Funktionen Grundlagen

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lenaaa

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Funktionen Grundlagen

 Funktionstypen
Lineare Funktion
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um die Steigung m zu bestimmen brauchen wir zwei Punkte
Pl (xl/ yl) und P (x2/ y2)
Quadratische Funktione

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- die verschiedenen Funktionsarten (Lineare Funktion, Quadratische Funktion, Polynomfunktion, WUrzelfunktion, Exponentialfunktion, LOgarithmusfunktion) - Manipulation von Grundfunktionen

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Funktionstypen Lineare Funktion · um die Steigung m zu bestimmen brauchen wir zwei Punkte Pl (xl/ yl) und P (x2/ y2) Quadratische Funktionen die allgemeine Form für eine lineare Funktion lautet: y = m • x + b y2-yl mit m = x2-xl ● die allgemeine Form für eine quadratische Funktion lautet: y = ax² + bx +c ● die einfachste quadratische Funktion ist de Normalparabel mit y = x² • der höchste oder tiefste Punkt einer quadratischen Funktion wird auch Scheitelpunkt S genannt. 2 ● - die Scheitelpunktform lautet : y = a ⋅ (x − d) ² + e mit S (d/e). Polynomfunktion • die allgemeine Form für eine Polynomfunktion (auch ganzrationale Funktion genannt) ... · - 3. Grades lautet: y = ax³ + bx² + ca + d' - 4. Grades lautet: y: ax² + bx³ + cx² + dx + e der Grad n beschreibt den höchsten Exponent für x=für a‡ 0 es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad n der Funktion ist Wurzelfunktion ● die allgemeine Form einer Wurzelfunktion lautet : f(x)=√x für x ≥ 0 -n ist der Wurzelexponent - sie besitzt eine Nullstelle bei x = 0 - je größer n ist, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1 - wenn n gerade bzw. ungerade, ist x = R. Exponentialfunktion eine Funktion heißt Exponentialfunktion, wenn sie die Form f (x) = ax =...

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ex · In(a) ·mit x = R₁ > O aufweist a ist eine beliebige positive Konstante falls a e ist, spricht man im allgemeinen von der e-Funktion = ~ hierbei handelt es sich um die eulersche Zahl e 2,72 ~sie verläuft oberhalb der x-Achse und besitzt keine Nullstellen .y. 8 7 6 5 4 3 2 1 Logarithmusfunktion • eine Funktion heißt Logarithmusfunktion, wenn sie allgemein die Form f(x) = loga (x), x = (0,00) aufweist a ist eine beliebige positive Konstante 0 -1 -1 y, -2 2 1 y-Achsenabschnitt: f(0) = 8 0 1 y 2 (110) 1 0 -1 y = ex y = −3x² + 2x - 1 1 (1/1) -1 1 2 2 (011) y y y = 2x² − 3x + 2 2 4 3 2 1 höchster Punkt (HP) 1 0 5 4 0 3 2 1 (el1) 3 y=-2x+8 (412) 3 e 3 Nullstelle: f(x) = 0 y = 2x4+x³x²-3x+1 tiefster Punkt (TP) 4 1 4 1 y=√√√x 5 (1le) y = ln(x) 4 2 x in den speziellen Fällen a = e und a = 10 spricht man von - f.(x) = In (x), als natürlichen Logarithmus - f(x) = log (x), als dekadischen Logarithmus . in der Regel rechnet man mit dem natürlichen Logarithmus - falls kein natürlicher Logarithmus vorliegt, kann man ihn wie folgt umschreiben In (x) = ≈loga (x) In (a) • ein weiterer nützlicher Zusammenhang ist - eIn(x) = x bzw. In (e*) = x. g(x) = f(x) + a f(x+a) c. f(x), c>0 D f(x),c>0.0 Manipulation von Grundfunktionen aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W sollen die Graphen ,neuer" Funktionen g (x) gewonnen werden • Übersichtstabelle der Manipulationen: -f.(x). f(-x) Dg= · D -a +D D Of • Logarithmengesetze: Wg= a + W W c. W W -W -Wf - In(ab) = In(a) + In(b) - In(2) = In(a) - In(b) - In(ab) = b • In(a). Wirkung auf den Graphen Verschiebung vertikal um a Verschiebung horizontal um -a c>1: Streckung, O<c<1: Stauchung c>1: Stauchung, 0<c<1: Streckung Spiegelung a der x-Achse Spiegelung an der y-Achse Regelmäßigkeiten: • Änderung innerhalb der Funktion, z.B. f (x-a)= Horizontale Manipulation - Definitionsbereich ändert sich - Wertebereich bleibt gleich • Änderung außerhalb der Funktion, z.B. f (x) +a = Vertikale Manipulation - Definitionsbereich bleibt gleich - Wertebereich ändert sich

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F

So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

- die verschiedenen Funktionsarten (Lineare Funktion, Quadratische Funktion, Polynomfunktion, WUrzelfunktion, Exponentialfunktion, LOgarithmusfunktion) - Manipulation von Grundfunktionen

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ex · In(a) ·mit x = R₁ > O aufweist a ist eine beliebige positive Konstante falls a e ist, spricht man im allgemeinen von der e-Funktion = ~ hierbei handelt es sich um die eulersche Zahl e 2,72 ~sie verläuft oberhalb der x-Achse und besitzt keine Nullstellen .y. 8 7 6 5 4 3 2 1 Logarithmusfunktion • eine Funktion heißt Logarithmusfunktion, wenn sie allgemein die Form f(x) = loga (x), x = (0,00) aufweist a ist eine beliebige positive Konstante 0 -1 -1 y, -2 2 1 y-Achsenabschnitt: f(0) = 8 0 1 y 2 (110) 1 0 -1 y = ex y = −3x² + 2x - 1 1 (1/1) -1 1 2 2 (011) y y y = 2x² − 3x + 2 2 4 3 2 1 höchster Punkt (HP) 1 0 5 4 0 3 2 1 (el1) 3 y=-2x+8 (412) 3 e 3 Nullstelle: f(x) = 0 y = 2x4+x³x²-3x+1 tiefster Punkt (TP) 4 1 4 1 y=√√√x 5 (1le) y = ln(x) 4 2 x in den speziellen Fällen a = e und a = 10 spricht man von - f.(x) = In (x), als natürlichen Logarithmus - f(x) = log (x), als dekadischen Logarithmus . in der Regel rechnet man mit dem natürlichen Logarithmus - falls kein natürlicher Logarithmus vorliegt, kann man ihn wie folgt umschreiben In (x) = ≈loga (x) In (a) • ein weiterer nützlicher Zusammenhang ist - eIn(x) = x bzw. In (e*) = x. g(x) = f(x) + a f(x+a) c. f(x), c>0 D f(x),c>0.0 Manipulation von Grundfunktionen aus dem Graphen einer gegebenen Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W sollen die Graphen ,neuer" Funktionen g (x) gewonnen werden • Übersichtstabelle der Manipulationen: -f.(x). f(-x) Dg= · D -a +D D Of • Logarithmengesetze: Wg= a + W W c. W W -W -Wf - In(ab) = In(a) + In(b) - In(2) = In(a) - In(b) - In(ab) = b • In(a). Wirkung auf den Graphen Verschiebung vertikal um a Verschiebung horizontal um -a c>1: Streckung, O<c<1: Stauchung c>1: Stauchung, 0<c<1: Streckung Spiegelung a der x-Achse Spiegelung an der y-Achse Regelmäßigkeiten: • Änderung innerhalb der Funktion, z.B. f (x-a)= Horizontale Manipulation - Definitionsbereich ändert sich - Wertebereich bleibt gleich • Änderung außerhalb der Funktion, z.B. f (x) +a = Vertikale Manipulation - Definitionsbereich bleibt gleich - Wertebereich ändert sich