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Extremwertprobleme
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Extremwert probleme -mit. Nebenbedingungen Ablaug: 1. Hauptbedingung aufstellen (gesucht : maximaler oder minimaler Wert) Nebenbedingung aufstellen (irgendeine Einschränkung) Zielfunktion aufstellen - sie darf nur noch von einer Variablen abhängen lokale Extremstellen ermitteln (mit der 1. Ableitung; HP für max. Wert :) -unter Beachtung der Ränder des Definitionsbereichs TP für min. Wert 2. 3. 4. 5. Ergebnis formulieren Extremwertaufgaben mit Flächen: Aufgabe gegeben: 200 Meter Zaun Skizze: a -Wiese (A) Umfang (U) 5. Ergebnis: a=50 b= 100-a 100-50 = 50 b Antwort: Ziel möglichst große Fläche einzäunen -->> 1. Hauptbedingung: 2. Nebenbedingung: 3. Zielfunktion 4. Extremistelle Wenn der Zaun an allen vier Seiten 50 Meter lang ist, dann ist die Wiese am größten (2500 Meter (50²)). A (a,b) a. b U (a,b) = 2a + 26 200 = 2a + 2b ↳nach 200 = 2a + 26 2002a = 2b 100-a = b A (a) a oder b auflösen 1-2a 1:2 = a. (100-a) 100a - a² = -a² + 100 a = 2 gesucht: max. Wert gesucht Maximum (→ Hochpunkt) A (a) = -a² + 100 a 1. Ableitung → Al (a) = -2a + 100 2. Ableitung → A" (a) = -2 notwendige Bedingung: A'(a)=0 -2a+100 = 0 100 50 + 2a = 2a 1:2 = a hinreichende Bedingung: A'(a) = 0 ^ A" (a) #0 A"(50) -2 -2<0 → Hochpunkt Extremwertaufgaben mit Volumen: Aufgabe: gegeben: Material für Zylinderbau = π· 72 m² Ziel: möglichst großes Volumen eines Zylinders Skizze: Volumen (v) Oberfläche (0) 5. Ergebnis: r = √√12 h = 7/2/²/2 = r 1. Hauptbedingung: V(r,h) = ₁ r².h 0 (₁ h) = 2πrh 2. Nebenbedingung: Mantel. =72 3. Zielfunktion: 4. Extremstelle: √12¹ 2.√12 hx 6,928 (m) Antwort: Der Zylinder hat das größte Volumen, wenn er einen Radius von √12...
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Alternativer Bildtext:
und eine Höche von ca. 6,93 Metern besitzt. Das max. Volumen beträgt ca. 261,25 m³. (V( √JAZ², 6,93) = π √12 ¹²2. 6,93) Ja x261,25 V(r) = 2 fr = 2πr 11.72 4 nach h auflösen rth = h h = gesucht: C ● 36 12 ± √12 = + 2 (1.r²) 2x Deckel (r+h) (r+h) 172 2175 Woher ich das weiß?. ← Aus der Formelsammlung. 172 2777 7/21/23 - P 72 pr. r². ( Z ² -r) ۲۰۲۰ 36 - ۲۰ Maximum (→ Hochpunkt) 1. Ableitung → 2. Ableitung → V₁¹ (x) = − 6πr notwendige Bedingung: TY. 36-31r² = 0 17.36 |-- I π kürzen V(r)= πr.36-7³ V'(x) = 17⋅ 36 - 31π x ² . V'(r) = 0 1+ 37/r² = 3πr² | π kürzen = 3r² = r² 1:3 is -√12 läge außerhalb des Definitionsbereichs r = + √12 hinreichende Bedingung: V'(x)=0 ^ V² (r) #0 V" (√12¹) < 0 -→-> Hochpunkt Extremwertaufgaben mit einer Parabel: 2 Aufgabe: gegeben: Holz, von welchem ein Stück abgebrochen ist. Das abge- brochene Stück lässt sich mit f(x) = -1/6x² +64 beschreiben. Ziel: Aus dem Holz eine möglichst große rechteckige Platte gewinnen Skizze: F144 cm X abgebrochenes Stück 5. Ergebnis: X= 8 colm 80 3 2 Y == 16x² +64 - Holz 64 cm -Platte (A) y = -A/6² ( 80 ) ² + 64 16 y≈ 19,55 Antwort: 1. Hauptbedingung: A=a⋅ b ⇒ A (x₁y) = (64-x) (144-y) →> 2. Nebenbedingung: f(x) = -1/56x² + 64 ; f(x)=y 3. Zielfunktion: A (x) = (64-x) (144- (- 1/16 x ²³ +64)) A (x) = (64-x). (144 + 1/ 6x² - 64) A(x) = (64-x) (80 +16x²) A(x) = 5120-80×+ 4x² - 6x³ A(x) = -x³+4x² 80x+ 5120 4. Extremstelle: x1 = 16 x₂ = 80 X2 3 A (x) = -16x³+4x² 80x+5120 x² + 8x -80 A'(x) = A" (x) = x+8 - notwendige Bedingung: A'(x) = 0 -3x²+8x-80 =0 1 Nullstellen ausrechnen = | Umstellen hinreichende Bedingung: A'(x)=0 ^ A"(x) ‡ O A"(16) 2 A" (16) > 0 Tiefpunkt A" (0) -2 A" (80) < 0 → Hochpunkt A ( 30 ) ~ 46 46 cm ² Die Platte ist am größten, wenn sie ca. 124,5 cm breit ist (144-19,55) und dabei ca. 37,3 cm (64-30) lang ist. Sie ware dann ca. 4646 cm² groß. Extremwertaufgaben mit einer Parabel: f(x) = -x ² + 8 ein möglichst großes Rechteck soll unter der Parabel entstehen → möglichst großer Flächeninhalt des Rechtecks 1. Hauptbedingung: A (a,b) = 2a·b Aufgabe: gegeben: Ziel: Skizze: 8 -6-4-2 ~ -2 f(x)=x² +8 -Rechteck Flächeninhalt (A). 246 5. Ergebnis: Punkte: Da man auf der x-Achse startet A (1,6310) <> kein Wert für y B (1,63 15,18) C (-1,6310) D (-1,6315,18) 2. Nebenbedingung: 3. Zielfunktion: maximaler Flächeninhalt → ca. 17,42 Einheiten 4. Extremstelle: b = f(a)= − a² +8 A(a) = 2a A(a)= 2a (-a²+8) A (a)= -2a³ + 16a A (a)= -2a³ + 16 a A'(a)= -6a² + 16. A" (a)= -12a . notwendige Bedingung: A'(a) = 0 -6a² + 16 = 0 16 ±1,63 | +6a² = 6a² 1:6 1√ ≈ a hinreichende Bedingung: A'(a) = 0 ^ Al" (a) #0 All (1,63) = -19,56 → A" (-1,63)= 19,56 → A (1,63) ≈ 17,42 17,42 = 2a.b 17,42 = 3,366 1: 3,36 5,18 ~b A" (1,63) <0 → Hochpunkt A" (-1,63) > 0 →→ Tiefpunkt