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Grenzwerte

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 Beispiel 1
x gegen
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х дедел.
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GRENZWERTE
Der Grenzwert wird auch Limes genannt. Dieser beschreibt das
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Beispiel 1 x gegen Beispiel 2 х дедел. - X GRENZWERTE Der Grenzwert wird auch Limes genannt. Dieser beschreibt das Verhalten von Funktionen, wenn der x-Wert sich einem bestimmten wert annähert oder ins Unendliche geht. Grenzwerte im Unendlichen →hierbei wird betrachtet, wie sich eine Funktion bzw. ihre Funktionswerte verhalten, wenn x Unendlich läuft (also unendlich gegen groß wird) → x kann gegen + ∞o und gegen - + ∞ - 2 - 2 A = lim f(x) x → a + und gegen - ∞ laufen A=lim f(x) und A=lim f(x) X→∞ X→-∞ x gegen + ∞ X →x gegen + ∞ X Wenn x gegen + ∞ läuft, läuft der Graph ebenfalls gegen +∞o. Aber wenn x gegen-∞ läuft, läuft der Graph gegen-00. Für diese Funktion gilt: lim f(x) = ∞0 und lim f(x) =-∞ X→∞ X-→-8 Wenn x gegen + ∞ läuft, läuft der Graph ebenfalls gegen O. Der Graph Schmiegt sich an diex-Achse an, doch berührt diese niemals. Aber wenn x gegen-∞o läuft, läuft der Graph gegen +∞o. Für diese Funktion gilt: lim f(x) = 0 und lim f(x) =+00 X→∞ 84-8 Beispiel 3: -4 -3 -2 Grenzwerte im Endlichen →hierbei wird betrachtet, wie sich eine Funktion bzw. ihre Funktionswerte verhalten, wenn x gegen eine Stelle xo läuft → dabei kann sich die Funktion von links und rechts an die Stelle annähren Definitions- lücke 2 -2 + A=lim f(x) x→ Xo x < 0 linksseitiger Grenzwert x (4) lim Grenzwerte berechnen - Grenzwertberechnung mittels Termvereinfachung ↳ einfache Terme erhalten z. B. durch Ausklammern, kürzen, binomische Formeln, Anwendung der Grenzwertsätze Wenn x<2 ist und gegen...

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2 läuft, 1st der linksseitige Grenzwert 4. Grenzwertsätze f und g seien Funktionen mit den Grenzwerten lim f(x) = A und lim g(x) = B (A, BER) (f(x) (x) x → хо Wenn x>2 ist und gegen 2 läuft, 1st der rechtsseitige Grenzwert ebenfalls 4. An der Stelle x=2 ist die Funktion nicht definiert und somit gibt es dort eine Definitionslücke. Limes liner Zahl entspricht der Zahl (1) lim (f(x) + g(x)) = lim (f (x)) + lim (g(x)) = A+B x → хо x → хо хохо A= lim f(x) x→ Xo x > O (2) lim (f(x)-g(x)) = lim (f(x)) - lim (g(x)) = A-B х - хо хохо x → Xo rechtsseitiger Grenzwert (3) lim (f(x) · g(x)) = lim (f(x)) · lim (g(x)) = A· B х → хо х → хо х-хо lim (f(x)) = x→xo =슴 J falls B÷0 und g(x) #0 in einer Umgebung von xo lim (9 (x)) х - хо Das selbe gilt für x→-∞0 und x→ ∞0 Beispiele: f(x) = 4x−1 X lim (4x-1) x →80 = lim x(4-4) x-00 = lim_ (4-1) x →∞ =lim 4 x →∞0 =4-0 = 4 lim 8-0 lim (4x-1) = lim x(4-1) X-4-00 X-→-00 =lim 4 X-→-00 =4-0 = 4 - = lim (4-1) X-→-00 - lim A x-→-∞0 Hebbare Definitionslücken Eine hebbare Definitionslücke liegt vor, wenn die Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, aber stetig fortgesetzt werden kann. Beispiel: f(x) = ist die Nullstelle to eine Nullstelle des Nenners, aber keine des Zählers, liegt eine Polstelle vor (x²-1)-(x-2) X-2 hebbare Definitionslücken berechnen allgemeine Vorgehensweise: 1. Nullstellen des Nenners berechnen •Nullfolge ); Der Grenzwert einer Nullfolge, wenn X →±∞, ist immer O. hebbare Definitionslücke: x=2 → Die Funktion ist nicht definiert an der Stelle x=2, da der Nenner des Funktionswertes 0 wäre und man nicht durch 0 teilen darf wenn die rationale Funktion im Nenner line Nulstelle hat, liegt eine Definitionslücke vor 2. Nullstellen des Zählers berechnen 3. Polstelle oder hebbare Definitionslücke? Beispiel: ist die Nullstelle to eine Nullstelle des Nenners und eine des Zählers, liegt eventuell eine hebbare Definitionslücke vor 4. Faktorisieren des venners und Zählers 5. Kürzen des Bruches 6. Polstelle oder hebbare Definitionslücke 2 → Die Definitionslücken, die nach dem Kürzen keine Nullstelle des nennerpolynoms mehr sind, sind hebbare Definitionslücken A f(x)= Eine Polstelle ist eine Stelle, In deren nähe die Funktionswerte gegen ±00 laufen. (x²-1)-(x-2) X-2 1. Nullstellen des Nenners berechnen 0= x-2 1+2 x=2 → Definitionslücke liegt vor 2. Nullstellen des Zählers berechnen (x²-1)(x-2) = 0 x²³-2x²-x+2 =O L>mit Polynomdivision+pQ-Formel: 3. Polstelle oder hebbare Definitionslücke? x₁=2 → mögliche hebbare Definitionslücke x₂ =2 (x²-1)-(x-25 (x2) 4. +5. = x²-1 x=-1 x₂ = 2 x3 =1 6. Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da die Nullstelle des Nennerpolynoms nach dem Kürzen nicht mehr im Nenner steht.

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Beispiel 1 x gegen Beispiel 2 х дедел. - X GRENZWERTE Der Grenzwert wird auch Limes genannt. Dieser beschreibt das Verhalten von Funktionen, wenn der x-Wert sich einem bestimmten wert annähert oder ins Unendliche geht. Grenzwerte im Unendlichen →hierbei wird betrachtet, wie sich eine Funktion bzw. ihre Funktionswerte verhalten, wenn x Unendlich läuft (also unendlich gegen groß wird) → x kann gegen + ∞o und gegen - + ∞ - 2 - 2 A = lim f(x) x → a + und gegen - ∞ laufen A=lim f(x) und A=lim f(x) X→∞ X→-∞ x gegen + ∞ X →x gegen + ∞ X Wenn x gegen + ∞ läuft, läuft der Graph ebenfalls gegen +∞o. Aber wenn x gegen-∞ läuft, läuft der Graph gegen-00. Für diese Funktion gilt: lim f(x) = ∞0 und lim f(x) =-∞ X→∞ X-→-8 Wenn x gegen + ∞ läuft, läuft der Graph ebenfalls gegen O. Der Graph Schmiegt sich an diex-Achse an, doch berührt diese niemals. Aber wenn x gegen-∞o läuft, läuft der Graph gegen +∞o. Für diese Funktion gilt: lim f(x) = 0 und lim f(x) =+00 X→∞ 84-8 Beispiel 3: -4 -3 -2 Grenzwerte im Endlichen →hierbei wird betrachtet, wie sich eine Funktion bzw. ihre Funktionswerte verhalten, wenn x gegen eine Stelle xo läuft → dabei kann sich die Funktion von links und rechts an die Stelle annähren Definitions- lücke 2 -2 + A=lim f(x) x→ Xo x < 0 linksseitiger Grenzwert x (4) lim Grenzwerte berechnen - Grenzwertberechnung mittels Termvereinfachung ↳ einfache Terme erhalten z. B. durch Ausklammern, kürzen, binomische Formeln, Anwendung der Grenzwertsätze Wenn x<2 ist und gegen...

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