Extremwertaufgaben mit einer Parabel

Diese Seite behandelt Extremwertaufgaben, die eine Parabel als Nebenbedingung beinhalten. Das präsentierte Beispiel zeigt, wie man aus einem teilweise abgebrochenen Holzstück die größtmögliche rechteckige Platte gewinnen kann.

Die Aufgabe gibt eine Parabelfunktion f(x) = -1/16x² + 64 vor, die das abgebrochene Stück beschreibt. Das Ziel ist es, die Fläche der rechteckigen Platte zu maximieren. Der Lösungsweg folgt dem bekannten Schema:

1. Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A = a · b aufgestellt.
2. Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion f(x) = -1/16x² + 64 gegeben.
3. Die Zielfunktion A(x) = (64-x) · (80 + 1/16x²) wird hergeleitet.
4. Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
5. Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.

Example: Die optimale Platte hat eine Breite von ca. 124,5 cm und eine Länge von ca. 37,3 cm, was eine maximale Fläche von etwa 4646 cm² ergibt.

Highlight: Die Anwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend, um zwischen Hoch- und Tiefpunkten zu unterscheiden und das absolute Maximum zu finden.

Diese Art von Extremwertaufgaben demonstriert die Anwendung mathematischer Methoden zur Lösung praktischer Optimierungsprobleme.

Weitere Extremwertaufgaben mit einer Parabel

Diese Seite behandelt ein weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben mit einer Parabel. Die Aufgabe besteht darin, ein möglichst großes Rechteck unter einer gegebenen Parabel zu konstruieren.

Die Parabelfunktion ist gegeben als f(x) = -x² + 8, und das Ziel ist es, den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren. Der Lösungsansatz folgt dem bewährten Schema:

1. Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A(a,b) = 2a · b aufgestellt.
2. Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion b = f(a) = -a² + 8 gegeben.
3. Die Zielfunktion A(a) = 2a(-a² + 8) wird hergeleitet.
4. Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
5. Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.

Example: Die Lösung ergibt, dass das Rechteck mit den Eckpunkten (1,63; 5,18) und (-1,63; 5,18) den maximalen Flächeninhalt von ca. 17,42 Flächeneinheiten hat.

Highlight: Die Verwendung der zweiten Ableitung ist entscheidend, um zu bestätigen, dass es sich bei dem gefundenen Punkt um einen Hochpunkt (Maximum) handelt.

Diese Art von Extremwertproblemen zeigt, wie mathematische Konzepte wie Funktionen und Ableitungen zur Lösung von Optimierungsaufgaben in der Geometrie eingesetzt werden können.

Vocabulary: Der Hochpunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr lokales Maximum erreicht.

Die Lösung solcher Extremwertaufgaben erfordert ein gutes Verständnis von Funktionen, Ableitungen und geometrischen Zusammenhängen.