Extremwertaufgaben mit Volumen

Diese Seite behandelt Extremwertaufgaben, die sich mit der Optimierung von Volumen befassen. Das vorgestellte Beispiel zeigt, wie man das größtmögliche Volumen eines Zylinders bei gegebener Oberfläche berechnet.

Die Aufgabe gibt vor, dass π · 72m² Material für den Zylinderbau zur Verfügung stehen. Ziel ist es, das maximale Volumen zu ermitteln. Der Lösungsweg folgt dem bekannten fünfstufigen Ablauf:

1. Die Hauptbedingung wird als Volumenformel V(r,h) = πr²h aufgestellt.
2. Die Nebenbedingung berücksichtigt die Oberfläche O(r,h) = 2πrh + 2πr².
3. Die Zielfunktion V(r) = πr² · (36/r - r) wird hergeleitet.
4. Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
5. Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.

Vocabulary: Der Mantel eines Zylinders ist die gekrümmte Seitenfläche, die den oberen und unteren Kreis verbindet.

Die Lösung ergibt, dass der Zylinder mit einem Radius von √12 Metern und einer Höhe von etwa 6,93 Metern das größte Volumen von ca. 261,25 m³ hat.

Highlight: Die Verwendung der ersten und zweiten Ableitung ist entscheidend, um den Hochpunkt und damit das maximale Volumen zu bestimmen.

Diese Art von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen zeigt die praktische Anwendung der Differentialrechnung in geometrischen Optimierungsaufgaben.

Weitere Extremwertaufgaben mit einer Parabel

Diese Seite behandelt ein weiteres Beispiel für Extremwertaufgaben mit einer Parabel. Die Aufgabe besteht darin, ein möglichst großes Rechteck unter einer gegebenen Parabel zu konstruieren.

Die Parabelfunktion ist gegeben als f(x) = -x² + 8, und das Ziel ist es, den Flächeninhalt des Rechtecks zu maximieren. Der Lösungsansatz folgt dem bewährten Schema:

1. Die Hauptbedingung wird als Flächenformel A(a,b) = 2a · b aufgestellt.
2. Die Nebenbedingung wird durch die Parabelfunktion b = f(a) = -a² + 8 gegeben.
3. Die Zielfunktion A(a) = 2a(-a² + 8) wird hergeleitet.
4. Extremstellen werden durch Ableitung und Nullstellenbestimmung ermittelt.
5. Das Ergebnis wird formuliert und interpretiert.

Example: Die Lösung ergibt, dass das Rechteck mit den Eckpunkten (1,63; 5,18) und (-1,63; 5,18) den maximalen Flächeninhalt von ca. 17,42 Flächeneinheiten hat.

Highlight: Die Verwendung der zweiten Ableitung ist entscheidend, um zu bestätigen, dass es sich bei dem gefundenen Punkt um einen Hochpunkt (Maximum) handelt.

Diese Art von Extremwertproblemen zeigt, wie mathematische Konzepte wie Funktionen und Ableitungen zur Lösung von Optimierungsaufgaben in der Geometrie eingesetzt werden können.

Vocabulary: Der Hochpunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr lokales Maximum erreicht.

Die Lösung solcher Extremwertaufgaben erfordert ein gutes Verständnis von Funktionen, Ableitungen und geometrischen Zusammenhängen.