Extremstellen und Wendepunkte berechnen
Wenn du Extrempunkte berechnen musst, starte mit der notwendigen Bedingung: Die erste Ableitung muss gleich Null sein f′(x = 0). Danach folgt die hinreichende Bedingung, bei der du prüfst, ob die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist.
Bei einer zweiten Ableitung f''(x) < 0 hast du ein Maximum (Hochpunkt) gefunden. Ist f''(x) > 0, handelt es sich um ein Minimum Tiefpunkt. Setze anschließend deinen x-Wert in die Originalfunktion ein, um den y-Wert zu erhalten. Der Extrempunkt hat dann die Koordinaten (x|y).
Für Wendepunkte berechnen ist die notwendige Bedingung, dass die zweite Ableitung Null ist f′′(x = 0). Die hinreichende Bedingung verlangt, dass die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist. Der Wendepunkt beschreibt, wo die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert.
Merke: Bei Extremstellen ändert sich die Steigung (von positiv zu negativ oder umgekehrt), während bei Wendepunkten sich das Krümmungsverhalten der Kurve ändert!
Zum Krümmungsverhalten: Eine Funktion ist rechtsgekrümmt, wenn f''(x) < 0, und linksgekrümmt, wenn f''(x) > 0. Dies hilft dir, den Verlauf einer Funktion besser zu verstehen.
Achte auf bestimmte Eigenschaften von Funktionen:
- Punktsymmetrische Funktionen haben ungerade Exponenten
- Achsensymmetrische Funktionen haben gerade Exponenten
- Hoch- und Tiefpunkte findest du über f'x = 0
- Wendepunkte findest du über f''x = 0
- Normale Nullstellen ermittelst du über fx = 0
Bei der Berechnung von globalen Extremstellen musst du alle Extrempunkte im gegebenen Intervall vergleichen und den größten/kleinsten Wert identifizieren.