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8.1.2022
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Extremwert probleme - mit Nebenbedingungen Ablauf 1. 2. 3. 4. 5. Hauptbedingung aufstellen (gesucht : maximaler oder minimaler Wert) Nebenbedingung aufstellen (irgendeine Einschränkung) Zielfunktion aufstellen - sie darf nur noch von einer Variablen abhängen lokale Extremstellen ermitteln mit der 1. Ableitung, HP für max. Wert :) -unter Beachtung der Ränder des Definitionsbereichs TP für min. Wert Ergebnis formulieren Extremwertaufgaben mit Flächen: Aufgabe gegeben: 200 Meter Zaun Skizze: a Wiese. (A) Umfang (U) 5. Ergebnis: a=50 b= 100-a ·b 100-50 50 'Ziel: möglichst große Fläche einzäunen 1. Hauptbedingung: A (a,b) 2. Nebenbedingung: U (a,b) 200 Snach 3. Zielfunktion: 4. Extremstelle: Antwort: Wenn der Zaun an allen vier Seiten 50 Meter lang ist, dann ist die Wiese am größten (2500 Meter (50²)). a. b = 2a + 26 = 2a + 2b A (a) = = = 200 = 2a + 2b 2b = 2002a 100-a a oder b auflösen 1-2a 1:2 gesucht: = 6 a. (100-a) 100a - a² + 100 a max. Wert gesucht Maximum (→> Hochpunkt) A (a) = -a² + 100 a 1. Ableitung → Al (a) = -2a + 100 2. Ableitung → A" (a) = -2 notwendige Bedingung: A'(a) = 0. -2a + 100 = 0 + 2a. 100 = 2a 1:2 50 = a = -2 hinreichende Bedingung: A'(a) = 0 ^ A" (a) ±0 A"(50) -2<0 → Hochpunkt Extremwertaufgaben mit Volumen: Aufgabe: gegeben: Material für Zylinderbau = π• 72m² Ziel: möglichst großes Volumen eines Zylinders Skizze: Volumen (v) Oberfläche (0) 5. Ergebnis: r = √√12 h = 2²/²/² - r = 72 - 2-√12 hx 6,928 (m) 1. Hauptbedingung: V(r,h) r².h = Y 2. Nebenbedingung: 0 (r,h) = 2πrh + 2 (1.1²) Mantel (V( JAZ, 6,93 3. Zielfunktion: 4. Extremstelle: √12 Antwort: Der Zylinder hat das größte. Volumen, wenn er einen" Radius von 12 und...
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eine Höche von ca. 6,93 Metern besitzt. Das max. Volumen beträgt ca. 261,25 m³ (√√12²₁ 6,93) = ₁7√12²6,93 *261,25 = 2 fr 2775 17.72 4 nach hauflösen rth = h h V(r) = = = 1. Ableitung →→ 2. Ableitung → (x + h) (r+h). 172 2175 1772 277 = 72²2 πr. r². (27/7 -r) ۲۰۲۰ 36 - 3 gesucht: Maximum (→→ Hochpunkt) Woher ich das weiß? Aus der Formelsammlung 2x Deckel 0 1-r 1 π kürzen V(r)= π 36-πr³ V² (r) = 17:36-3πr ² V" (r) = - 6 Ar = 3πr² = 3r² = r² =r notwendige Bedingung: V'(r) = 0 TY. 36-37r² = 11.36 36 12 ± √12¹ 1 +3₁r² | 17 kürzen 1:3 in -√12 läge außerhalb des Definitionsbereichs r=² + √√√12² hinreichende Bedingung: V'(x)=0 ^ V² (r) #0 V" (√12¹) < 0 -> Hochpunkt Extremwertaufgaben mit. einer Parabel: Aufgabe: gegeben: Holz, von welchem ein Stück abgebrochen ist. Das abge- brochene Stück lässt sich mit 1 f(x) = -1/16x² + 64 beschreiben. Ziel: Aus dem Holz eine möglichst große rechteckige Platte gewinnen Skizze: F144 cm abgebrochenes Stück 5. Ergebnis: 80 x = y = -16x² +64 y = -1/16 (3/10) ²³ +64 *8012 y≈ 19,55 Antwort: Platte (A) Holz 64 cm 1. Hauptbedingung: A = a·b → A (x₁y) = (64-x) · (144-y) 2. Nebenbedingung: f(x) = = = 6 x ² +64 ; f(x)=y 3. Zielfunktion: A (x) = (64-x). (144 - ( - 1/16 × ² +64)) A(x) = (64-x). (144 + 1/6 × ² - 64) (64-x) (80 +16x²) A (x) A (x) A(x)= 4. Extremstelle: x1 = 16 80 X2 = = 5120-80x+ 4x² - 6x3 x³+4x²-80x+ 5120 A (x) = -6x³+4x² 80x+5120 -x²+8x-80 A'(x) A" (x) = -6x +8 notwendige Bedingung: A'(x) = 0 -6x² + 8×-80 =0 = I Umstellen I Nullstellen ausrechnen hinreichende Bedingung: A"(16) = 2 A" (1) = -2 A (30) ≈ 4646 cm² A'(x) = 0 ^ A"(x) = 0 A"(16) > 0->Tiefpunkt A" ()<O> Hochpunkt Die Platte ist am größten, wenn sie ca. 124,5 cm breit ist (144-19,55) und dabei ca. 37,3 cm (64-8) lang ist. Sie ware dann ca. 4646 cm² groß. Extremwertaufgaben mit einer Parabel: f(x) = x² + 8 ein möglichst großes Rechteck soll unter der Parabel entstehen. → möglichst großer Flächeninhalt des Rechtecks 1. Hauptbedingung: A (a,b) = 2a-b b = f(a) = -a²+8 2. Nebenbedingung: 3. Zielfunktion Aufgabe: gegeben: Ziel: Skizze: 8 4 -2 f(x)=x² +8 Rechteck Flächeninhalt (A) 246 5. Ergebnis: Punkte: Da man auf der x-Achse startet A (1₁6310) ↳> kein Wert für y (1,6315,18) C (-1,6310) D (-1,6315,18) maximaler Flächeninhalt → ca. 17,42 Einheiten 4. Extremstelle: A(a)= 2a (-a²+8) A (a)= -2a³ + 16a A (a) = -2a³+ 16 a A'(a)= -6a² + 16 A" (a) = -12a notwendige Bedingung: A'(a) = 0 -6a² + 16 = 0 = 16 ±1,63 ≈a | +6a² 6a² 1:6 1√ hinreichende Bedingung: All (1,63) = -19,56 -> A" (-1,63)= 19,56 -> A (1,63) 17,42 A'(a) = 0 ^ A" (a) # 0 17,42 = 2a.b 17,42 = 3,366 1: 3,36 ≈ b 5,18 A" (1,63) < 0 → Hochpunkt A" (-1,63) > 0 Tiefpunkt