Extremwertprobleme

Alternativer Bildtext:

eine Höche von ca. 6,93 Metern besitzt. Das max. Volumen beträgt ca. 261,25 m³ (√√12²₁ 6,93) = ₁7√12²6,93 *261,25 = 2 fr 2775 17.72 4 nach hauflösen rth = h h V(r) = = = 1. Ableitung →→ 2. Ableitung → (x + h) (r+h). 172 2175 1772 277 = 72²2 πr. r². (27/7 -r) ۲۰۲۰ 36 - 3 gesucht: Maximum (→→ Hochpunkt) Woher ich das weiß? Aus der Formelsammlung 2x Deckel 0 1-r 1 π kürzen V(r)= π 36-πr³ V² (r) = 17:36-3πr ² V" (r) = - 6 Ar = 3πr² = 3r² = r² =r notwendige Bedingung: V'(r) = 0 TY. 36-37r² = 11.36 36 12 ± √12¹ 1 +3₁r² | 17 kürzen 1:3 in -√12 läge außerhalb des Definitionsbereichs r=² + √√√12² hinreichende Bedingung: V'(x)=0 ^ V² (r) #0 V" (√12¹) < 0 -> Hochpunkt Extremwertaufgaben mit. einer Parabel: Aufgabe: gegeben: Holz, von welchem ein Stück abgebrochen ist. Das abge- brochene Stück lässt sich mit 1 f(x) = -1/16x² + 64 beschreiben. Ziel: Aus dem Holz eine möglichst große rechteckige Platte gewinnen Skizze: F144 cm abgebrochenes Stück 5. Ergebnis: 80 x = y = -16x² +64 y = -1/16 (3/10) ²³ +64 *8012 y≈ 19,55 Antwort: Platte (A) Holz 64 cm 1. Hauptbedingung: A = a·b → A (x₁y) = (64-x) · (144-y) 2. Nebenbedingung: f(x) = = = 6 x ² +64 ; f(x)=y 3. Zielfunktion: A (x) = (64-x). (144 - ( - 1/16 × ² +64)) A(x) = (64-x). (144 + 1/6 × ² - 64) (64-x) (80 +16x²) A (x) A (x) A(x)= 4. Extremstelle: x1 = 16 80 X2 = = 5120-80x+ 4x² - 6x3 x³+4x²-80x+ 5120 A (x) = -6x³+4x² 80x+5120 -x²+8x-80 A'(x) A" (x) = -6x +8 notwendige Bedingung: A'(x) = 0 -6x² + 8×-80 =0 = I Umstellen I Nullstellen ausrechnen hinreichende Bedingung: A"(16) = 2 A" (1) = -2 A (30) ≈ 4646 cm² A'(x) = 0 ^ A"(x) = 0 A"(16) > 0->Tiefpunkt A" ()<O> Hochpunkt Die Platte ist am größten, wenn sie ca. 124,5 cm breit ist (144-19,55) und dabei ca. 37,3 cm (64-8) lang ist. Sie ware dann ca. 4646 cm² groß. Extremwertaufgaben mit einer Parabel: f(x) = x² + 8 ein möglichst großes Rechteck soll unter der Parabel entstehen. → möglichst großer Flächeninhalt des Rechtecks 1. Hauptbedingung: A (a,b) = 2a-b b = f(a) = -a²+8 2. Nebenbedingung: 3. Zielfunktion Aufgabe: gegeben: Ziel: Skizze: 8 4 -2 f(x)=x² +8 Rechteck Flächeninhalt (A) 246 5. Ergebnis: Punkte: Da man auf der x-Achse startet A (1₁6310) ↳> kein Wert für y (1,6315,18) C (-1,6310) D (-1,6315,18) maximaler Flächeninhalt → ca. 17,42 Einheiten 4. Extremstelle: A(a)= 2a (-a²+8) A (a)= -2a³ + 16a A (a) = -2a³+ 16 a A'(a)= -6a² + 16 A" (a) = -12a notwendige Bedingung: A'(a) = 0 -6a² + 16 = 0 = 16 ±1,63 ≈a | +6a² 6a² 1:6 1√ hinreichende Bedingung: All (1,63) = -19,56 -> A" (-1,63)= 19,56 -> A (1,63) 17,42 A'(a) = 0 ^ A" (a) # 0 17,42 = 2a.b 17,42 = 3,366 1: 3,36 ≈ b 5,18 A" (1,63) < 0 → Hochpunkt A" (-1,63) > 0 Tiefpunkt