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Funktionsschar
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Larissa Dammann
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Grundlagen Fallunterscheidung Ableiten und integrieren mit Parameter Ortskurve
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Lernzettel
Grundlagen Wenn man Berechnungen an- und mit Funktionsschar durchführen muss, dann ist das Erste was meist gefragt wird: Was soll denn der Buchstabe da, der nicht x ist? Und wenn wir jetzt eine Kurvendiskussion einer solchen Funktionsschar durchführen, berechnen wir damit unendlich viele Kurvenuntersuchungen auf einmal, da wir im Nachhinein eine konkrete Zahl für unseren Parameter einsetzen können. Ist die Funktion linear, spricht man auch von einer Geradenschar. Im Allgemeinen verändern die Parameter das Aussehen und die Form der Kurve auf eine Weise, die komplizierter als eine einfache lineare Transformation ist. In der folgenden Abbildung sind für zwei Funktionsschar verschiedene Parameter eingesetzt worden. a=-1 y Funktionsschar a = 6 a = 2 fa(x) = -2x + a y fa(x) = ax + 4 a = -0,5 a=2 a -5 ➤X Beim Schreiben der Funktionsvorschrift wird der variable Parameter in den Index geschrieben, z.B. fa (x) = ax² - Zax² +49 Ballunterscheidung Eine Schwierigkeit beim Rechnen mit einer Funktionsschar taucht oft bei der Berechnung ihrer Nullstellen auf, vor allem wenn der Scharparameter ,,drin" geblieben ist. In diesem Fall kommt dann die Fallunterscheidung zum Einsatz. Warum müssen wir verschiedene Fälle betrachten? Ihr solltet immer im Hinterkopf haben, dass der Parameter verschiedene Werte annehmen kann. Nur Zahlen größer Null? Kann der Parameter Null sein oder sogar kleiner Null? Das sollte in der Regel im Aufgabentext vorgegeben sein. Gegeben sei die Funktionsschar fa(x) = (a-1) X ²³-4CX mit dem Parameter a wenn a>o bzw....
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a ER*: keine Fallentel Scheidung nötig Ⓒa ER oder a #0: Parameter a kann auch negativ Werte annehmen! Hier ist Fallunterscheidung nötig. Größtenteils läuft die Berechnung von Kurvenscharen auf genau so etwas hinaus. Zum Beispiel sei folgende Funktionsschar gegeben: fa (x) = x> a x-a Wenn 1 x = a ist, dann wäre die Funktion nicht definiert, da dann der Nenner gleich Null ist und wir nicht durch Null teilen dürfen. odel x<a ist, ist die Funktion definiert und wir können mit ihr arbeiten. Auch bei der Berechnung von Extremstellen ist die Fallunterscheidung wichtig. Hier ein Beispiel bei der hinreichenden Bedingung von Extrema: • fa" (...) = zo a>0, wenn a>0 TP •fa" (...) = zoa<o, wenn aco HP fa" (...) =z0a=0₁ wenn a=0 SP Ableiten und integrieren mit rametel ● fa(x) 2a a² ax f(x) 0 0 a a²x (a − 1)x ax² 3a²x³ ax4 - 4ax + a³ 4ax³ 4a a² a-1 2ax 9a²x² fa(x) a a² ax a²x ax² Fa(x) a(x³ – a) oder ax³ - a² ax a²x BINNE a 2x² q² a²x4 ax+a³x5x² + a³x a(x²¹ - ax) 2x² − a²x oltskurve Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. In einer Kurvendiskussion werden häufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht. Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die Koordinaten der betreffenden Punkte (z.B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter (z.B. a oder k) bestimmt. Vorgehensweise: 1. allgemeine Punkte P(xly) mit bestimmter Eigenschaft, z.B. Extrem- oder Wendepunkte, in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen 2. x-Wert nach Parameter umstellen und in y-Wert einsetzen 3. y-Wert ist die Ortskurve
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a ER*: keine Fallentel Scheidung nötig Ⓒa ER oder a #0: Parameter a kann auch negativ Werte annehmen! Hier ist Fallunterscheidung nötig. Größtenteils läuft die Berechnung von Kurvenscharen auf genau so etwas hinaus. Zum Beispiel sei folgende Funktionsschar gegeben: fa (x) = x> a x-a Wenn 1 x = a ist, dann wäre die Funktion nicht definiert, da dann der Nenner gleich Null ist und wir nicht durch Null teilen dürfen. odel x<a ist, ist die Funktion definiert und wir können mit ihr arbeiten. Auch bei der Berechnung von Extremstellen ist die Fallunterscheidung wichtig. Hier ein Beispiel bei der hinreichenden Bedingung von Extrema: • fa" (...) = zo a>0, wenn a>0 TP •fa" (...) = zoa<o, wenn aco HP fa" (...) =z0a=0₁ wenn a=0 SP Ableiten und integrieren mit rametel ● fa(x) 2a a² ax f(x) 0 0 a a²x (a − 1)x ax² 3a²x³ ax4 - 4ax + a³ 4ax³ 4a a² a-1 2ax 9a²x² fa(x) a a² ax a²x ax² Fa(x) a(x³ – a) oder ax³ - a² ax a²x BINNE a 2x² q² a²x4 ax+a³x5x² + a³x a(x²¹ - ax) 2x² − a²x oltskurve Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. In einer Kurvendiskussion werden häufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht. Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die Koordinaten der betreffenden Punkte (z.B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter (z.B. a oder k) bestimmt. Vorgehensweise: 1. allgemeine Punkte P(xly) mit bestimmter Eigenschaft, z.B. Extrem- oder Wendepunkte, in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen 2. x-Wert nach Parameter umstellen und in y-Wert einsetzen 3. y-Wert ist die Ortskurve