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Exponential- und Logarithmusfunktion
14.1.2021
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Logarithmengesetze: 1. In (uov) = In (u) + In (v) 2. In () In (u) - In (v) 3. In (uk) k. In (u) EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION Die Euler'sche Zahl Die positive Zahl b, für die die Exponential funktion f(x)=b*mit ihrer Ableitungsfunktion f' übereinstimmt, heißt Euler'sche Zahl e e=2,718 e ist eine irrationale Zahl Die natürliche Exponentialfunktion Eine Funktion f mit f(x) = e heißt natürliche Exponetialfunktion. Für die Ableitung der Funktion f mit f(x) = e* gilt f'(x) = ex Natürlicher Logarithmus Gegeben ist die Exponentialgleichung e* = b, b>0. Die Lösung x dieser Gleichung heißt natürlicher Logarithmus von b. x = ln (b) Natürliche Logarithmusfunktion Die Funktion f mit f(x) = `In(x), x>0, heißt natürliche Logarithmusfunktion Die Funktion f mit f(x) = ln(x) hat für alle x>0 die Ableitungsfunktion f'(x) = Potenzgesetze 1. aa as 2. = a-s 3. (a)³ = a¹s • Extremstelle -> auf der x-Achse • Graph oberhalb der x-Achse Graph unterhalb der x-Achse • monoton wachsend monoton fallend Untersuchung von Graphen und Funktionen a) Was sagt das Schaubild von f' über f aus? Schaubild von f' Schaubild von f • Nullstelle • Extremstelle -> Hochpunkt -> mit VZW von + nach - -> mit VZW von + nach - -> Tiefpunkt • Wendestelle -> Sattelpunkt monoton fallend e monoton wachsend • linksgekrümmt / Linkskurve Rechtskurve in (6) In (e) = c.ln (e) = c In (e) = 1 In (1) = 0 • rechtsgekrümmt/ = b 1 = c (e* = e <=> x = ln (e) = 1) (e* = 1 <=> x = ln (1)...
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= 0) rechnerischer Ansatz für f & • f'(x) = 0 -> F"(x) < 0 -> F"(x) > 0 f"(x) = 0 & -> f'(x) = 0 • f'(x) = 0 • f'(x) ≤ 0 • F"(x) > 0 • F"(x) < 0 b) einfache Symmetrie f(-x) = f(x) => achsensymmetrisch zur y-Achse f(-x) = -f(x) => punktsymmetrisch zum Ursprung f(x) 0 c) Asymptoten Eine Gerade, der sich ein Graph beliebig nähert, die aber nie berührt, heißt Asymptote 1) zur Bestimmung waagrechter Asymptoten untersucht man das Verhalten von f(x) für x -> 2) Jede Exponential funktion wächst schneller als jede Potenzfunktion