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Funktionsrekonstruktion

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 4.4 Funktionsrekonstruktion
Bei der Funktionsuntersuchung ist eine Funktion f(x) gegeben und man untersucht dann die
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4.4 Funktionsrekonstruktion Bei der Funktionsuntersuchung ist eine Funktion f(x) gegeben und man untersucht dann die Funktion hinsichtlich mehrerer Kriterien (Nullstellen, Extrempunkte, ...) mit dem Ziel, die Funktion am Ende zeichnen zu können. Bei der Funktionsrekonstruktion ist es umgekehrt. Man kennt bestimmte Eigenschaften (Grad der Funktion, Nullstellen, Extrempunkte, ...) einer Funktion und soll aus diesen Informationen die Funktionsgleichung f(x) bestimmen. Um die Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen, muss die Anzahl der unbekannten Variablen mit der Anzahl der gegebenen Bedingungen übereinstimmen. Beispiel 1: Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die Funktion hat einen Extrempunkt bei P(312). Bestimme die der Funktionsgleichung beschrieben Funktion. Ansatz: Bedingungen: Additionsverfahren: (1) 27a + 3c - (II) 27a + c = 0 (III) 2c = 2 = f 2 -6 f(x) = ax³ + cx f'(x) = 3ax² + c (1) f(3) = 2 (II) f'(3) = 0 → 5 -4 -3 -2 -1 3 2 (III) 2c = 2 (III) c = 1 -1 18 -1 -2 f(3) = 27a + 3c = 2 f'(3) = 27a+ c = 0 1 |: 2 2 Einsetzen von c = 1 in Gleichung (II) liefert: 27a + 1 = 0 Somit lautet die Funktionsgleichung: 1 f(x) = == = -√√√x³ + x 27 3 Erläuterung: Dieser Ansatz wird gewählt, da die Funktion dritten Grades und punktsymmetrisch ist, d.h. der höchste Exponent des Polynoms ist drei und die Funktionsgleichung darf ausschließlich ungerade Exponenten besitzen. Wäre stattdessen die Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades gesucht, so würde der allgemeine Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d lauten. 4 Zur Lösung des Gleichungssystems...

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