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Mathematik

Methoden der Funktionsoptimierung

Optimierungsprobleme

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1. Feb. 2026

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Zylinder Volumen und Oberfläche einfach erklärt - Mit Rechner und Aufgaben

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Manuel Eßer

@german1

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A comprehensive guide... Mehr anzeigen

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26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Solving for Optimal Cylinder Dimensions

This page continues the optimization problem for the cylindrical water tank. It shows the graphical representation of the target function and the calculated solution.

Highlight: The optimal dimensions are calculated using calculus and graphical methods.

The graph displays the function y = x - x² + 2000000/x, which represents the surface area in relation to the radius.

Key results:

  • Optimal radius (r) ≈ 68.3 cm
  • Optimal height (h) ≈ 68.2 cm

Example: The minimum point on the graph (68.278, 43937.757) represents the optimal dimensions for the cylinder.

The solution demonstrates that for minimum surface area, the height and diameter of the cylinder should be approximately equal.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Determining Polynomial Functions

This page introduces Steckbriefaufgaben ganzrationale Funktionen (profile tasks for polynomial functions). The task is to determine a quadratic function that passes through three given points: (1,3), (-1,2), and (3,2).

Definition: A polynomial function of degree 2 has the general form f(x) = ax² + bx + c.

The solution process involves:

  1. Setting up a system of equations using the given points.
  2. Solving for the coefficients a, b, and c.

Example: For the point (1,3), the equation is a(1)² + b(1) + c = 3.

The page shows the system of equations: a + b + c = 3 a - b + c = 2 9a + 3b + c = 2

This system will be solved to find the coefficients of the quadratic function.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Solving for Polynomial Coefficients

This page demonstrates the solution to the system of equations for determining the quadratic function.

Highlight: The solution is obtained using a computer algebra system (CAS).

The CAS solves the system of equations: a + b + c = 3 a - b + c = 2 9a + 3b + c = 2

Result: a = -1 b = 1/2 c = 7/2

Example: The resulting quadratic function is f(x) = -1/2x² + 1/2x + 7/2.

The page also includes a verification step, checking that the function passes through the given points: f(-1/2) = 2 f(1) = 3 f(3) = 2

This confirms that the derived function satisfies all the given conditions.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Verifying the Polynomial Function

This page shows additional verification steps for the derived quadratic function.

Highlight: The function f(x) = -1/2x² + 1/2x + 7/2 is confirmed to pass through all given points.

The CAS is used to define the function and evaluate it at the given x-values:

f(-1) = 2 f(1) = 3 f(3) = 2

These results match the original points, confirming the correctness of the solution.

Example: f(3) = -1/2(3)² + 1/2(3) + 7/2 = 2

The page also includes an alternative representation of the system of equations using variables x, y, and z, which yields the same solution.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Higher Degree Polynomial Functions

This page introduces the concept of higher degree polynomial functions, specifically cubic functions.

Definition: A cubic function has the general form f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

The page shows the general form of a cubic function and begins to set up an example problem, likely involving finding a cubic function that passes through specific points.

Vocabulary: In Steckbriefaufgaben (profile tasks), the goal is to reconstruct a function based on given information about its behavior or points it passes through.

The setup suggests that the next steps will involve solving a system of equations to determine the coefficients of a cubic function.

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Solving for Cubic Function Coefficients

This page presents a problem to find a cubic function that passes through the points (1,1), (2,3), and (3,7).

Example: For a cubic function f(x) = ax³ + bx² + cx + d passing through (1,1), we get the equation a(1)³ + b(1)² + c(1) + d = 1.

The system of equations is set up: a + b + c + d = 1 8a + 4b + 2c + d = 3 27a + 9b + 3c + d = 7

Highlight: The solution process involves solving this system of equations to find the coefficients a, b, c, and d.

The page shows the initial steps of solving this system, including some algebraic manipulations to simplify the equations.

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Complex Polynomial Function Problem

This page presents a more complex problem involving a polynomial function of degree 3.

Highlight: The problem involves finding a cubic function with specific properties, including passing through certain points and having a horizontal tangent at a given point.

Given information:

  • The function passes through the point H(0,0)
  • It has a horizontal tangent at T(2,-4)
  • The function passes through the point B(4,5)

Vocabulary: A horizontal tangent occurs where the derivative of the function equals zero.

The general form of the function is given as: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

The page sets up the system of equations based on these conditions:

  1. f(0) = 0
  2. f(2) = -4
  3. f'(2) = 0
  4. f(4) = 5

This system will be solved to determine the coefficients of the cubic function.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Solving Complex Polynomial System

This page continues the solution process for the complex cubic function problem.

The system of equations is fully set up:

  1. d = 0 fromf(0)=0from f(0) = 0
  2. 8a + 4b + 2c = -4 fromf(2)=−4from f(2) = -4
  3. 12a + 4b + c = 0 fromf′(2)=0from f'(2) = 0
  4. 64a + 16b + 4c = 5 fromf(4)=5from f(4) = 5

Example: The equation 12a + 4b + c = 0 comes from setting the derivative f'(x) = 3ax² + 2bx + c equal to zero at x = 2.

The page shows the solution process using a computer algebra system:

8a+4b+2c=−412a+4b+c=08a + 4b + 2c = -4 12a + 4b + c = 0 solved for a and b

Result: a = 1, b = -3

Highlight: The final cubic function is determined to be f(x) = x³ - 3x² + 0.25x.

This solution satisfies all the given conditions, including passing through the specified points and having a horizontal tangent at T(2,-4).

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Page 10: Homework Assignment

Concludes with homework assignments and reference to additional practice problems.

Highlight: References specific textbook exercises for further practice.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

Optimizing Cylinder Dimensions

This page presents a problem involving the optimization of a cylindrical water tank's dimensions. The goal is to minimize the surface area while maintaining a volume of 1000 liters.

Highlight: The problem focuses on finding the optimal dimensions of a cylindrical water tank without a lid, with a volume of 1000 liters, to minimize material usage.

The solution process begins with setting up the volume equation:

πr²h = 1,000,000 cm³

The surface area function is then derived:

O(r) = πr² + 2πrh

By substituting h from the volume equation and simplifying, we get the target function:

O(r) = πr² + 2,000,000/r

Example: The target function O(r) = πr² + 2,000,000/r represents the surface area in terms of the radius.

The page shows the initial steps of the optimization process, including setting up the equations and preparing for differentiation.



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Beliebtester Inhalt: Optimierungsprobleme

Extremwertaufgaben verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen. Diese Zusammenfassung behandelt die Haupt- und Nebenbedingungen, Zielfunktionen und die Berechnung von Extremstellen anhand von anschaulichen Beispielen, einschließlich der Maximierung von Flächen unter Parabeln. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Differenzialrechnung und Optimierungsprobleme vorbereiten.

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Maximale Flächeninhalte

Diese Zusammenfassung behandelt Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen, insbesondere die Maximierung des Flächeninhalts eines Rechtecks aus einem gegebenen Draht. Es werden die Schritte zur Bestimmung der Seitenlängen und des maximalen Flächeninhalts erläutert, einschließlich der Anwendung von Ableitungen und Extremalbedingungen. Ideal für Schüler der Q1, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.

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Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen, einschließlich der Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, der Zielfunktion und der Berechnung von Extrem- und Wendepunkten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Differenzialrechnung vertiefen möchten.

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Maximierung von Flächeninhalten

Diese Präsentation behandelt die Maximierung von Flächeninhalten bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen. Sie umfasst die Schritte zur Aufstellung der Haupt- und Nebenbedingungen, die Berechnung der Zielfunktion sowie die Bestimmung der Extremwerte. Enthalten sind auch ein Merkzettel mit Vorgehensweisen und eine eigene Aufgabe zur praktischen Anwendung. Ideal für Mathematikstudierende, die sich mit Differenzialrechnung und Optimierungsproblemen beschäftigen.

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Entdecken Sie die Methoden zur Lösung von Extremwertproblemen mit einer detaillierten Schritt-für-Schritt-Anleitung. Diese Übersicht behandelt die Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, die Ableitung von Zielfunktionen und die Berechnung von Extremwerten. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Extremwertprobleme lösen

Entdecken Sie die Schritte zur Lösung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Anleitung zur Aufstellung von Haupt- und Nebenbedingungen, zur Ableitung der Zielfunktion und zur Bestimmung von Maxima und Minima. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Diese Zusammenfassung behandelt die Bestimmung von Extremwerten in der Mathematik, einschließlich der Aufstellung von Zielfunktionen und Nebenbedingungen. Erfahren Sie, wie man lokale Maxima und Minima findet, und lernen Sie die Anwendung von Differenzierung zur Optimierung kennen. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten. (Zusammenfassung)

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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A comprehensive guide to solving complex mathematical problems involving Volumen Zylinder and Extremwertaufgabe Zylinder calculations, along with polynomial function analysis.

Key points:

  • Detailed exploration of cylindrical water tank optimization
  • Analysis of polynomial functions... Mehr anzeigen

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Solving for Optimal Cylinder Dimensions

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Highlight: The optimal dimensions are calculated using calculus and graphical methods.

The graph displays the function y = x - x² + 2000000/x, which represents the surface area in relation to the radius.

Key results:

  • Optimal radius (r) ≈ 68.3 cm
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Example: The minimum point on the graph (68.278, 43937.757) represents the optimal dimensions for the cylinder.

The solution demonstrates that for minimum surface area, the height and diameter of the cylinder should be approximately equal.

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Determining Polynomial Functions

This page introduces Steckbriefaufgaben ganzrationale Funktionen (profile tasks for polynomial functions). The task is to determine a quadratic function that passes through three given points: (1,3), (-1,2), and (3,2).

Definition: A polynomial function of degree 2 has the general form f(x) = ax² + bx + c.

The solution process involves:

  1. Setting up a system of equations using the given points.
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Example: For the point (1,3), the equation is a(1)² + b(1) + c = 3.

The page shows the system of equations: a + b + c = 3 a - b + c = 2 9a + 3b + c = 2

This system will be solved to find the coefficients of the quadratic function.

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Solving for Polynomial Coefficients

This page demonstrates the solution to the system of equations for determining the quadratic function.

Highlight: The solution is obtained using a computer algebra system (CAS).

The CAS solves the system of equations: a + b + c = 3 a - b + c = 2 9a + 3b + c = 2

Result: a = -1 b = 1/2 c = 7/2

Example: The resulting quadratic function is f(x) = -1/2x² + 1/2x + 7/2.

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This confirms that the derived function satisfies all the given conditions.

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Verifying the Polynomial Function

This page shows additional verification steps for the derived quadratic function.

Highlight: The function f(x) = -1/2x² + 1/2x + 7/2 is confirmed to pass through all given points.

The CAS is used to define the function and evaluate it at the given x-values:

f(-1) = 2 f(1) = 3 f(3) = 2

These results match the original points, confirming the correctness of the solution.

Example: f(3) = -1/2(3)² + 1/2(3) + 7/2 = 2

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Higher Degree Polynomial Functions

This page introduces the concept of higher degree polynomial functions, specifically cubic functions.

Definition: A cubic function has the general form f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

The page shows the general form of a cubic function and begins to set up an example problem, likely involving finding a cubic function that passes through specific points.

Vocabulary: In Steckbriefaufgaben (profile tasks), the goal is to reconstruct a function based on given information about its behavior or points it passes through.

The setup suggests that the next steps will involve solving a system of equations to determine the coefficients of a cubic function.

26.11.21 9 Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit der Blechverbra

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Solving for Cubic Function Coefficients

This page presents a problem to find a cubic function that passes through the points (1,1), (2,3), and (3,7).

Example: For a cubic function f(x) = ax³ + bx² + cx + d passing through (1,1), we get the equation a(1)³ + b(1)² + c(1) + d = 1.

The system of equations is set up: a + b + c + d = 1 8a + 4b + 2c + d = 3 27a + 9b + 3c + d = 7

Highlight: The solution process involves solving this system of equations to find the coefficients a, b, c, and d.

The page shows the initial steps of solving this system, including some algebraic manipulations to simplify the equations.

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Complex Polynomial Function Problem

This page presents a more complex problem involving a polynomial function of degree 3.

Highlight: The problem involves finding a cubic function with specific properties, including passing through certain points and having a horizontal tangent at a given point.

Given information:

  • The function passes through the point H(0,0)
  • It has a horizontal tangent at T(2,-4)
  • The function passes through the point B(4,5)

Vocabulary: A horizontal tangent occurs where the derivative of the function equals zero.

The general form of the function is given as: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

The page sets up the system of equations based on these conditions:

  1. f(0) = 0
  2. f(2) = -4
  3. f'(2) = 0
  4. f(4) = 5

This system will be solved to determine the coefficients of the cubic function.

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Solving Complex Polynomial System

This page continues the solution process for the complex cubic function problem.

The system of equations is fully set up:

  1. d = 0 fromf(0)=0from f(0) = 0
  2. 8a + 4b + 2c = -4 fromf(2)=−4from f(2) = -4
  3. 12a + 4b + c = 0 fromf′(2)=0from f'(2) = 0
  4. 64a + 16b + 4c = 5 fromf(4)=5from f(4) = 5

Example: The equation 12a + 4b + c = 0 comes from setting the derivative f'(x) = 3ax² + 2bx + c equal to zero at x = 2.

The page shows the solution process using a computer algebra system:

8a+4b+2c=−412a+4b+c=08a + 4b + 2c = -4 12a + 4b + c = 0 solved for a and b

Result: a = 1, b = -3

Highlight: The final cubic function is determined to be f(x) = x³ - 3x² + 0.25x.

This solution satisfies all the given conditions, including passing through the specified points and having a horizontal tangent at T(2,-4).

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Page 10: Homework Assignment

Concludes with homework assignments and reference to additional practice problems.

Highlight: References specific textbook exercises for further practice.

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Optimizing Cylinder Dimensions

This page presents a problem involving the optimization of a cylindrical water tank's dimensions. The goal is to minimize the surface area while maintaining a volume of 1000 liters.

Highlight: The problem focuses on finding the optimal dimensions of a cylindrical water tank without a lid, with a volume of 1000 liters, to minimize material usage.

The solution process begins with setting up the volume equation:

πr²h = 1,000,000 cm³

The surface area function is then derived:

O(r) = πr² + 2πrh

By substituting h from the volume equation and simplifying, we get the target function:

O(r) = πr² + 2,000,000/r

Example: The target function O(r) = πr² + 2,000,000/r represents the surface area in terms of the radius.

The page shows the initial steps of the optimization process, including setting up the equations and preparing for differentiation.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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