Funktionsscharen und Integralrechnung

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(0) = 6.0 + 20 = 20 fa" (0) = 20 > 0 Tiefpunkt 1:3 1x ausklammern INullprodukt Fallunter- scheidung für ao Tiefpunkt bei TP (010) Extremstellen y-Koordinaten : (x-werte in Ausgangsfunktion einsetzen) fa(x) = x3 + x² fa (0) = 0³ + a-0² = 0 fa" (x) #0 für aso ↓ fa" (0)=20 <0 Hochpunkt für a<0 → Hochpunkt bei HP(010) fa"(a) = 6 (-a) + 2a =-1²0+ 20 = -40 + 20 = = für a>0 - 20 Fallunter- scheidung für a> o fa"(x)= -20 < 0 Hochpunkt fa(-a)=(-a)³ +a (²a) ² =a³+aa² 27 = + 93 + Tiefpunkt bei TP(-01770³) für a < 0 4 fa" (x)= 20 > 0 Tiefpunkt 03 für a<o Hochpunkt bei (글이 203) 3. Wendepunkte: notw. Bed.: fa" (x) = 0 6x +200 6x = -20 hinr. Bed.: fa"(x)=0 ^ fa" (x)0 fa""(-a) = 6 > 0, d.n. Rechts-Links-wende punkt 4. Globalverhalten y-Koordinate: fa(-¾a)= (-1⁄30)³ + a ·∙(-¾7a)² =₁70³ +0³ = 70³ -WP bei (910³) î X = -39 ->wichtigstes Merkmal: Exponent mit Vorfaktor -> man betrachtet den Grenzwert der Funktion für X-18 f(x) 00 n gerade Das Verhalten einer ganzrationalen Zahl im Unendlichen wird vom Summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt. BEISPIEL: f(x)= 3x² -2x + 1 man schreibt. lim f(x) = X80 f(x)18 V 1-20 12 -∞ a>0 n ungerade X118 f(x)1-0 y verhalten im unendlichen X-+8 f(x) = -2x² + 4x der Graph steigt Lim f(x) = X-8 → +∞ und →→∞ ✓ oder g(x) = 4x4 +2 f(x) 00 f(x)-0 n gerade X118 - 00 h (a<0) X4+8 f(x)-8 der Graph sinkt x n ungerade X118 f(x) 00 X+∞ gespiegelt →→→→Faktor negativ und Exponent gerade merkhilfe von wol gent der 20} ₁ Graph wohin f(x)-8 5. Symmetrie -> Achsensymmetrie zur y-Achse -> Punktsymmetrie zum Ursprung ->sonst keine gewöhnliche Symmetrie 1. Exponent gerade 2 Exponent ungerade 3. Exponent gerade + ungerade RECHNERISCH: Achsensymmetrie: ist fa(x) = fa(-x) Punktsymmetrie : ist fa(x) = -fa(-x) BEISPIEL: fa(x) = x3 + ax2 fo(x) = x³ + 0.x² F₁(x)= x³ + 1.x² also: m Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich die Symmetrie anhand der Exponenten feststellen -2 ACHTUNG Das absolute Glied ändert nichts an der Achsen- symmetrie, aber es verhindert punktsymmetrie. also: Ergebnis aus Achsensymmetrie in Klammer setzen + davor ein (-1)." setzen ermittelten Punkte. 6. Skizze des Graphen auf der Grundlage der Skizze der angegebenen Funktion kann nur mit Hilfe eines angegebenen Parameters erfolgen (evtl. auch mit ausgerechneten Extrempunkten, Wendepunkten, etc.). f₁(x) vor alle "x'e" ein minus setzen (wenn zahl im EX- ponent gerade, wird x wieder positiv (-u. - ist +), wenn zani im Exponent ungerade, wird x negativ (-₁-u. - ist -)) (zanien die negativ sind, werden Y₁ 2+ 1+ positiv und umgekehrt) -^+ 1 fo(x) 2 +x 3 7. Gemeinsame Punkte der Graphen einer Funktionsschar ->teilweise verlaufen alle Graphen einer Funktionsschar durch einen oder mehrere gemeinsame Punkte -> Funktionswert an dieser Stelle hängt nicht vom Parameter ab -> um mögliche gemeinsame Punkte zu finden, kann man unterschiedliche Namen für den Parameter wählen, also: a und b (a + b) -> und prüfen, ob Gleichung fa(x) = f(x) eine Lösung besitzt, die nicht vom Parameter abhängt BEISPIEL: fa(x)= x³ + ax² -x-ax →Bestimmen sie rechnerisch die Graphen der Funktionsschar. aus Gleichung so umstellen, dass sie gleich null ist calles auf eine seite bringen) fallen sowieso [-x³ + x²-x-ax weg facx) = fb (x) = ax²-x-ax = ax² - ax = ax²+bx²-ax = ax²-bx²-ax+bx = xcax-bx - a+b) 0 X₁ = 0 V axbx a+b = 0 ax-bx = a-b Satz des Nullprodukts x(a-b) = a-b anwenden a-b X +wieder ausklammern a-b - x3 + bx2 - x - bx 6x²-x-bx 6x²-bx -bx 0 x2 fa (0) = -0³ + a-0²-0-a.o = 0 fa(1) = -1³ + a. 1²1-a 1 = -2 1. Schritt: = X = 20 = a E fa(x) = 3x³ - x² (a EIR) 1 gemeinsamen (ab) 1:2 folgt: →5₁ (010) S₂ (11-2) X-Wert in Ausgangsfunktion einsetzen Punkte aller 1 + x3 1 + x 1-bx² 8. Bestimmung der ortskurve charakteristischer Punkte (z. B. wendepunkte, Extrempunkte) -> durchläuft der Parameter a alle zugelassenen Werte, so liegen alle Extrempunkte auf einer Kurve ->Kurve heißt Ortskurve der Extrempunkte 1 + bx Ix ausklammern I Nullprodukt Gleichung erhält man wie folgt: 1. Schritt: x-Koordinate des Extrempunktes nach dem Parameter umformen 2. Schritt: einsetzen des Terms in die y-Koordinate des Extrempunktes 3. Schritt: Ergebnis notieren -> alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen der Funktion g mit g(x)=... aus Schritt 2 BEISPIEL: 1+0 1-6 IX ausklammern 1:(0-6) Für Tiefpunkte der Graphen von fa mit (mit a ³0) gilt Ta (201-30²) 2. Schritt: Bsp.: a = ₁2 INTEGRALRECHNUNG WOZU BENÖTIGT MAN INTEGRALRECHNUNG? →hilft Flächeninhalte zwischen X-Achse und einer Funktion 3. Schritt: Alle Tiefpunkte uegen auf dem Graphen der Funktion 9 mit g(x)=x². auszurechnen dafür benötigt man die sogenannte Stammfunktion F(X) ergibt abgeleitet f(x) f(x) = 2x in y=--(+)² = x-n y = -a² einsetzen ² = 7x² Stammfunktion F(X) von F(X) Für F(x) gilt immer F'(x) = f(x) BILDUNG DER STAMMFUNKTION -> Gegenteil vom Ableiten, deswegen kann man es auch Aufleiten nennen BEISPIEL: F(x) = 3x² Erinnerung: 1 xn F(X) = x2 -> es gibt nicht nur eine Stammfunktion von f(x), sondern beliebig viele da eine Variable c hinter F(x) steht alle Stammfunktionen haben die Form: F(x) = x². + c Stammfunktion erhält man wie folgt: 1. Schritt: erhöhe die Hochzahl um eins: x³ →x¹ 1 2. Schritt: schreibe den Bruch neue Hochzani f(x)=4x3 + 5x vor die Potenz × xª F(X) = 3·1+2· = 3·²·1 = x³ ·x³ F(X) = 4. x1+2 1 · 34 · x ³ + 1 + 5 · 11 ·X1+1 F(X) = 4x + 5 5.1/7.x² = x + 2,5x2 UNBESTIMMTES UND BESTIMMTES INTEGRAL unbestimmtes Integral: -Die Menge aller Stammfunktionen von einer Funktion f(x) kannst du mit dem unbestimmten integral angeben S man integrand benötigt das integrationszeichen S f(x) dx obere Grenze = F(X) +C Differential untere Grenze bestimmtes Integral: → Mit dem unbestimmten integral kannst integral berechnen. — dann stenen oben und unten am integralzeichen zahlen (von größerer zani zu kleinerer zani) B Sfcx) dx 0 X nennt man die integrations- variable und cist die integrationsvariable f(x) dx = F(X) + C integrationsgrenzen du auch ein bestimmtes INTEGRAL ALS SUMME ORIENTIERTER FLÄCHENINHALTE Bei der Berechnung von Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse kann es vorkommen, dass die Fläche unterhalb der x-Achse verläuft. Solche Flächen werden beim Integral mit einem negativen Vorzeichen versehen. Da es an sich jedoch keine negativen Flächeninhalte gibt, spricht man in diesem Fall deshalb von Orientierten Flächeninhalten. X Wenn die Funktion f die Änderung einer Größe (z. B. in Abhängigkeit von der Zeit oder dem Ort) in einem Intervall [a,b] beschreibt, lässt sich die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse als Gesamtfläche der Größe zwischen a und b deuten. jf(x) dx > 0 jf(x) dx <0 Befindet sich die eingeschlossene Fläche sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, treten Auslöschungseffekte auf. Möchte man den Flächeninhalt berechnen, so muss man das Integral aufteilen: in den Teil der Fläche, der oberhalb der x-Achse verläuft, und den Teil, der unterhalb verläuft. Diese integriert man dann getrennt voneinander und summiert die Beträge der einzelnen Flächeninhalte auf. →Aufleitung HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG BERECHNUNG VON INTEGRALEN: Für eine stetige Funktion f auf dem intervall [ab] gilt: b "Sf(x) dx = [F(x)]- a = F(b) - wobei F eine beliebige Stammfunktion intervall [a,b] ist. Formale Schreibweise: 5 BEISPIEL: √x² dx = [x²] ₁2 3 = 2 = F(a) = F(5) - F(3) = -425-9 -98 (5.0.) integrals Schritte zur Berechnung eines Integrals: 5³3³ - 125 -9 =⁹8 { x²ax = [3x²³+ 1]} = (‡·5³ +1) -(4-3³+1) ·5³ +1 -3·3³-1 5³-3³ In zur Berechnung des Integrals kann jede beliebige Stammfunktion F von f verwendet werden: von f Worten: Integral von 3 bis 5 ist gleich x³ in Grenzen von 3 bis auf dem Die addative konstante hebt sich bei der auf.) H Die Reine in Klausur Rest x²dx den 5. " aufschreiben mit GTR machen. Berechnung des 1. Schritt: Berechne die Stammfunktion F(x) und schreibe sie in die eckige Klammer 2. Schritt: Setze die Integrationsgrenzen a und b ein 3. Schritt: Ziehe F(a) von F(b) ab (F(b) - F(a)) DAS PASCALSCHE HOHE POTENZEN AUFLÖSEN kann immer weiter nach unten gehen BEISPIEL: 1. 1 = 2. (x-y) 3 → 1 Dreieck bauen also: 1 1 -2 -3 1 1 1 1 3 -1 1 5 1 4 10 DREIECK 1 2 6 3 10 1 4 1 + 5 16 a + 329³.x + 249². x² + 89x³ + x² →(a+b)² = 19² + 2ab + 16² (a+b)³ → (a+b) 1 (20 + x)²4 < weil 1.(20)+(20)³³. x₁ +6 (20)² ·x²+4·(20)¹ ·x³ + 1. x4 _4+0 = 4 3+1=4 2+2=4 4+3=4 4+0=4 1 Exponent, der um klammer ist 1 binomische zahlen aus Formel Dreieck auflösen der Klammer: gent abwärts (a+b)³ = 1.9²³ +3-a²b² +3-a¹b²+1-63 (+)5 zur Kontrolle: Hochzahlen müssen immer y ergeben (x-4)³ 1.x²³ -3.x².y₁ +3.x^²y² - 1.4³ gent aufwärts annuich wie bei 2. binomischen Formei : (a - b)² =a² - 2ab + 6² dann nur noch vereinfachen erste immer positiv, der zweite negativ, der positiv, usw. also vorzeichen wechselt sich ab, startet aber immer mit was positiven dritte BEISPIELE FÜR DIE FLÄCHENBERECHNUNG DURCH INTEGRALRECHNUNG: Lineare Funktion mit einer Nullstelle: Y↑ th 3+ 2+ 1+ -1 + f(x) = 2x 1 -2 f(x)= = x² +4 Quadratische Funktion -1 2 A₁ Y₁ 3- 2. 3 1- 5 f(x)= x3-4x A₂ 6 1.Schritt: Berechne die Nullstelle deiner Funktion 2. Schritt. schreibe das bestimmte integral auf. Die Nullstellen sind die integrations- mit einer Nullstelle 1. Schritt: Nullstellen berechnen X₁ = -2 V X2= 0 V X3 = 2 grenzen. 3. Schritt: Integralberechnen 구 Exponential Funktion mit drei Nullstellen Y↑ +x 1. Schritt: Berechne die Nullstellen X₁=-2 V X2=2 2. Schritt: schreib das bestimmte 8 →x 9 A₁ = 3. Schritt: Löse das integral: } - x² +4 ax = [ + x² + 4x] ²₂ -2 und A₂ = integral auf: 3-X² -2 2. Schritt: Schreib zwei integral- rechnungen auf: 0 -x² +4 dx -2 = F(2) F(-2) = 3 (FE) x³-4x dx 2 Збх3-ихах 3. Schritt: Integral bestimmen und addieren [F(0)- F(-2)] + [F(2) - FCO)] = 4+y = 8 [FE] Flächen zwischen zwei Funktionen Y ₁ g(x) = 2x² +1 f(x) = -x² +4 F(x) = g(x) 2. Schritt: Berechne zunächst f(x)-g(x), um damit die integrairechnung aufzustellen. (Die Funktion mit kleinem y-Achsenabschnitt von der Funktion mit größeren Abzienen) • √-3x² + -A 3. Schritt: S-3x2 →x = -x² +4-(2x² + 1) = -x² +4-2x²-1 =-3x² +3 ·3x² +3dx 1. Schritt: Berechne die Schnittpunkte. Dazu setze die beiden Funktionen gleich und löst nach X auf X₁ = -1 V X₂=1 integral +3dx = [= x³ +3] = 4 [FE] bestimmen