Weitere Extremwertaufgaben mit einer Parabel
Diese Seite behandelt ein weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben mit einer Parabel. Die Aufgabe besteht darin, ein möglichst großes Rechteck unter einer gegebenen Parabel zu konstruieren.
Die Parabelfunktion ist gegeben als f(x) = -x² + 8, und das Ziel ist es, den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren. Der Lösungsansatz folgt dem bewährten Schema:
- Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A(a,b) = 2a · b aufgestellt.
- Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion b = f(a) = -a² + 8 gegeben.
- Die Zielfunktion A(a) = 2a(-a² + 8) wird hergeleitet.
- Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
- Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.
Example: Die Lösung ergibt, dass das Rechteck mit den Eckpunkten (1,63; 5,18) und (-1,63; 5,18) den maximalen Flächeninhalt von ca. 17,42 Flächeneinheiten hat.
Highlight: Die Verwendung der zweiten Ableitung ist entscheidend, um zu bestätigen, dass es sich bei dem gefundenen Punkt um einen Hochpunkt (Maximum) handelt.
Diese Art von Extremwertproblemen zeigt, wie mathematische Konzepte wie Funktionen und Ableitungen zur Lösung von Optimierungsaufgaben in der Geometrie eingesetzt werden können.
Vocabulary: Der Hochpunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr lokales Maximum erreicht.
Die Lösung solcher Extremwertaufgaben erfordert ein gutes Verständnis von Funktionen, Ableitungen und geometrischen Zusammenhängen.
