Extremstellen und Wendepunkte berechnen
Für Extrempunkte brauchst du zwei Bedingungen: Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0, und die hinreichende Bedingung prüft mit der zweiten Ableitung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. Bei f''(x) < 0 hast du einen Hochpunkt, bei f''(x) > 0 einen Tiefpunkt.
Wendepunkte findest du mit der notwendigen Bedingung f''(x) = 0. Die hinreichende Bedingung verlangt zusätzlich, dass f'''(x) ≠ 0 ist. An diesen Stellen ändert sich das Krümmungsverhalten der Kurve von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt oder umgekehrt.
Schauen wir uns ein Beispiel an: Bei f(x) = 3x² - 6x ist f'(x) = 6x - 6. Für Extremstellen setzen wir f'(x) = 0 und erhalten x = 1. Da f''(x) = 6 > 0 ist, haben wir einen Tiefpunkt bei (1|-3). Bei f(x) = x³ - 3x² finden wir einen Wendepunkt bei (1|-2), da f''(1) = 0 und f'''(x) ≠ 0.
Merke: Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird durch die zweite Ableitung bestimmt. Ist f''(x) < 0, ist die Funktion rechtsgekrümmt, bei f''(x) > 0 linksgekrümmt. An einem Wendepunkt wechselt dieses Verhalten.
Bei der Trassierung in der Mathematik geht es genau um diese Analyse des Krümmungsverhaltens und ist wichtig für angewandte Aufgaben. Achte bei der Berechnung von globalen Extremstellen darauf, alle kritischen Punkte zu vergleichen!