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Mathe
4. Dez. 2025
5.671
3 Seiten
Kiara @kiara_hct
The mathematical concept of finding extremal points (Extremstellen) is crucial in calculus, focusing on identifying both local and... Mehr anzeigen
Diese Seite demonstriert die Anwendung der Methode zur Berechnung von Extremstellen anhand eines konkreten Beispiels. Die Funktion f(x) = 5x³ + 3x² + 16 wird Schritt für Schritt analysiert, um ihre Extrempunkte zu berechnen.
Example Berechnung der Extremstellen für f(x) = 5x³ + 3x² + 16
Erste Ableitung bilden f'(x) = 15x² + 6x
Nullstellen der ersten Ableitung finden 0 = 15x² + 6x 0 = x x₁ = 0 oder 15x + 6 = 0 x₂ = -0,4
Zweite Ableitung bilden f''(x) = 30x + 6
Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen Für x₁ = 0 f''(0) = 30 · 0 + 6 = 6 > 0 → Tiefpunkt Für x₂ = -0,4 f''(-0,4) = 30 · (-0,4) + 6 = -6 < 0 → Hochpunkt
y-Koordinaten berechnen Für x₁ = 0 f(0) = 5 · 0³ + 3 · 0² + 16 = 16 Für x₂ = -0,4 f(-0,4) = 5(-0,4)³ + 3(-0,4)² + 16 ≈ 15,2
Highlight Die Extrempunkte der Funktion sind der Tiefpunkt T(0|16) und der Hochpunkt H(-0,4|15,2).
Dieses Beispiel veranschaulicht, wie man Extremstellen ohne 2. Ableitung berechnen kann, indem man die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen anwendet. Es zeigt auch, wie man lokale und globale Extrema identifizieren kann, was besonders nützlich ist, um den Funktionsverlauf zu verstehen und Optimierungsprobleme zu lösen.
Vocabulary Ein Sattelpunkt wäre aufgetreten, wenn f''(x) = 0 gewesen wäre, was hier nicht der Fall ist.
Die Methode zur Berechnung von Extremstellen lässt sich auf verschiedene Funktionstypen anwenden, einschließlich e-Funktionen und komplexerer polynomialer Funktionen. Sie ist ein grundlegendes Werkzeug in der Analysis und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer praktischen Anwendungen.
Page 3
Extremstellen sind entscheidende Punkte im Verlauf einer Funktion, die maximale oder minimale Werte repräsentieren. Diese Seite führt in die verschiedenen Arten von Extrempunkten ein und erläutert die grundlegende Methode zu ihrer Berechnung.
Definition Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen lokale oder globale Maxima oder Minima auftreten.
Es werden zwei Haupttypen von Extrempunkten unterschieden
Globale Extrempunkte Dies sind die absolut höchsten Hochpunkte oder niedrigsten Tiefpunkte einer Funktion im betrachteten Bereich.
Lokale Extrempunkte Diese repräsentieren Hoch- und Tiefpunkte, die zwar in ihrer unmittelbaren Umgebung Extrema darstellen, aber nicht unbedingt die höchsten oder tiefsten Punkte der gesamten Funktion sind.
Highlight Die Berechnung von Extremstellen erfolgt mithilfe der ersten Ableitung der gegebenen Funktion f'(x).
Der Prozess zur Berechnung von Extremstellen umfasst folgende Schritte
Vocabulary Hinreichende Bedingung für Extremstellen ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen.
Diese Methode ermöglicht es, Hoch- und Tiefpunkte zu berechnen und somit den Verlauf einer Funktion genau zu analysieren.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Entdecken Sie die Konzepte von Extrem- und Wendepunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definitionen von Monotonie, die Berechnung von lokalen Extrema und Wendepunkten sowie das Krümmungsverhalten von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
MatheDiese Klausur behandelt die mathematische Analyse der Wassermenge in einem Wasserturm. Sie umfasst die Bestimmung von Extrempunkten, Ableitungen, graphische Lösungen und die Anwendung des Differenzenquotienten. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen in der Analysis vorbereiten. Themen: Ableitungen, lokale Extremstellen, graphische Differenzierung und Funktionstransformationen.
MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben auf Seite 86 des Mathebuchs Lambacher Schweizer EF. Diese Zusammenfassung behandelt die Anwendung der Differenzierung, Nullstellen, Extrempunkte und charakteristische Punkte von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Mathematik vertiefen möchten.
MatheVertiefen Sie Ihr Wissen in der mathematischen Analyse mit diesem umfassenden Arbeitsblatt. Es behandelt Ableitungen, das Verhalten von Funktionen, Extrem- und Wendepunkte sowie die Anwendung der Differentiation. Ideal für die Vorbereitung auf die Klausur im Mathematik Leistungskurs der 10. Klasse. Schwerpunkte: Ableitungen, Graphen, quadratische Gleichungen, und Differenzierungsregeln.
MatheUmfassende Übersicht über alle relevanten Themen für das Mathematik-Abitur 2021. Behandelt werden Analysis, Geometrie, Stochastik und wichtige Formulierungen für die mündliche Prüfung. Ideal für die gezielte Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis komplexer mathematischer Konzepte.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Kurvendiskussion, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Monotonieverhalten und Wendepunkten. Erfahren Sie, wie man Steckbriefaufgaben löst und die Wahrscheinlichkeiten in Bernoulli-Experimenten berechnet. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über wichtige Konzepte wie graphische Ableitungen, Nullstellen und Krümmungsverhalten. Ideal für Studierende der Mathematik.
MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Stefan S
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Samantha Klich
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Kiara
@kiara_hct
The mathematical concept of finding extremal points (Extremstellen) is crucial in calculus, focusing on identifying both local and global maxima and minima of functions. This comprehensive guide covers the systematic approach to calculating these points using derivatives.
• Extremstellen berechnen... Mehr anzeigen
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Diese Seite demonstriert die Anwendung der Methode zur Berechnung von Extremstellen anhand eines konkreten Beispiels. Die Funktion f(x) = 5x³ + 3x² + 16 wird Schritt für Schritt analysiert, um ihre Extrempunkte zu berechnen.
Example: Berechnung der Extremstellen für f(x) = 5x³ + 3x² + 16
Erste Ableitung bilden: f'(x) = 15x² + 6x
Nullstellen der ersten Ableitung finden: 0 = 15x² + 6x 0 = x x₁ = 0 oder 15x + 6 = 0 x₂ = -0,4
Zweite Ableitung bilden: f''(x) = 30x + 6
Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen: Für x₁ = 0: f''(0) = 30 · 0 + 6 = 6 > 0 → Tiefpunkt Für x₂ = -0,4: f''(-0,4) = 30 · (-0,4) + 6 = -6 < 0 → Hochpunkt
y-Koordinaten berechnen: Für x₁ = 0: f(0) = 5 · 0³ + 3 · 0² + 16 = 16 Für x₂ = -0,4: f(-0,4) = 5(-0,4)³ + 3(-0,4)² + 16 ≈ 15,2
Highlight: Die Extrempunkte der Funktion sind der Tiefpunkt T(0|16) und der Hochpunkt H(-0,4|15,2).
Dieses Beispiel veranschaulicht, wie man Extremstellen ohne 2. Ableitung berechnen kann, indem man die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen anwendet. Es zeigt auch, wie man lokale und globale Extrema identifizieren kann, was besonders nützlich ist, um den Funktionsverlauf zu verstehen und Optimierungsprobleme zu lösen.
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Extremstellen sind entscheidende Punkte im Verlauf einer Funktion, die maximale oder minimale Werte repräsentieren. Diese Seite führt in die verschiedenen Arten von Extrempunkten ein und erläutert die grundlegende Methode zu ihrer Berechnung.
Definition: Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen lokale oder globale Maxima oder Minima auftreten.
Es werden zwei Haupttypen von Extrempunkten unterschieden:
Globale Extrempunkte: Dies sind die absolut höchsten Hochpunkte oder niedrigsten Tiefpunkte einer Funktion im betrachteten Bereich.
Lokale Extrempunkte: Diese repräsentieren Hoch- und Tiefpunkte, die zwar in ihrer unmittelbaren Umgebung Extrema darstellen, aber nicht unbedingt die höchsten oder tiefsten Punkte der gesamten Funktion sind.
Highlight: Die Berechnung von Extremstellen erfolgt mithilfe der ersten Ableitung der gegebenen Funktion f'(x).
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Entdecken Sie die Konzepte von Extrem- und Wendepunkten in Funktionen. Diese Zusammenfassung behandelt die Definitionen von Monotonie, die Berechnung von lokalen Extrema und Wendepunkten sowie das Krümmungsverhalten von Funktionen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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