Praktisches Beispiel zur Extremstellenberechnung

Diese Seite demonstriert die Anwendung der Methode zur Berechnung von Extremstellen anhand eines konkreten Beispiels. Die Funktion f(x) = 5x³ + 3x² + 16 wird Schritt für Schritt analysiert, um ihre Extrempunkte zu berechnen.

Example: Berechnung der Extremstellen für f(x) = 5x³ + 3x² + 16

1. Erste Ableitung bilden: f'(x) = 15x² + 6x

2. Nullstellen der ersten Ableitung finden: 0 = 15x² + 6x 0 = x(15x + 6) x₁ = 0 oder 15x + 6 = 0 x₂ = -0,4

3. Zweite Ableitung bilden: f''(x) = 30x + 6

4. Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen: Für x₁ = 0: f''(0) = 30 · 0 + 6 = 6 > 0 → Tiefpunkt Für x₂ = -0,4: f''(-0,4) = 30 · (-0,4) + 6 = -6 < 0 → Hochpunkt

5. y-Koordinaten berechnen: Für x₁ = 0: f(0) = 5 · 0³ + 3 · 0² + 16 = 16 Für x₂ = -0,4: f(-0,4) = 5(-0,4)³ + 3(-0,4)² + 16 ≈ 15,2

Highlight: Die Extrempunkte der Funktion sind der Tiefpunkt T(0|16) und der Hochpunkt H(-0,4|15,2).

Dieses Beispiel veranschaulicht, wie man Extremstellen ohne 2. Ableitung berechnen kann, indem man die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen anwendet. Es zeigt auch, wie man lokale und globale Extrema identifizieren kann, was besonders nützlich ist, um den Funktionsverlauf zu verstehen und Optimierungsprobleme zu lösen.

Vocabulary: Ein Sattelpunkt wäre aufgetreten, wenn f''(x) = 0 gewesen wäre, was hier nicht der Fall ist.

Die Methode zur Berechnung von Extremstellen lässt sich auf verschiedene Funktionstypen anwenden, einschließlich e-Funktionen und komplexerer polynomialer Funktionen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug in der Analysis und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer praktischen Anwendungen.