Extremstellen und Wendepunkte berechnen

Dieser Abschnitt behandelt die Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten bei mathematischen Funktionen. Es werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für beide Arten von Punkten erläutert.

Für Extrempunkte gilt: • Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 • Hinreichende Bedingung:

• f'(x) = 0 und f''(xE) < 0 für ein Maximum (Hochpunkt)
• f'(x) = 0 und f''(xE) > 0 für ein Minimum (Tiefpunkt)

Für Wendepunkte gilt: • Notwendige Bedingung: f''(x) = 0 • Hinreichende Bedingung: f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0

Definition: Ein Extrempunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion ein lokales Maximum oder Minimum erreicht.

Definition: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert.

Der Abschnitt behandelt auch Steckbriefaufgaben und Symmetrieeigenschaften von Funktionen: • Punktsymmetrie: nur ungerade Exponenten • Achsensymmetrie: nur gerade Exponenten

Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird ebenfalls erläutert: • f''(x) < 0: rechtsgekrümmt • f''(x) > 0: linksgekrümmt • f'(x) negativ: rechtsgekrümmt • f'(x) positiv: linksgekrümmt

Highlight: Die erste Ableitung gibt Auskunft über die Steigung, während die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten beschreibt.

Zwei Beispiele veranschaulichen die Anwendung der Formeln:

1. f(x) = 3x² - 6x Hier wird die Berechnung eines Extrempunkts gezeigt.

2. f(x) = x³ - 3x² Dieses Beispiel demonstriert die Berechnung eines Wendepunkts.

Example: Für f(x) = x³ - 3x² ergibt sich ein Wendepunkt bei (1, -2).

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Berechnung von Extremstellen und Wendepunkten, einschließlich praktischer Beispiele und wichtiger Definitionen.