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Exponential- und Logarithmusfunktion
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Jule
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11/12/13
Lernzettel
Logarithmengesetze Die Euler’sche Zahl Die natürliche Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Natürliche Logarithmusfunktion Potenzgesetze Untersuchung von Graph und Funktion
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Logarithmengesetze: 1. In (uov) = ln (u) + In (v) 2. In ( ) = ln (u) - In (v) 3. In (uk) = k • In (u) EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION Die Euler'sche Zahl Die positive Zahl b, für die die Exponential funktion f(x)=b*mit ihrer Ableitungsfunktion f' übereinstimmt, heißt Euler'sche Zahl e e 2,718 e ist eine irrationale Zahl Die natürliche Exponentialfunktion Eine Funktion f mit f(x) = e× heißt natürliche Exponetialfunktion. Für die Ableitung der Funktion f mit f(x) = e* gilt f'(x) = ex Natürlicher Logarithmus Gegeben ist die Exponentialgleichung e* = b, b>0. Die Lösung x dieser Gleichung heißt natürlicher Logarithmus von b. x = ln (b) Natürliche Logarithmusfunktion Die Funktion f mit f(x) In(x), x>0, heißt natürliche Logarithmusfunktion Die Funktion f mit f(x) = In(x) hat für alle x>0 die Ableitungsfunktion f'(x) == = Potenzgesetze 1. a • as 2. a = ars 3. (a)³ = ars • Nullstelle -> mit VZW von + nach -> mit VZW von + nach • Extremstelle -> auf der x-Achse • Graph oberhalb der x-Achse Untersuchung von Graphen und Funktionen a) Was sagt das Schaubild von f` über f aus? Schaubild von f' Schaubild von f • Extremstelle -> Hochpunkt --> Tiefpunkt • Graph unterhalb der x-Achse monoton wachsend monoton fallend = a+s • Wendestelle -> Sattelpunkt • monoton fallend ● • monoton wachsend linksgekrümmt / Linkskurve in (6) e = b. In (e) = c.ln (e) = c • 1 = C. In (e) = 1 (ex = e <: = e <=> x = ln (e) = 1) In...
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(1) = 0 (e* = 1 <=> x = ln (1) = 0) Rechtskurve rechtsgekrümmt/ rechnerischer Ansatz für f • f'(x) = 0 & ->f"(x) < 0 ->f"(x) > 0 • F"(x) = 0 -> f'(x) = 0 f'(x) = 0 • f'(x) ≤ 0 • F"(x) > 0 f"(x) < 0 & f(x) # 0 b) einfache Symmetrie f(-x) = f(x) => achsensymmetrisch zur y-Achse f(-x) = -f(x) => punktsymmetrisch zum Urs ng c) Asymptoten Eine Gerade, der sich ein Graph beliebig nähert, die aber nie berührt, heißt Asymptote 1) zur Bestimmung waagrechter Asymptoten untersucht man das Verhalten von f(x) für x -> 2) Jede Exponential funktion wächst schneller als jede Potenzfunktion
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(1) = 0 (e* = 1 <=> x = ln (1) = 0) Rechtskurve rechtsgekrümmt/ rechnerischer Ansatz für f • f'(x) = 0 & ->f"(x) < 0 ->f"(x) > 0 • F"(x) = 0 -> f'(x) = 0 f'(x) = 0 • f'(x) ≤ 0 • F"(x) > 0 f"(x) < 0 & f(x) # 0 b) einfache Symmetrie f(-x) = f(x) => achsensymmetrisch zur y-Achse f(-x) = -f(x) => punktsymmetrisch zum Urs ng c) Asymptoten Eine Gerade, der sich ein Graph beliebig nähert, die aber nie berührt, heißt Asymptote 1) zur Bestimmung waagrechter Asymptoten untersucht man das Verhalten von f(x) für x -> 2) Jede Exponential funktion wächst schneller als jede Potenzfunktion