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Quadratische Funktionen [y=ax²+bx+c
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→! Quadratische Funktionen [y=ax²+bx+c NORMAL PARABEL 1₁)y=x² •Scheitepunte (0/0) •symetrisch Bury-Achse 2.y=x²+c •Verschielaung der Normal parabe aut der y-Achse um c •Scheitelpunket S(0/0) 3)y=(x-b)² ● Verschiebung der Normal parabel and der x-Achse •Scheitelpunket $(6/0) 4) y =(x-b)² +c •Scheitel punkt 5(b/c) SchlatepUNKTFORM FAKTOR & YA NY 12. y=ax² L> siehe Merleblatt • as Streetzung, Stauchung. öffnung Tipp: Diex-Koordinate des Scheitelpunkts ist immer der wel, für den die Quadratischklammer wird. ← → 15. Normalform → y=x² +px +q Scheitelpunld form →y= a (x+b)*+c → Quadratische Ergänzungen der Quadratische Funktionen Normalform in Scheitelform y = (x-3) ² - 5 = Scheitelform 21. ausmultiplizieren y=x²-6xT9-5 y=x²-6x +4 = Normalform y=x²+x+7 = Namalform 1. Koeffizienten halbieren: 8+2 = 4 2. Ergebnis quadrieren 3. Addiere & Subtrahiere A6 in der gleichung 4 Klammern setzen 5. Binomische Formel bilden: (x+4)² -1617 -A-A : Punktprobe • P(-4/-1) and y = (x+3) ²-2 ² -1=(-4+3)²-2 →1. Einsetzen →2. rechte Seile ausrechnen x²+x+46-16 +7 : (x²+3x+16)-No+7 P(3/A) 15w.A. • P(3/y) and y=x²-5x+7 y = 3²-5.3 +7 →1. Einsetzen → rechte Seile ausrechnen Schnittpunkte mit den Achsen - Puride and x-Achse =y-koordinate 0 -Punkte auf y-Achse = x-koordinate o A Schnittpunkt van Graphen y=-x²+1 ¡ gleichsetzen -X²+1 = (x-1) ²-4 -x+1=x²-2x-3 1 • 0=2x²-2-4 •abc-Formed N 0=2x-2x-4 a b c x=-(-2) ± √(-2)²-4.2. (-4) -> Einsetzen 2.2 • x in Fupletion Enseben Y₁₂₁=-(-1) + 1 = 0 -> Binomische Formel auflösen 1+x²: -1 4P(-10) Pa- Formel: abc- & pq - Formel abc - Formel: x = -b²+√b²-4•a.e Y₂₁=-(2)²+1=3 + (4-5) Schnittpunket ↑ Hullstellen (x-Achse) 0 = (x+3)²-4 | +4 4 = (x+3) ² P 1-3 +2=x+3 X ₂-5 ↓ # (1₁ (110) (1₂=(-510) (2) Schnittpunlit y Achse y = (0+3)²-4 y=5 →POIS) D Multstellen (x-Achse) y=x²+3x-4 O= x² + 3x -4 labc-Formel! 0=4x²+3x-4 41d mit Adasery=(x+3) X=A 544 3₂=4 2.1 ↓ 41=(1/6) x = -3±√3²-4-41-4² -> Einsetzen →Nullsetzen →Pulsetzen ->Nulisetzen x=-6± √b²-4•a.c 51₂₁-1-4/2) (2) Schnittpunkty-Achose y = 0²+3.0-4 y=- L> P(0-4) 2.a → Museter Scheitelform Normalfor → strecken & Stauchen der...

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Quadratischen Funktionen f(x) = ax², a €1 481 Merke: ∙10-0-8- gestrecke Eigenschaften [Y=2x DB xweds x € R WB Monotonde X≤0. fallend X10 Lo steigend wertetabelle: -2-10 -81-2 0-2-8 S 2 6 2 -6 -B- 10 Bep.: (12) = 5.2² y = 5x² Strecken und 2 3 4 5 6 7 8 9 10 XER [YER XER* (y 201 Symmetrie Bury-Achse zur y-Achse zury-Achse zury- tore Öffnung nach unten nach oben nach unten nach oben. Scheitelpunket digfeler Punst (9) hädbe Purit (0/0) Hifter Projel tocker P. hoved these place X≤0 X40 XSO x30 y=-2x² + y = 0,5x² XER XER YER XER* Slaucher Lasteigend is fallend X40 41 X 184 4 D 24.1 = -0,5x2² # Faktor a Der Faktor a fünst zur Streckung baws. Staudung der Normalparabel und heißt Streckungs faktor. Tal × 1 = f wird iny-Richtung gesteckt lai <1 :f wird in y-Richtung gestaucht. a > 0: nach oben geöffnet 140:4 nach unten goöffnet 2x +1 4x44 4x Hx) =y=mx+n Bop: fid=y= 2x+4 11 A 2 x-2-10 X-3 -11 353 +(-2)=y=2-(-2)+1 y = 2x+1 4 lineare Funktionen (Funktionsgleichung) 2 7 3336 9=2x+4 -4 = 2x -X flx) = glxd 15-2 -2x44 Schnittpunkt von 2 Funktionen berechen: f(x)=2x+4 g(x)=2x+4 g -A 182 1-4 32 3 X = 0,75 = $6²) + 96² ²-2-2 +4 = -1,5+4=2,5 5 ( ²2/25) 22 Duistelle schnittpunket mit der x-Adhae A (Wertetabelle) W (Koordinatensystem) got H -2- 1 S N •Punktprobe? P610/42) 4₁10) = 2·10+1=21 #42 → Pliggt nicht auf der Gleichung. 3 12 =N(2/0) 0 paralel : y=mx+n identisch: y-Achsen abschnitt Steigung 2 nach oben 1 nach rechts paralel, identisch, schneidend? X m₁ = m₂ n₁ #n₂ my = m₂ n₁ = n₂ 24h schneidend: m₁ m₂ (n ist unwichtig) n = Sy m = Steigung Eigenschaft Schaubild Df W₁ Nullstellen Symmetrie Gemeinsame Punkte Monotonie Form des Graphs -2 Gerader Exponent 3 2 -1 0 f(x) Potenz funktionen [y=ax²+b| 4 Grades f(x)= x²; f(x)= x; f(x)= x6 XER XER 2 3 (y=x² = 1) L> gilt immer! I monoton fallend S I monoton steigend Parabel Gerader negativer Exponent +1(k) -1 2 1 0 eine N (0/0) achsensymetrisch achsensymetrisch zur y-Achse zury-Achse (0/0) (-1/1) (^/^) (-^/^) (1/1) 1 f(x)=x²; f(x)=x4; f(x)=x6 XER x 40 YER Y+0 уто Leine Ungerader Exponent → Verschiebung von Potenzfunktionen x<0: monoton steigend XCO: steigend x >0: monoton fallend X>0: steigend Hyperbel Parabel W f(x)= x³; f(x)= x5; f(x)=x² XER YER eine N (0/0) punktsymetrisch Zum Ursprung (do) (-11-1) (1/1) y = a (x + b)² + 5 + 1(x) Ungerader negativer Exponent 0 f(x)=x¹; f(x)=x³; f(x)=x5 x 40 y=0 X ERR YER Keine punktsymetrisch zum ursprung (^/^) (-1/-^) x< 0: fallend x>0: fallend Hyperbel y = x ²3 x 3 Alle Funktionen bestehen aus unendlich vielen Wertepaaren (x;y). Allgemeine Gleichung (mit Verschiebung im Koordinatensystem) Wertetabelle Skizze Graph beschreiben: Form Monotonie Symmetrie Besondere Punkte Nullstelle(n): Schnittpunkt mit x- Achse ⇒y=0 setzen Schnittpunkt mit der y-Achse x = 0 einsetzen Koordinaten ergänzen ➜in Gleichung einsetzen Liegt Punkt (1;5) auf dem Graph der Funktion? in Gleichung einsetzen Besonderheiten: ablesen linear: Anstieg/Steigung (parallele Geraden, senkrechte Geraden) quadratisch: Gleichung umwandeln Funktionsgleichung aufstellen bzw. ➜in Gleichung einsetzen Schnittpunkt zweier Funktionen berechnen ➜Funktionen gleichsetzen Anwendungen Zusammenfassung Lineare Funktionen m: Steigung n: Schnittpunkt mit y - Achse y = f(x)=2x-3 y = mx + n individuell X-2 -1 Y-1-5-3 individuell 1+ -24 Gerade 2345 m> 0: streng monoton steigend (m< 0: streng monoton fallend) keine 0=2x-3 3 = 2x 1.5=x N (1,5 | 0) A(2; 1) und B(4;5) A: y = 2.2-3=1 B: 5= 2 x 3 x = 4 1 -2 y = 2.0-3=-3 Sy (01-3) 5=2.1-3 f.A. 1+3 1:2 | +3 1:2 m₁ = - Parallele Geraden: m ist gleich Senkrechte Geraden: 1 m₂ Nullstelle, Schnittpunkt mit y - Achse Scheitelpunkt (211), ggf. Nullstellen, Schnittpunkt mit y - Achse 0=x² - 4x + 5 p/q-Formel Punkt liegt nicht auf dem Graph der Funktion 2 z.B.: m = 2 und m = - -sind senkrecht zueinander Preis eines Mietwagens, Telefonverträge 1 P(3;2), m= 1,5 2 = 1,5-3+n |-4,5 -2,5 = n y = 1,5x - 2,5 z.B. die lineare und die quadratische Funktion Quadratische Funktionen y = x² - 4x + 5 y = ax² +bx+c c: Schnittpunkt mit y - Achse Normalform: y = x² + px +q Scheitelpunktsform: y = a(x + b)² + c individuell X-7 Y17 individuell Parabel -101 1052 1 2 x < 2: streng monoton fallend x > 2: streng monoton steigend keine (x²: achsensymmetrisch zur y- Achse) n.l. → keine Nullestellen wenn 2,x" in Funktion sind P/4-Formel nutzen (man kann nicht umstellen) y=0²-4.0+5=5 Sy (015) nicht stellen! A(2; 1) und B(7:26) B(-3;26) A: y = 22-4-2+5=1 B: 26 = x² - 4x + 5 0=x²-4x-21 x₁ = 7 | x₂ = -3 5=1²-4-1+5 f.A. 1-26 pq Formel Punkt liegt nicht auf dem Graph der Funktion Allgemeine Form → Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung oder Ermittlung des Scheitelpunktes & einsetzen in Scheitelpunktform Scheitelpunktform → allg. Form: Bin. Formel ausrechnen & zusammenfassen S (-2;7) Scheitelpunktform: y = (x + 2)² + 7 y = x² + 4x +4+7= x² + 4x + 11 2x-3=x²-4x+5 1-2x | +3 alle Werte auch eine Seite bringen 0=x² - 6x +8 p/q-Formel: x₁ = 2 x₂ = 4 Wasserstrahl Springbrunnen, Wurf Flugbahn Potenzfunktionen y = f(x)=3x³-2 y = ax + b b: Schnittpunkt mit y - Achse y = a(x+b)" +c individuell X -2 Y-26-5 individuell Parabel 1 0,87 x -2 234 streng monoton steigend für alle x keine (x³: punktsymmetrisch zum Urpsrung) Sattelpunkt (01-2), Nullstelle, Schnittpunkt mit y - Achse 0=3x³-2 1+2 2 = 3x³ 2 1:3 I√ S(0,87/0) 1 y = 3·0³-2=-2 ... Sy (01-2) A(2; 1) und B(3;79) A: y = 3-1³-2=1 B: 79=3-x³-2 1+2 1:3 x=3 5=3.1³-2 f.A. P(4;1024), y=x" 2 22 Punkt liegt nicht auf dem Graph der Funktion Volumenberechnung 102445 (probieren) y=x5 ➜es gibt zwei Schnittpunkte ➜y-Werte bestimmen (in beiden Gleichungen möglich) S₁ (2/1) und S₂ (4/5)

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Tal × 1 = f wird iny-Richtung gesteckt lai <1 :f wird in y-Richtung gestaucht. a > 0: nach oben geöffnet 140:4 nach unten goöffnet 2x +1 4x44 4x Hx) =y=mx+n Bop: fid=y= 2x+4 11 A 2 x-2-10 X-3 -11 353 +(-2)=y=2-(-2)+1 y = 2x+1 4 lineare Funktionen (Funktionsgleichung) 2 7 3336 9=2x+4 -4 = 2x -X flx) = glxd 15-2 -2x44 Schnittpunkt von 2 Funktionen berechen: f(x)=2x+4 g(x)=2x+4 g -A 182 1-4 32 3 X = 0,75 = $6²) + 96² ²-2-2 +4 = -1,5+4=2,5 5 ( ²2/25) 22 Duistelle schnittpunket mit der x-Adhae A (Wertetabelle) W (Koordinatensystem) got H -2- 1 S N •Punktprobe? P610/42) 4₁10) = 2·10+1=21 #42 → Pliggt nicht auf der Gleichung. 3 12 =N(2/0) 0 paralel : y=mx+n identisch: y-Achsen abschnitt Steigung 2 nach oben 1 nach rechts paralel, identisch, schneidend? X m₁ = m₂ n₁ #n₂ my = m₂ n₁ = n₂ 24h schneidend: m₁ m₂ (n ist unwichtig) n = Sy m = Steigung Eigenschaft Schaubild Df W₁ Nullstellen Symmetrie Gemeinsame Punkte Monotonie Form des Graphs -2 Gerader Exponent 3 2 -1 0 f(x) Potenz funktionen [y=ax²+b| 4 Grades f(x)= x²; f(x)= x; f(x)= x6 XER XER 2 3 (y=x² = 1) L> gilt immer! I monoton fallend S I monoton steigend Parabel Gerader negativer Exponent +1(k) -1 2 1 0 eine N (0/0) achsensymetrisch achsensymetrisch zur y-Achse zury-Achse (0/0) (-1/1) (^/^) (-^/^) (1/1) 1 f(x)=x²; f(x)=x4; f(x)=x6 XER x 40 YER Y+0 уто Leine Ungerader Exponent → Verschiebung von Potenzfunktionen x<0: monoton steigend XCO: steigend x >0: monoton fallend X>0: steigend Hyperbel Parabel W f(x)= x³; f(x)= x5; f(x)=x² XER YER eine N (0/0) punktsymetrisch Zum Ursprung (do) (-11-1) (1/1) y = a (x + b)² + 5 + 1(x) Ungerader negativer Exponent 0 f(x)=x¹; f(x)=x³; f(x)=x5 x 40 y=0 X ERR YER Keine punktsymetrisch zum ursprung (^/^) (-1/-^) x< 0: fallend x>0: fallend Hyperbel y = x ²3 x 3 Alle Funktionen bestehen aus unendlich vielen Wertepaaren (x;y). Allgemeine Gleichung (mit Verschiebung im Koordinatensystem) Wertetabelle Skizze Graph beschreiben: Form Monotonie Symmetrie Besondere Punkte Nullstelle(n): Schnittpunkt mit x- Achse ⇒y=0 setzen Schnittpunkt mit der y-Achse x = 0 einsetzen Koordinaten ergänzen ➜in Gleichung einsetzen Liegt Punkt (1;5) auf dem Graph der Funktion? in Gleichung einsetzen Besonderheiten: ablesen linear: Anstieg/Steigung (parallele Geraden, senkrechte Geraden) quadratisch: Gleichung umwandeln Funktionsgleichung aufstellen bzw. ➜in Gleichung einsetzen Schnittpunkt zweier Funktionen berechnen ➜Funktionen gleichsetzen Anwendungen Zusammenfassung Lineare Funktionen m: Steigung n: Schnittpunkt mit y - Achse y = f(x)=2x-3 y = mx + n individuell X-2 -1 Y-1-5-3 individuell 1+ -24 Gerade 2345 m> 0: streng monoton steigend (m< 0: streng monoton fallend) keine 0=2x-3 3 = 2x 1.5=x N (1,5 | 0) A(2; 1) und B(4;5) A: y = 2.2-3=1 B: 5= 2 x 3 x = 4 1 -2 y = 2.0-3=-3 Sy (01-3) 5=2.1-3 f.A. 1+3 1:2 | +3 1:2 m₁ = - Parallele Geraden: m ist gleich Senkrechte Geraden: 1 m₂ Nullstelle, Schnittpunkt mit y - Achse Scheitelpunkt (211), ggf. Nullstellen, Schnittpunkt mit y - Achse 0=x² - 4x + 5 p/q-Formel Punkt liegt nicht auf dem Graph der Funktion 2 z.B.: m = 2 und m = - -sind senkrecht zueinander Preis eines Mietwagens, Telefonverträge 1 P(3;2), m= 1,5 2 = 1,5-3+n |-4,5 -2,5 = n y = 1,5x - 2,5 z.B. die lineare und die quadratische Funktion Quadratische Funktionen y = x² - 4x + 5 y = ax² +bx+c c: Schnittpunkt mit y - Achse Normalform: y = x² + px +q Scheitelpunktsform: y = a(x + b)² + c individuell X-7 Y17 individuell Parabel -101 1052 1 2 x < 2: streng monoton fallend x > 2: streng monoton steigend keine (x²: achsensymmetrisch zur y- Achse) n.l. → keine Nullestellen wenn 2,x" in Funktion sind P/4-Formel nutzen (man kann nicht umstellen) y=0²-4.0+5=5 Sy (015) nicht stellen! A(2; 1) und B(7:26) B(-3;26) A: y = 22-4-2+5=1 B: 26 = x² - 4x + 5 0=x²-4x-21 x₁ = 7 | x₂ = -3 5=1²-4-1+5 f.A. 1-26 pq Formel Punkt liegt nicht auf dem Graph der Funktion Allgemeine Form → Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung oder Ermittlung des Scheitelpunktes & einsetzen in Scheitelpunktform Scheitelpunktform → allg. Form: Bin. Formel ausrechnen & zusammenfassen S (-2;7) Scheitelpunktform: y = (x + 2)² + 7 y = x² + 4x +4+7= x² + 4x + 11 2x-3=x²-4x+5 1-2x | +3 alle Werte auch eine Seite bringen 0=x² - 6x +8 p/q-Formel: x₁ = 2 x₂ = 4 Wasserstrahl Springbrunnen, Wurf Flugbahn Potenzfunktionen y = f(x)=3x³-2 y = ax + b b: Schnittpunkt mit y - Achse y = a(x+b)" +c individuell X -2 Y-26-5 individuell Parabel 1 0,87 x -2 234 streng monoton steigend für alle x keine (x³: punktsymmetrisch zum Urpsrung) Sattelpunkt (01-2), Nullstelle, Schnittpunkt mit y - Achse 0=3x³-2 1+2 2 = 3x³ 2 1:3 I√ S(0,87/0) 1 y = 3·0³-2=-2 ... Sy (01-2) A(2; 1) und B(3;79) A: y = 3-1³-2=1 B: 79=3-x³-2 1+2 1:3 x=3 5=3.1³-2 f.A. P(4;1024), y=x" 2 22 Punkt liegt nicht auf dem Graph der Funktion Volumenberechnung 102445 (probieren) y=x5 ➜es gibt zwei Schnittpunkte ➜y-Werte bestimmen (in beiden Gleichungen möglich) S₁ (2/1) und S₂ (4/5)