0,7019 0,7054 dt 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 1,3 1,4 0,9032 0,9049 0,9066 0,9192 0,9207 0,9222 0,9332 0,9345 0,9357 1,5 Seite 10 von 10 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9484 0,9495 0,9452 0,9463 0,9474 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 0,9756 0,9761 0,9767 0,9750 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 1,7 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 Math-LK-NT/Ma