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Hochpunkt und tiefpunkt

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20. Jan. 2021

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Extremwertaufgaben Übungen und Lösungen für Klasse 9, 11 und Abitur PDF

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deinelernzettel

@deinelernzettel

Extremwertaufgaben sind ein wichtiges Thema in der Mathematik, das sich... Mehr anzeigen

EXTREMWERTAUFGABEN andere Bezeichnungen: Extremwertprobleme, Optimierungsaufgaben Eine Extremwertaufgabe ist eine Frage-1 Problemstellung be

Beispielaufgabe: Optimierung einer Dose

Auf dieser Seite wird ein konkretes Beispiel für eine Extremwertaufgabe vorgestellt. Es handelt sich um die Optimierung einer Dose, bei der das Volumen vorgegeben ist und der Materialbedarf minimiert werden soll.

Die Aufgabe lautet: Das Volumen einer Dose soll 330ml betragen. Dabei soll der Materialbedarf pro Dose durch eine günstige Formgebung minimiert werden. Gesucht sind die optimalen Werte für Radius r und Höhe h der Dose.

Die Lösung wird Schritt für Schritt nach der zuvor vorgestellten Methode durchgeführt:

  1. Hauptbedingung: Ar,hr,h = 2πrh + 2πr²
  2. Nebenbedingung: V = πr²h = 330
  3. Umformung der Nebenbedingung: h = 330 / πr2πr²
  4. Einsetzen in die Hauptbedingung: Arr = 2·330/r + 2πr²
  5. Extremwertberechnung durch Ableitung und Nullsetzen

Example: Die Zielfunktion lautet Arr = 660/r + 2πr². Durch Ableiten und Nullsetzen erhält man r ≈ 3,745.

Diese detaillierte Durchführung zeigt, wie Extremwertaufgaben Beispiele in der Praxis gelöst werden und ist besonders nützlich für Studierende, die Extremwertaufgaben mit Lösungen uni oder Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Aufgaben und Lösungen suchen.

EXTREMWERTAUFGABEN andere Bezeichnungen: Extremwertprobleme, Optimierungsaufgaben Eine Extremwertaufgabe ist eine Frage-1 Problemstellung be

Abschluss und Lösungsverifikation

Der letzte Teil der Aufgabe befasst sich mit der Verifikation der gefundenen Lösung und der Bestimmung der zweiten Variable. Dies ist ein wichtiger Schritt in Extremwertaufgaben, um sicherzustellen, dass die gefundene Lösung tatsächlich ein Minimum oder Maximum darstellt.

Zunächst wird bewiesen, dass der gefundene Wert r = 3,745 tatsächlich einen Tiefpunkt darstellt. Dies geschieht durch Berechnung der zweiten Ableitung und Einsetzen des r-Wertes:

A"rr = 1320/r³ + 4π A"3,7453,745 ≈ 37,7 > 0, was einen Tiefpunkt bestätigt.

Anschließend wird die zweite Variable h bestimmt, indem der gefundene r-Wert in die umgeformte Nebenbedingung eingesetzt wird:

h = 330 / π⋅3,7452π · 3,745² ≈ 7,49

Highlight: Die Funktion Ar,hr,h hat ein Minimum bei r = 3,745 cm und h = 7,49 cm.

Diese abschließende Verifikation und Bestimmung aller Variablen ist ein wesentlicher Bestandteil von Extremwertaufgaben mit Lösungen und wird oft in Extremwertaufgaben Arbeitsblatt oder Extremwertaufgaben mit Lösungen abitur pdf Materialien behandelt. Sie zeigt, wie wichtig es ist, die gefundene Lösung zu überprüfen und alle Aspekte der Aufgabe vollständig zu bearbeiten.

EXTREMWERTAUFGABEN andere Bezeichnungen: Extremwertprobleme, Optimierungsaufgaben Eine Extremwertaufgabe ist eine Frage-1 Problemstellung be

Einführung in Extremwertaufgaben

Dieser Abschnitt führt in das Konzept der Extremwertaufgaben ein, die auch als Extremwertprobleme oder Optimierungsaufgaben bekannt sind. Es wird eine allgemeine Vorgehensweise in sieben Schritten vorgestellt, die bei der Lösung solcher Aufgaben angewendet werden kann.

Definition: Eine Extremwertaufgabe ist eine Problemstellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert oder minimiert werden soll.

Die sieben Schritte zur Lösung von Extremwertaufgaben sind:

  1. Aufstellung der Hauptbedingung
  2. Aufstellung der Nebenbedingung
  3. Umformung der Nebenbedingung
  4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung
  5. Berechnung des Extremwerts
  6. Bestimmung der zweiten Variable
  7. Angabe der Lösung

Highlight: Bei der Berechnung des Extremwerts ist es wichtig zu beachten, dass bei einer Maximierung ein Hochpunkt f"(xf"(x < 0) und bei einer Minimierung ein Tiefpunkt f"(xf"(x > 0) gesucht wird.

Diese strukturierte Vorgehensweise bildet die Grundlage für die Lösung von Extremwertaufgaben mit Lösungen, wie sie oft in Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF oder Extremwertaufgaben mit Lösungen Klasse 11 PDF zu finden sind.



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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Extremwertaufgaben sind ein wichtiges Thema in der Mathematik, das sich mit der Optimierung von Funktionen unter bestimmten Bedingungen befasst. Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über die Vorgehensweise bei Extremwertaufgaben und enthält ein detailliertes Beispiel zur Veranschaulichung.

• Die allgemeine... Mehr anzeigen

EXTREMWERTAUFGABEN andere Bezeichnungen: Extremwertprobleme, Optimierungsaufgaben Eine Extremwertaufgabe ist eine Frage-1 Problemstellung be

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Beispielaufgabe: Optimierung einer Dose

Auf dieser Seite wird ein konkretes Beispiel für eine Extremwertaufgabe vorgestellt. Es handelt sich um die Optimierung einer Dose, bei der das Volumen vorgegeben ist und der Materialbedarf minimiert werden soll.

Die Aufgabe lautet: Das Volumen einer Dose soll 330ml betragen. Dabei soll der Materialbedarf pro Dose durch eine günstige Formgebung minimiert werden. Gesucht sind die optimalen Werte für Radius r und Höhe h der Dose.

Die Lösung wird Schritt für Schritt nach der zuvor vorgestellten Methode durchgeführt:

  1. Hauptbedingung: Ar,hr,h = 2πrh + 2πr²
  2. Nebenbedingung: V = πr²h = 330
  3. Umformung der Nebenbedingung: h = 330 / πr2πr²
  4. Einsetzen in die Hauptbedingung: Arr = 2·330/r + 2πr²
  5. Extremwertberechnung durch Ableitung und Nullsetzen

Example: Die Zielfunktion lautet Arr = 660/r + 2πr². Durch Ableiten und Nullsetzen erhält man r ≈ 3,745.

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Abschluss und Lösungsverifikation

Der letzte Teil der Aufgabe befasst sich mit der Verifikation der gefundenen Lösung und der Bestimmung der zweiten Variable. Dies ist ein wichtiger Schritt in Extremwertaufgaben, um sicherzustellen, dass die gefundene Lösung tatsächlich ein Minimum oder Maximum darstellt.

Zunächst wird bewiesen, dass der gefundene Wert r = 3,745 tatsächlich einen Tiefpunkt darstellt. Dies geschieht durch Berechnung der zweiten Ableitung und Einsetzen des r-Wertes:

A"rr = 1320/r³ + 4π A"3,7453,745 ≈ 37,7 > 0, was einen Tiefpunkt bestätigt.

Anschließend wird die zweite Variable h bestimmt, indem der gefundene r-Wert in die umgeformte Nebenbedingung eingesetzt wird:

h = 330 / π⋅3,7452π · 3,745² ≈ 7,49

Highlight: Die Funktion Ar,hr,h hat ein Minimum bei r = 3,745 cm und h = 7,49 cm.

Diese abschließende Verifikation und Bestimmung aller Variablen ist ein wesentlicher Bestandteil von Extremwertaufgaben mit Lösungen und wird oft in Extremwertaufgaben Arbeitsblatt oder Extremwertaufgaben mit Lösungen abitur pdf Materialien behandelt. Sie zeigt, wie wichtig es ist, die gefundene Lösung zu überprüfen und alle Aspekte der Aufgabe vollständig zu bearbeiten.

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Einführung in Extremwertaufgaben

Dieser Abschnitt führt in das Konzept der Extremwertaufgaben ein, die auch als Extremwertprobleme oder Optimierungsaufgaben bekannt sind. Es wird eine allgemeine Vorgehensweise in sieben Schritten vorgestellt, die bei der Lösung solcher Aufgaben angewendet werden kann.

Definition: Eine Extremwertaufgabe ist eine Problemstellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert oder minimiert werden soll.

Die sieben Schritte zur Lösung von Extremwertaufgaben sind:

  1. Aufstellung der Hauptbedingung
  2. Aufstellung der Nebenbedingung
  3. Umformung der Nebenbedingung
  4. Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung
  5. Berechnung des Extremwerts
  6. Bestimmung der zweiten Variable
  7. Angabe der Lösung

Highlight: Bei der Berechnung des Extremwerts ist es wichtig zu beachten, dass bei einer Maximierung ein Hochpunkt f"(xf"(x < 0) und bei einer Minimierung ein Tiefpunkt f"(xf"(x > 0) gesucht wird.

Diese strukturierte Vorgehensweise bildet die Grundlage für die Lösung von Extremwertaufgaben mit Lösungen, wie sie oft in Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF oder Extremwertaufgaben mit Lösungen Klasse 11 PDF zu finden sind.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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